第5章一次函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

第5章 一次函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、函数的有关概念 （1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意：①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． （3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． （5）函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． （6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点二、一次函数与正比例函数 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． 一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． （2）正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 知识点三、一次函数的图象与性质 （1）正比例函数图象的性质 正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． 当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数的图象： 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点四、一次函数的应用 （1）、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． （2）、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． （3）、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 考点1：函数 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（22-23八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】计算时，函数的值即可． 本题考查了求函数的值，熟练掌握计算函数的值基本方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据分式的分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴自变量的取值范围是， 故答案为： 考点2：一次函数的图象 【例题2】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是， 故选：D 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与正比例函数（，为常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，与正比例函数，得到一次函数与正比例函数是平行线，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，位置关系，熟练掌握位置关系的判定是解题的关键． 【详解】解：∵与正比例函数， ∴两直线是平行的， 故A，B，C都不符合，D符合， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与x，y轴交点坐标的求法是解题的关键；先求出一次函数与x，y轴交点坐标，即可得出所围三角形的底和高，再根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， 当时，， 当时，， 解得：， 直线与x轴、y轴的交点为， 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 【答案】(1)， (2)的面积为4或12 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标． （2）由点A、B的坐标得出的长，结合可得出P点坐标，进而求出的长，再利用三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴P点坐标为或， ∴或6， ∴或， ∴的面积为4或12 考点3：一次函数的性质 【例题3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数的图象经过点，则比较的大小为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，判断出一次函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∵， ∴， 故选：B 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数的图象经过点A，且y的值随着x值的增大而减小，则点A的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据题意，得到，当时，，进而得到当时，，当时，，进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点A，且y的值随着x值的增大而减小， ∴，当时，， ∴当时，，当时，， ∴点的坐标可以为； 故选C 【变式2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性求最值，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，当时，取得最大值；当时，取得最大值；由此即可求解． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 当时，y随x的增大而减小， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 【变式3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)与之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据一次函数的增减性，可得，据此即可求解； 本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设，将，代入得， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴随的增大而增大， ∵点，在该一次函数的图象上，且， ∴， ∴． 考点4：一次函数与一元一次不等式 【例题4】（22-23八年级上·安徽六安·期中）函数，，为常数）的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式可以归结为以下两种:(1)从函数值的角度看,就是寻求使一次函数的值大于0的自变量x的取值范围;(2)从函数图象的角度看,就是确定直线在x轴上方部分所有点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：一次函数，当时，图象在轴上方， 函数图象与轴交于点， 不等式的解集为， 故选：． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于结合函数图象求解 【变式1】（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数的图像过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图像过第一、二、四象限，判断出的符号，再根据直线与x轴交于点，求出的关系，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数的图像过第一、二、四象限，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，以及解一元一次不等式．根据一次函数的图象所在象限，判断出参数的符号，是解题的关键．注意，不等式两边同除一个负数，不等号的方向要发生改变． 【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数（k，b为常数且）． (1)若函数图象过点，求的值； (2)已知点和点都在该一次函数的图象上，求k的值； (3)若的图象经过点，则不等式的解集为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）把点代入一次函数解析式中即可得到答案； （2）把点和点代入一次函数解析式中求出k的值即可； （3）把点代入，得出，把代入得，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点都在该一次函数的图象上， ∴， 得：， ∴； （3）解：∵的图象经过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时，． 考点5：一次函数的实际应用 【例题5】（21-22八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式 【变式1】（20-21八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 【答案】70 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 【详解】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某机场经济舱的某次航班托运行李的费用与行李质量之间的关系如图所示，在缴费时，若行李质量是千克，需要缴费元，若行李质量是千克，需要缴费元． (1)求托运行李的费用（元）与行李质量之间的函数关系式； (2)问最多可以免费托运行李质量是多少千克？ 【答案】(1)； (2)最多可以免费托运行李质量为千克． 【分析】（）由待定系数法求解即可； （）由题意得免费托运行李就是运费为元，由，当时，求出的值即可； 本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设开始收费后，托运行李的费用与行李重量之间的关系式为， 则， ∴， ∴开始收费后，托运行李的费用与行李重量之间的关系式为， 当时，， 解得， ∴托运行李的费用与行李重量之间的关系式为； （2）解：由（）可知，由，当时，， ∴最多可以免费托运行李质量为千克． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： (1)甲的速度是 米/分钟，乙比甲提前 分钟先到达终点； (2)求乙所跑路程y与时间x之间的函数表达式； (3)请直接写出甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间． 