专题03 方程与不等式（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题03 方程与不等式 课标要求 考点 考向 1.方程与方程组：①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 ②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程。 ③掌握消元法，能解二元一次方程组。 ④*能解简单的三元一次方程组 ⑤理解配方法.能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的元二次方程。 ⑥会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 ⑦了解一元二次方程的根与系数的关系。 ⑧能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 2.不等式与不等式组：①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。②能解数字系数的一元一次不等式， 并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 ③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式， 解决简单的问题。 方程 考向一 解整式方程 考向二 解分式方程 考向三 方程的应用 一元一次 不等式（组） 考向一 解一元一次不等式 考向二 解一元一次不等式组 考点一 方程 ►考向一 解整式方程 ·一次方程与方程组易混易错 1. 解一元一次方程 ①去分母：一元一次方程中每一项乘以分母的最小公倍数； ②去括号：去掉一元一次方程中的括号，注意括号前面的符号，如果括号前面是负，则去掉括号要变号； ③移项：把含有未知数的移到等式左边，不含未知数的移到等式右边，依据：等式的基本性质； ④合并同类项：把等号两边含未知数的项和常数项的项合并起来的过程。 ⑤系数化为1 2..解二元一次方程组 （1）代入消元法的一般步骤： ①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成或的形式； ②将或代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出或值； ④将已求出的或值代入方程组中的任意一个方程（或），求出另一个未知数； ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。 （2）加减消元法的一般步骤： ①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数； ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解这个一元一次方程； ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值； ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。 ·一元二次方程易混易错 1.解一元二次方程： (1)直接开方法：一般的对于方程形式 ①当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，. ②当时，方程有两个相等的实数根. ③当时，方程无实数根. (2)配方法：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成形式 ①当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，. ②当时，方程有两个相等的实数根. ③当时，方程无实数根. (3)公式法：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，方程的根：. (4)因式分解法：如果一元二次方程存在两个实根、，那么它可以因式分解为. 2.一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即. 当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当∆=0时，方程有两个相等的实数根； 当∆＜0时，方程没有实数根； 3.一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程有两个实数根、，则， 注意：使用根与系数的关系公式的前提是∆＞0. ►考向二 解分式方程 解题技巧 解方程方程的步骤 ①去分母：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号；（注意：最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂） ②移项：移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值； ③验根：求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。 注意：（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。 （2）增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 （3）增根使最简公分母等于0。 （4）分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。 1．（2024·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 2．（2021·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可． 【详解】解：去分母（两边都乘以），得， ． 去括号，得， ， 移项，得， ． 合并同类项，得， ． 系数化为1，得， ． 检验：把代入． ∴是原方程的根． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验． 3．（2020·陕西·中考真题）解分式方程：． 【答案】x＝． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程， 去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x， 移项得：-5x=-4， 系数化为1得：x＝， 经检验x＝是分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验． ►考向三 方程的应用 解题技巧 1.方程的应用解题步骤‌： ①‌审题‌：首先，需要仔细阅读题目，理解题目的背景和要求，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的数量关系。 ②‌设未知数‌：根据题目的需求，选择合适的未知数。有时可以直接设未知数，有时需要通过间接设元来简化问题‌。 ③‌列方程‌：根据题目中的等量关系，列出包含未知数的方程。这一步是解题的关键，需要找到题目中的等量关系，并将其转化为数学表达式。 ④‌解方程‌：求解列出的方程，得到未知数的值。解方程时需要注意解的合理性，必要时进行检验。 ⑤‌检验‌：对求得的解进行检验，确保其满足题目的实际条件。（一是检验解是否满足题目的实际意义，二是分式方程中需要检验解是否使分式方程有意义，避免增根的情况） ⑥‌写出答案‌：将求解过程和结果清晰地写在答案中，注意答案的表述要准确无误. 2.一元二次方程的应用模型： (1)一元二次方程增长率/传播问题：（其中表示增长前的基数，表示增长后的基数，表示增长率） (2)一元二次方程利润问题：总利润=单件的利润×销售量=（单件售价-单件成本）×销售量. (3)一元二次方程中比赛问题：比赛场数=（其中表示参加比赛的队伍个数） 4．