专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题（11大题型）（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题 目录 01 模拟基础练 2 题型一：函数单调性的合应用 2 题型二：函数的奇偶性的综合应用 2 题型三：已知f(x)=奇函数+M 3 题型四：利用轴对称解决函数问题 3 题型五：利用中心对称解决函数问题 4 题型六：奇偶性对称偏移 5 题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 5 题型八：双对称与周期性 6 题型九：双函数与对称性 7 题型十：类周期与倍增函数 8 重难点突破：函数性质与导数 8 02 重难创新练 9 题型一：函数单调性的合应用 1．（2024·陕西宝鸡·二模）“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·一模）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：函数的奇偶性的综合应用 4．（2024·江西南昌·模拟预测）函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（   ） A． B． C． D． 5．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西新余·模拟预测）函数为偶函数，则的值为：（     ）. A． B． C． D． 题型三：已知f(x)=奇函数+M 7．设函数，且，则 ． 8．已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 . 9．已知函数，，则 . 题型四：利用轴对称解决函数问题 10．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在R上的函数，，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 题型五：利用中心对称解决函数问题 13．已知函数的对称中心为，则（　　） A． B． C． D． 14．已知函数，则 （    ） A．2019 B．2020 C．4038 D．4040 15．已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（    ） A．0 B． C． D． 题型六：奇偶性对称偏移 17．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 18．若定义在上的函数满足为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·高三·四川成都·开学考试）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．的一个周期为8 20．（多选题）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 21．（多选题）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 22．（多选题）（2024·高三·安徽·期中）已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 23．（多选题）（2024·高三·山西太原·期中）已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D． 24．（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 题型八：双对称与周期性 25．已知函数满足，，且，则的值为（    ） A．96 B． C．102 D． 26．（2024·陕西安康·模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 28．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型九：双函数与对称性 29．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（    ） A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称 30．与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·广东梅州·一模）已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（　　） A．是偶函数且它的图象关于点对称 B．是奇函数且它的图象关于点对称 C．是偶函数且它的图象关于点对称 D．是奇函数且它的图象关于点对称 题型十：类周期与倍增函数 32．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 33．设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ） （1）当时， （2） （3）若，则实数的最小值为 （4）若有三个零点，则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 重难点突破：函数性质与导数 35．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 37．（多选题）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 1．（2024·高三·天津·开学考试）设是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·上海·期中）设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·高三·安徽·期中）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（2024·高三·宁夏·期中）奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（   ） A．2025 B．0 C．-4 D．4 7．（2024·高三·广东中山·期中）已知定义域为的偶函数满足，当时，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数（不是常函数）及其导函数的定义域均为，记，若和均为偶函数，则下列说法中可能错误的是（   ） A．存在实数，使 B． C． D． 9．（多选题）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 10．（多选题）（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高三·安徽马鞍山·期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，有，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数恰有3个零点 12．（2024·高三·四川眉山·期中）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则 ． 13．（2024·高三·上海·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，若，则的最小值为 . 14．（2024·高三·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 . 15．（2024·高三·重庆·期中）已知函数 的定义域为 ，，，则 ． 16．（2024·高三·河南·开学考试）设函数是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的x，都有，则＝ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题 目录 01 模拟基础练 2 题型一：函数单调性的合应用 2 题型二：函数的奇偶性的综合应用 4 题型三：已知f(x)=奇函数+M 5 题型四：利用轴对称解决函数问题 7 题型五：利用中心对称解决函数问题 9 题型六：奇偶性对称偏移 11 题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 14 题型八：双对称与周期性 17 题型九：双函数与对称性 21 题型十：类周期与倍增函数 22 重难点突破：函数性质与导数 26 02 重难创新练 29 题型一：函数单调性的合应用 1．（2024·陕西宝鸡·二模）“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式化简为：，即 令，则，则在上单调递增， 则不等式转化为，所以方程解集为. 故选：D． 2．已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，① ，② ①②得：， ， 又对于任意，都有，即对于任意，， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递增，满足题意； 当时，是二次函数，其对称轴方程为， 在上单调递增，所以或， 解得或， 综上，， 即的取值范围为,． 故选：B 3．