【答案】(1)250，8 (2) (3)甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间为10分钟或22分钟或26分钟 【分析】（1）依据函数图象可得到总路程和两人跑完全程所用的时间，依据速度＝路程÷时间可求得甲的速度，并能够判断到达终点的时间差； （2）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （3）求出前20分钟乙的速度，20到32分钟时乙的速度和甲的速度，然后分：①当前20分钟甲、乙两人相距500米时，②20分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距500米时，③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距500米时，分别列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知甲跑完全程需要40分钟，乙跑完全程需要32分钟， ∴甲的速度米/分钟；， ∴乙比甲提前8分钟先到达终点， 故答案为：250，8； （2）解：设当时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为，把代入中，则有， 解得， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为； 设当时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为，把、代入中，得： ， 解得， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为， 综上，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为：； （3）解：由图函数图象可知： 前20分钟乙的速度为：（米/分钟）；20到32分钟时乙的速度为：（米/分钟）； ∵甲的速度是250米/分钟， 设乙所跑的时间为t分钟， ①前20分钟甲、乙两人相距500米时，由题意得： ， 解得：； ②20分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距500米时，由题意得： ， 解得：； ③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距500米时，由题意得： ， 解得：； 答：甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间为10分钟或22分钟或26分钟． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，准确识别函数图象，理解每段函数图象所表示的实际意义是解题的关键． 考点6：一次函数的综合应用 【例题6】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，首先确定点，坐标，利用勾股定理解得的值，由折叠的性质可得，，，，即，进而可得，设，则，在中，利用勾股定理解得，易知，，利用面积法解得，即，将代入直线，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， 对于直线， 令，可得， 令，可得，解得， 即，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ，，，即， ∴， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴，， ∵，即， 解得，即， 将代入直线，可得， 解得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、折叠的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 【变式1】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 先求出点A，B的坐标，判定出，则，，求解出点坐标，再根据三角形面积即可求解； 【详解】解：过点C作轴交轴于点，如图； 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ，， ，， ， 等腰直角三角形以为腰； ，， ， 则，， ， 点， 则； 故答案为： 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，令．求出的值；再令求出的值，即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则；再令则， （2）解：由（1）知，， ， 的面积为10， ． 即， 或． 【变式3】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，满足，，当点A从原点O开始沿x轴的正方向运动时，点B始终在第一象限运动． (1)当轴时，求B点坐标； (2)随着A、C的运动，当点B落在直线上时，求此时A点的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据勾股定理，可得的长，可得B点坐标； （2）过点B作轴，垂足为点E，设，先证明，可得，，根据勾股定理，可得x的长，可得A点坐标； （3）分类讨论：①D在y轴的正半轴上；②D在y轴的负半轴上，根据面积的和差，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B坐标为； （2）解：如图，过点B作轴，垂足为点E， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵点B落在直线上， ∴设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴点； （3）解：设点，由（2）得， 当点D在y轴正半轴上，如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点； 若点D在y轴负半轴上，如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点D坐标为． 综上，存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16，点D的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用面积的和差得出关于y的方程是解题关键，注意分类讨论，以防遗漏． 一、单选题 1．（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 2．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化． 【详解】解：点在直线上， ， 将上式代入中， 得：， 解得：， 由，得：， （两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变）， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的方向的变化情况． 4．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 二、填空题 5．（2020·上海·中考真题）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而 ．（填“增大”或“减小” ） 【答案】减小 【分析】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小．根据正比例函数的性质进行解答即可． 【详解】解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小， 故答案为：减小． 6．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 7．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b． (1)求点A′的坐标； (2)确定直线A′B对应的函数表达式． 【答案】(1)A′（2，0） (2)y＝﹣x+2 【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可； （2）利用待定系数法解答即可． 【详解】（1）解：令y＝0，则x+1＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴A′（2，0）． （2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 8．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，得， ∴点A的坐标为． （2）由题意得， ，即， 又由，得， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键． 9．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式； （2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解． 【详解】解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为； （2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得： ，解得：， 函数图象如图所示： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元 (2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得： 解得：， 经检验是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元； （2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得： ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 在中， 为正整数， 当时，有最小值，最小值为（元）， 则（副） 答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元． 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知点与点都在直线上，则m、n的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质．先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：直线中，， 此函数随着的增大而增大， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选： 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选A． 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k、b的取值情况是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了根据一次函数的增减性求参数的范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的函数值随自变量的增大而增大，可得，然后结合图象与轴的正半轴相交，可得图象与y轴的正半轴相交，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∵一次函数的图象与x轴的正半轴相交，则图象与y轴的正半轴相交， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题． 【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象，写出直线在的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴直线在的上方解集为， ∴不等式的解集为， 故选：D． 7．