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 5．（2023·陕西·中考真题）利用方程解决实际问题：小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价． 【答案】该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了元，列方程求解． 【详解】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元， 由题意可得， 解得：； 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 6．（2021·陕西·中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是110元 【分析】设这种服装每件的标价是x元，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得 ， 解得； 答：这种服装每件的标价是110元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 考点二 一元一次不等式（组） ►考向一 解一元一次不等式 解题技巧 解一元一次不等式步骤： （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集 7．（2024·陕西·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：D． 8．（2023·陕西·中考真题）解不等式：． 【答案】 【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边都除以，得． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． ►考向二 解一元一次不等式组 解题技巧 1.由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。 注意：①在求不等式组的解集过程中通常是利用数轴来确定不等式组的解集。 ②在数轴上表示不等式组的解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画出公共部分。 ③公共部分是指数轴上被两个不等式解集的区域都覆盖住的部分，若无公共部分，则说这个不等式组无解或者说解集是空集。 9．（2022·陕西·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】分别解出每个不等式的解集，再找解集的公共部分求不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①，②的解集在数轴上表示出来 ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查不等式组的计算，准确地计算能力是解决问题的关键． 10．（2021·陕西·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可． 【详解】解：， 由，得； 由，得； ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 11．（2020·陕西·中考真题）解不等式组： 【答案】． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 1．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， 所以， 故答案为：， 2．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 先化简①式，再运用加减消元法即可求解． 【详解】解： ①式化简去分母得，， 整理得，， ∴得，， ∴， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得：， ， ， ， 将代入①得： ， ， ， 方程组的解为． 4．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 解得， ， 解得，                                  ∴不等式组的解集是． 5．解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式组求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为． 6．解不等式组 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 7．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：． 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为． 8．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为． 9．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）解分式方程： 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． 先两边同乘以将方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为． 11．（2024·陕西西安·模拟预测）解分式方程： 【答案】原方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把方式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 12．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 经检验，是原方程的根 13．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 检验：当，时，， ∴是原方程的解． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 分式方程两边乘以，得 ∴， 解得： 经检验是原方程的解． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 检验：当时，， ∴是原方程解的增根，原方程无解 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程的知识，注意要将所得的解代入原方程检验．先去分母，化为整式方程，再解整式方程即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 17．解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后再开方，得到两个一元一次方程，求解即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 18．（2024·陕西宝鸡·一模）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：． ， ， 或， 解得，． 19．在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化钠溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氯化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数） 【答案】小兰配置的氯化钠溶液质量为克，小明配置的溶液质量为克 【分析】设小兰配置的氯化钠溶液质量为克，则小明配置的溶液质量为克，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小兰配置的氯化钠溶液质量为克，则小明配置的溶液质量为克，依题意， 解得：， ∴克． 答：小兰配置的氯化钠溶液质量为克，小明配置的溶液质量为克． 20．为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 【答案】该队负了1场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队平了x场，则负了场．再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设该队平了x场，则负了场． 由题意得 解得 则 答：该队负了1场． 21．2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动，志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A，B两款精美的钥匙扣进行售卖．已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元．若某外地游客购买5个A款钥匙扣和5个B款钥匙扣共付款85元，求A，B款钥匙扣每个的价格．（列一元一次方程解） 【答案】A款钥匙扣每个的价格为2元，B款钥匙扣每个的价格为15元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出方程成为解题的关键． 设A款钥匙扣每个的价格为x元，则B款钥匙扣每个的价格为元，然后根据等量关系“购买5个A款钥匙扣和3个B款钥匙扣共付款85元”列方程求解即可． 【详解】解：设A款钥匙扣每个的价格为x元，则B款钥匙扣每个的价格为元， 由题意得：， 解得：， ∴． 答：A款钥匙扣每个的价格为2元，B款钥匙扣每个的价格为15元． 22．某班级为参加学校五月份组织的“爱国情，成才志”朗诵比赛，准备给同学们购买班服．通过调查发现，某网店在销售可以定制图案与文字的白色恤时，有两种不同的销售方案．方案一：按每件恤标价的折销售．方案二：按每件恤的标价降价元进行销售．通过计算发现，按照方案一购买件恤的金额与按照方案二购买件恤的金额相等，求每件恤的标价． 【答案】每件恤的标价为元． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设每件恤的标价为元，根据按照方案一购买件恤的金额与按照方案二购买件恤的金额相等即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每件恤的标价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件恤的标价为元． 23．中国陶瓷遍布全世界，某陶瓷厂生产某种茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要原料是紫砂泥，做1个茶壶需要的紫砂泥可以做4个茶杯，6千克紫砂泥可以做个32茶杯和4个茶壶．求做1个茶杯需要多少紫砂泥？ 【答案】做1个茶杯需要紫砂泥千克． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设做1个茶杯需要紫砂泥x千克，根据题意，列方程，求解即可，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设做1个茶杯需要紫砂泥x千克，根据题意，得： ， 解得：， 答：做1个茶杯需要紫砂泥千克． 24．2024年2月，第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区举办，吉祥物蒙古彩娃“安达”和“赛努”深受人民喜爱．某商店在销售一种印有蒙古彩娃的文化衫时，按文化衫每件标价的8折销售15件的销售额，与按文化衫每件的标价降低10元销售16件的销售额相等，求文化衫每件的标价． 【答案】文化衫每件的标价为40元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设文化衫每件的标价为x元，分别表示出两种销售方式的销售额，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设文化衫每件的标价为x元， 由题意得，， 解得， 答：文化衫每件的标价为40元． 25．盲盒近些年来比较火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐，某商场计划采购进价为15元的潮玩盲盒和进价为32元的高品质精品盲盒，若采购这两种盲盒共300盒，共用去6200元，这两种盲盒各采购了多少盒？ 【答案】采购了盒潮玩盲盒，采购了盒精品盲盒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设采购了盒潮玩盲盒，则采购了盒精品盲盒，根据“采购这两种盲盒共300盒，共用去6200元”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设采购了盒潮玩盲盒，则采购了盒精品盲盒， 由题意得：， 解得：， （盒）， 采购了盒潮玩盲盒，则采购了盒精品盲盒． 26．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 27．某校开展“红五月”主题教育活动，特组织学生去电影院观看爱国主义教育电影．某班教师与学生一共去了50人，已知电影票成人票每张40元，老师买成人票，学生票按成人票五折优惠，电影票共需1080元．这个班参与活动的教师和学生各多少人？ 【答案】参与活动的教师有4人，学生有46人． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，设参与活动的教师有x人，学生有y人，由此列方程组即可求解，掌握二元一次方程组解实际问题是解题的关键． 【详解】解：设参与活动的教师有x人，学生有y人，由题意得， ， 解得， 答：参与活动的教师有4人，学生有46人． 28．甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两人的速度． 【详解】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， ， 解得， 答：甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 29．某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；其中购买一个乙文具比购买一个甲文具便宜10元钱，求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ 【答案】购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买一个乙文具比购买一个甲文具便宜10元钱”列方程组解答即可． 【详解】解：设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元， 由题意得：， 解得 答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）2023年12月18日23时59分，甘肃省积石山县发生6.2级地震，贵州省蓝天救援队启动一级应急响应，组织一支队伍赶赴灾区参与救援．该队伍原计划要完成的公路疏通，实际工作时每小时的工作效率比原计划提升，设原计划每小时疏通公路．解答下列问题： (1)实际每小时疏通公路 m（用含x的代数式表示）； (2)实际工作时提前2小时完成既定任务，求实际每小时疏通公路的长度． 【答案】(1) (2)实际每小时疏通公路 【知识点】分式方程的实际应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式、分式方程的应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解答的关键． （1）直接根据“实际工作时每小时的工作效率比原计划提升”列代数式即可； （2）根据“实际工作时提前2小时完成既定任务”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：实际每小时疏通公路，即， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：实际每小时疏通公路． 