（24-25八年级上·全国·期末）已知一次函数中，y随着x的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握在一次函数，根据k，b的值确定函数的图象经过的象限是解题的关键． 由y随着x的增大而增大，可得，再由得到，进而根据一次函数的图象与系数的关系即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而增大， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：A 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路走回家．下面能反映当天爷爷走的路程y（单位：）与时间x（单位：）之间关系的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查函数图象问题，关键是根据速度的物理意义和比较物体运动快慢的基本方法． 由爷爷锻炼身体的行程，可得出路程的变化是先增加（较快）、中间有段不变，后来路程增加（较慢），对照选项即可得出结论． 【详解】解：爷爷从家里跑步到公园，路程y与时间x的增大而增加较快；打了一会儿太极拳，路程y与时间x的增大而不变；然后沿原路走回家路程y与时间x的增大而增加较慢． 故选：C． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（   ） x … 0 1 2 … … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图像与性质，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键．根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将和代入得到，解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、当时，，解得，该选项正确，符合题意； D、由一次函数为，当时，，函数图像与轴的交点是，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 10．（24-25八年级上·全国·期中）已知图书馆到体育馆两地相距，上午时，张辉从出图书馆出发步行到体育馆地，时李丽从体育馆出发骑自行车到图书馆地，张辉和李丽两人离图书馆的距离（）与张辉出发后时间（）之间的函数关系如图所示，李丽到达图书馆地的时间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象先求出张辉离图书馆的距离与时间的函数关系式，再求出李丽离图书馆的距离与时间的函数关系式，然后令求出即可． 【详解】解：依据题意，设张辉离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 把，代入，得： ， 解得：， 张辉离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 当时，， 设李丽离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 把，和，代入，得： ， 解得：， 李丽离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 令，于是有： ， 解得：， 李丽到达图书馆地的时间为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程等知识点，求出张辉和李丽两人离图书馆的距离（）与张辉出发后时间（）之间的函数关系式是解题的关键． 二、填空题 11．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知点，是一次函数图像上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．根据，可得出随的增大而增大，结合，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数中， 随的增大而增大 又点，是一次函数的图像上，且 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，由图象所在的象限得到关于的不等式组是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数不经过第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知直线，则无论m取何值，该直线必定经过第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．判断点所位于的象限，令m的系数等于0求出x的值，再求出y的对应值即可求出直线过定点，即可判断直线一定经过的象限． 【详解】解：直线，可化为：， 当时，， 即直线过定点， 位于第一象限， 则该直线一定经过第一象限， 故答案为：一． 14．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如(为常数)的函数为一次函数．根据定义得：且，求出m的值即可． 【详解】解：∵是y关于x的一次函数， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 16．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 17．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．若点在线段上，点在直线上，则的最大值 ． 【答案】// 【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出点A的坐标，然后求出直线的解析式，再把P，Q代入两个函数得到的表达式，根据t的取值范围即可求出最大值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点代入（1）中所求的函数的解析式求的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴，即； （2）解：点在函数的图象上， ∴， 解得：． 20．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与系数的关系是关键． （1）经过原点，则且，再进一步求解即可； （2）根据一次函数的图象经过点，且y的值随x的增大而减小，，且，从而可以求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴且， ∴． （2）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴． 21．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）设点，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：设点， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 22．（24-25八年级上·安徽池州·期中）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求三角形的面积； (3)根据图象，直接写出的解集____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）联立函数解析式，求出点坐标，再求出点坐标，得到的长，最后根据三角形的面积公式计算即可； （）根据图象即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，三角形的面积，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把和分别代入， 得：，   解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：联立函数式得， 解得，   ∴， 在中，令，即， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图象可得，当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，且经过点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴的正半轴上是否存在点，使得以、、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理； （1）将点，分别代入解析式，解方程，即可求解； （2）设，，分别求得的长，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，且经过点． ∴ 解得： ∴ （2）解：设， ∵， ∴，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：（负值舍去） ∴或或 24．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A型45只，B型15只． (2)A型44只，B型16只获利最大：最大利润是34400元 【分析】本题考查一元一次方程的运用，一元一次不等式的实际运用，一次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立等量或不等关系求解． （1）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据“该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，”建立方程求解，即可解题； （2）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据题意建立不等式求解，得到的取值范围，再根据题意表示出利润，结合的取值范围求解，即可解题． 【详解】（1）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 由题意可得：， 解得， （只）， 答：购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只； （2）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元， ， 解得， A型号的智能手表不得超过44只． ， ， 利润， ， 根据式子可知，当取值越大，利润越大， 当时，利润最大为（元）， （只） 答：该商店应进A型号的智能手表只，B种型号智能手表只，才能使得获利最大，最大利润是元． 25．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或或或； (3)点坐标是或． 【分析】（）把点代入得到，求得直线的解析式为，当 时，，得到点坐标是，把点，代入，即可得到结论； （）由，，得到，，根据勾股定理得到 ，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设直线的解析式为，得到直线的解析式为，求得直线与轴的交点坐标为(0， ，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标是， 把点，代入得， 故答案为：，； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图， 则点是， ∴点是或 ； 当时， ∴， ∴点是， 当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是， 即， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 设， ∵点的坐标为，，的面积为， ∴， ∴或， ∴点坐标是或． 