31．（2024·陕西西安·模拟预测）某公司去年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，那么该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是多少？（请列方程解答） 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； 根据该公司10月份和12月份的营业额，即可得到关于x的一元二次方程，解方程取其正值即可． 【详解】解：设该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是x，根据题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是． 32．（2024·陕西西安·模拟预测）每年的4月23日是世界读书日，全国各地开展了丰富多彩的读书主题活动，为推动全民阅读，营造良好的文明风尚．某学校为鼓励学生多读书读好书，计划购进了一批A、B种图书，已知购买一本A种图书比购买一本B种图书贵5元，用160元购买B种图书的数量是用400元购买种图书数量的一半．求购买的、种图书的单价各多少元？ 【答案】购买的种图书的单价为25元，则购买的B种图书的单价为元． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设购买的种图书的单价为x元，则购买的B种图书的单价为元，根据用160元购买B种图书的数量是用400元购买种图书一半列出方程求解即可． 【详解】解：设购买的种图书的单价为x元，则购买的B种图书的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买的种图书的单价为25元，则购买的B种图书的单价为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式 课标要求 考点 考向 1.方程与方程组：①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 ②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程。 ③掌握消元法，能解二元一次方程组。 ④*能解简单的三元一次方程组 ⑤理解配方法.能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的元二次方程。 ⑥会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 ⑦了解一元二次方程的根与系数的关系。 ⑧能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 2.不等式与不等式组：①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。②能解数字系数的一元一次不等式， 并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 ③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式， 解决简单的问题。 方程 考向一 解整式方程 考向二 解分式方程 考向三 方程的应用 一元一次 不等式（组） 考向一 解一元一次不等式 考向二 解一元一次不等式组 考点一 方程 ►考向一 解整式方程 ·一次方程与方程组易混易错 1. 解一元一次方程 ①去分母：一元一次方程中每一项乘以分母的最小公倍数； ②去括号：去掉一元一次方程中的括号，注意括号前面的符号，如果括号前面是负，则去掉括号要变号； ③移项：把含有未知数的移到等式左边，不含未知数的移到等式右边，依据：等式的基本性质； ④合并同类项：把等号两边含未知数的项和常数项的项合并起来的过程。 ⑤系数化为12..解二元一次方程组 （1）代入消元法的一般步骤： ①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成或的形式； ②将或代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出或值； ④将已求出的或值代入方程组中的任意一个方程（或），求出另一个未知数； ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。 （2）加减消元法的一般步骤： ①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数； ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解这个一元一次方程； ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值； ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。 ·一元二次方程易混易错 1.解一元二次方程： (1)直接开方法：一般的对于方程形式 ①当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，. ②当时，方程有两个相等的实数根. ③当时，方程无实数根. (2)配方法：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成形式 ①当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，. ②当时，方程有两个相等的实数根. ③当时，方程无实数根. (3)公式法：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，方程的根：. (4)因式分解法：如果一元二次方程存在两个实根、，那么它可以因式分解为. 2.一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即. 当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当∆=0时，方程有两个相等的实数根； 当∆＜0时，方程没有实数根； 3.一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程有两个实数根、，则， 注意：使用根与系数的关系公式的前提是∆＞0. ►考向二 解分式方程 解题技巧 解方程方程的步骤 ①去分母：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号；（注意：最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂） ②移项：移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值； ③验根：求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。 注意：（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。 （2）增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 （3）增根使最简公分母等于0。 （4）分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。 1．（2024·陕西·中考真题）解方程：． 2．（2021·陕西·中考真题）解方程：． 3．（2020·陕西·中考真题）解分式方程：． ►考向三 方程的应用 解题技巧 1.