26．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求得，由求得，得到，得到，得，设解析式为，求得，得到； （2）求出，得到，求出，得到，设，根据，得到，求得，或，得到 （3）将向下平移6个长度单位为，得到，得到，设，当时，，得到 ，当时，根据，得到，得到轴，得到． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵中，时，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，或， ∴； （3）解：存在．理由： 将向下平移6个长度单位为， 当时，， ∴， ∴， 设， 当时，， 解得， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴． 故． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，三角形面积公式，函数的平移，等腰三角形判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一次函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、函数的有关概念 （1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意：①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． （3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． （5）函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． （6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点二、一次函数与正比例函数 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． 一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． （2）正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 知识点三、一次函数的图象与性质 （1）正比例函数图象的性质 正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． 当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数的图象： 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点四、一次函数的应用 （1）、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． （2）、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． （3）、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 考点1：函数 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）函数中自变量的取值范围是 ． 考点2：一次函数的图象 【例题2】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（      ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与正比例函数（，为常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为 ． 【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 考点3：一次函数的性质 【例题3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数的图象经过点，则比较的大小为（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数的图象经过点A，且y的值随着x值的增大而减小，则点A的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【变式3】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)与之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数的取值范围． 考点4：一次函数与一元一次不等式 【例题4】（22-23八年级上·安徽六安·期中）函数，，为常数）的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数的图像过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数（k，b为常数且）． (1)若函数图象过点，求的值； (2)已知点和点都在该一次函数的图象上，求k的值； (3)若的图象经过点，则不等式的解集为_________． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 考点5：一次函数的实际应用 【例题5】（21-22八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【变式1】（20-21八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某机场经济舱的某次航班托运行李的费用与行李质量之间的关系如图所示，在缴费时，若行李质量是千克，需要缴费元，若行李质量是千克，需要缴费元． (1)求托运行李的费用（元）与行李质量之间的函数关系式； (2)问最多可以免费托运行李质量是多少千克？ 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： (1)甲的速度是 米/分钟，乙比甲提前 分钟先到达终点； (2)求乙所跑路程y与时间x之间的函数表达式； (3)请直接写出甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间． 考点6：一次函数的综合应用 【例题6】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，则的面积为 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【变式3】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，满足，，当点A从原点O开始沿x轴的正方向运动时，点B始终在第一象限运动． (1)当轴时，求B点坐标； (2)随着A、C的运动，当点B落在直线上时，求此时A点的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 4．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 5．（2020·上海·中考真题）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而 ．（填“增大”或“减小” ） 6．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 三、解答题 7．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b． (1)求点A′的坐标； (2)确定直线A′B对应的函数表达式． 8．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 9．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 10．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知点与点都在直线上，则m、n的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 2．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k、b的取值情况是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·全国·期末）已知一次函数中，y随着x的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路走回家．下面能反映当天爷爷走的路程y（单位：）与时间x（单位：）之间关系的大致图象是（  ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（   ） x … 0 1 2 … … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 10．（24-25八年级上·全国·期中）已知图书馆到体育馆两地相距，上午时，张辉从出图书馆出发步行到体育馆地，时李丽从体育馆出发骑自行车到图书馆地，张辉和李丽两人离图书馆的距离（）与张辉出发后时间（）之间的函数关系如图所示，李丽到达图书馆地的时间为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知点，是一次函数图像上的两点，如果，那么，的大小关系是 （填“”或“”或“”）． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知直线，则无论m取何值，该直线必定经过第 象限． 14．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 15．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 16．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 17．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．若点在线段上，点在直线上，则的最大值 ． 18．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 20．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 21．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 22．（24-25八年级上·安徽池州·期中）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求三角形的面积； (3)根据图象，直接写出的解集____． 23．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，且经过点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴的正半轴上是否存在点，使得以、、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 25．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 26．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$