方程的应用解题步骤‌： ①‌审题‌：首先，需要仔细阅读题目，理解题目的背景和要求，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的数量关系。 ②‌设未知数‌：根据题目的需求，选择合适的未知数。有时可以直接设未知数，有时需要通过间接设元来简化问题‌。 ③‌列方程‌：根据题目中的等量关系，列出包含未知数的方程。这一步是解题的关键，需要找到题目中的等量关系，并将其转化为数学表达式。 ④‌解方程‌：求解列出的方程，得到未知数的值。解方程时需要注意解的合理性，必要时进行检验。 ⑤‌检验‌：对求得的解进行检验，确保其满足题目的实际条件。（一是检验解是否满足题目的实际意义，二是分式方程中需要检验解是否使分式方程有意义，避免增根的情况） ⑥‌写出答案‌：将求解过程和结果清晰地写在答案中，注意答案的表述要准确无误. 2.一元二次方程的应用模型： (1)一元二次方程增长率/传播问题：（其中表示增长前的基数，表示增长后的基数，表示增长率） (2)一元二次方程利润问题：总利润=单件的利润×销售量=（单件售价-单件成本）×销售量. (3)一元二次方程中比赛问题：比赛场数=（其中表示参加比赛的队伍个数） 4．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 5．（2023·陕西·中考真题）利用方程解决实际问题：小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价． 6．（2021·陕西·中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 考点二 一元一次不等式（组） ►考向一 解一元一次不等式 解题技巧 解一元一次不等式步骤： （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集 7．（2024·陕西·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·陕西·中考真题）解不等式：． ►考向二 解一元一次不等式组 解题技巧 1.由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。 注意：①在求不等式组的解集过程中通常是利用数轴来确定不等式组的解集。 ②在数轴上表示不等式组的解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画出公共部分。 ③公共部分是指数轴上被两个不等式解集的区域都覆盖住的部分，若无公共部分，则说这个不等式组无解或者说解集是空集。 9．（2022·陕西·中考真题）解不等式组： 10．（2021·陕西·中考真题）解不等式组： 11．（2020·陕西·中考真题）解不等式组： 1．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 2．解方程组： 2. 解方程组： 4．解不等式组：． 5．解不等式组：． 6．解不等式组 7．解不等式组： 8．解不等式组：． 9．解不等式组：． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）解分式方程： 11．（2024·陕西西安·模拟预测）解分式方程： 12．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）解方程：． 17．解方程：． 18．（2024·陕西宝鸡·一模）解方程：． 19．在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化钠溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氯化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数） 20．为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 21．2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动，志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A，B两款精美的钥匙扣进行售卖．已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元．若某外地游客购买5个A款钥匙扣和5个B款钥匙扣共付款85元，求A，B款钥匙扣每个的价格．（列一元一次方程解） 22．某班级为参加学校五月份组织的“爱国情，成才志”朗诵比赛，准备给同学们购买班服．通过调查发现，某网店在销售可以定制图案与文字的白色恤时，有两种不同的销售方案．方案一：按每件恤标价的折销售．方案二：按每件恤的标价降价元进行销售．通过计算发现，按照方案一购买件恤的金额与按照方案二购买件恤的金额相等，求每件恤的标价． 23．中国陶瓷遍布全世界，某陶瓷厂生产某种茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要原料是紫砂泥，做1个茶壶需要的紫砂泥可以做4个茶杯，6千克紫砂泥可以做个32茶杯和4个茶壶．求做1个茶杯需要多少紫砂泥？ 24．2024年2月，第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区举办，吉祥物蒙古彩娃“安达”和“赛努”深受人民喜爱．某商店在销售一种印有蒙古彩娃的文化衫时，按文化衫每件标价的8折销售15件的销售额，与按文化衫每件的标价降低10元销售16件的销售额相等，求文化衫每件的标价． 25．盲盒近些年来比较火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐，某商场计划采购进价为15元的潮玩盲盒和进价为32元的高品质精品盲盒，若采购这两种盲盒共300盒，共用去6200元，这两种盲盒各采购了多少盒？ 26．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 27．某校开展“红五月”主题教育活动，特组织学生去电影院观看爱国主义教育电影．某班教师与学生一共去了50人，已知电影票成人票每张40元，老师买成人票，学生票按成人票五折优惠，电影票共需1080元．这个班参与活动的教师和学生各多少人？ 28．甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 29．某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；其中购买一个乙文具比购买一个甲文具便宜10元钱，求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ 30．（2024·陕西西安·模拟预测）2023年12月18日23时59分，甘肃省积石山县发生6.2级地震，贵州省蓝天救援队启动一级应急响应，组织一支队伍赶赴灾区参与救援．该队伍原计划要完成的公路疏通，实际工作时每小时的工作效率比原计划提升，设原计划每小时疏通公路．解答下列问题： (1)实际每小时疏通公路 m（用含x的代数式表示）； (2)实际工作时提前2小时完成既定任务，求实际每小时疏通公路的长度． 31．（2024·陕西西安·模拟预测）某公司去年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，那么该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是多少？（请列方程解答） 32．（2024·陕西西安·模拟预测）每年的4月23日是世界读书日，全国各地开展了丰富多彩的读书主题活动，为推动全民阅读，营造良好的文明风尚．某学校为鼓励学生多读书读好书，计划购进了一批A、B种图书，已知购买一本A种图书比购买一本B种图书贵5元，用160元购买B种图书的数量是用400元购买种图书数量的一半．求购买的、种图书的单价各多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$