（2024·四川德阳·一模）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意，都有， 令，则在R上单调递增， 其中， 当时，，解得， 且，解得或， 故， 当时，， 因为，所以， 故在上单调递增，满足要求， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 题型二：函数的奇偶性的综合应用 4．（2024·江西南昌·模拟预测）函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象经过点，得，则， 函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式，则， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故选：B 5．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，在上单调递增，且， 由，得，或， 时，，或， 又，即，或， 故，解得， 时，，或， 又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：D. 6．（2024·江西新余·模拟预测）函数为偶函数，则的值为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 由函数为偶函数，则 ， 即，解得：. 故选：D. 题型三：已知f(x)=奇函数+M 7．设函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由于， 于是函数是一个单调递增的奇函数， 而． 故答案为： 8．已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 . 【答案】15 【解析】 令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即 故答案为： 9．已知函数，，则 . 【答案】9 【解析】令，定义域为， 且， 所以为奇函数， 所以，即， 故. 故答案为：9. 题型四：利用轴对称解决函数问题 10．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以函数的图象关于直线对称， 设五个零点分别为，且， 则， 所以,所以， 则，由，可得，则. 故选：C. 11．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在R上的函数，，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 【答案】C 【解析】由，判断的图象关于直线对称，把a、b、c转化为在 x > 1的函数值利用单调性比较大小.因为，所以函数的图象关于直线对称，又，，，所以，，.因为，，所以，又当时，为减函数，所以，即. 故选：C. 12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先设函数判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数的对称性和单调性，再将，，以及转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.令，所以是偶函数； 当时，，在上是增函数， 将图像向右平移一个单位得到图像， 所以关于直线对称，且在单调递增. ∵，，， ∴， ∴， 又∵关于直线对称，∴， ∴. 故选：A 题型五：利用中心对称解决函数问题 13．已知函数的对称中心为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 其对称中心为 ，， ， ， 故选：C 14．已知函数，则 （    ） A．2019 B．2020 C．4038 D．4040 【答案】C 【解析】先判断出关于成中心对称，由此求得所求表达式的值.， 令，， 则为奇函数，所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则有， 所以 . 故选：C 15．已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和.，关于点对称， ，可知函数关于点对称， 与的交点也关于点对称， . 故选：C 16．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，又， 所以①，而②， 联立①②，解得：，，则． 故选：C 题型六：奇偶性对称偏移 17．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由为奇函数，得， 故①，函数的图象关于点对称； 由为偶函数，得②， 则函数的图象关于直线对称； 由①②得， 则， 故的周期为，所以， 由，令得，即③， 已知， 由函数的图象关于直线对称，得， 又函数的图象关于点对称，得 所以，即， 所以④，联立③④解得 故时，， 由关于对称，可得. 故选：A. 18．若定义在上的函数满足为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为偶函数,所以, 又因为,所以, 即,即得,, 故,所以的周期为. 的图像关于对称,且的图像关于对称; 函数值不可知,故选项错误 因为,令得,因为的周期为. 所以,即,故选项错误; 故选项正确; 故选: . 19．（2024·高三·四川成都·开学考试）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．的一个周期为8 【答案】C 【解析】由题设，，则关于对称， 所以，即， 则，即， 由，则关于对称， 所以，即， 综上，，则， 故，即易知的周期为8，D正确； ，A正确； 由，而为奇函数，故为奇函数，B正确； 由时递增，则时递增，显然C错误. 故选：C 20．（多选题）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【解析】若是奇函数，即它的图象关于原点对称， 把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象， 因此的图象关于点对称，所以，， 是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象， 因此的图象关于直线对称，从而，，B正确； 所以，即， ，所以，A错； ，C正确； 在上递减，它关于直线对称，则在上递增， 又它的图象关于点对称，则在上递增， 再由它关于直线对称得它在上递减，D正确， 故选：BCD． 题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 21．（多选题）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 【答案】ACD 【解析】该函数满足且， 对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误； 对于C，令，， 可得，令，可得， 将两式相加得：，所以， 所以，所以， 因此，6是的一个周期，故C正确； 对于D，令，，，所以， 所以， 因为，， 因为，令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 由于6是的一个周期， 所以， 所以，故D正确； 故选：ACD 22．（多选题）（2024·高三·安徽·期中）已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【解析】定义在上的函数满足：对，， 对于A，令，则，，A正确； 对于C，令，则， 于是， 则，因此不是偶函数，C错误； 对于B，由函数为偶函数，得，即， 于是，即，， 因此函数的周期为，，B正确； 对于D，由，得， 因此，D正确. 故选：ABD 23．（多选题）（2024·高三·山西太原·期中）已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【解析】对于A，令，可得， 由，则，解得， 令，可得，故A正确； 对于B，由题意可知在函数的图象上，而点关于的对称点为， 易知不在函数的图象上，故B错误； 对于C，设点在函数的图象上，点关于直线的对称点为， 当点在函数的图象上时，函数的图象一定关于直线对称， 此时由，可得， 令，可得，则，故C正确； 对于D，令，可得，则， 当时，令，可得， 则，所以； 当时，令，可得， 则，， 所以， 综上所述，，故D错误. 故选：AC. 24．（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【解析】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 题型八：双对称与周期性 25．已知函数满足，，且，则的值为（    ） A．96 B． C．102 D． 【答案】C 【解析】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称， 又由函数满足，即 所以函数关于对称， 所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称， 所以，且函数的周期， 又因为，所以， 可得， 所以 . 故答案为：. 26．（2024·陕西安康·模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以关于点对称，所以； 又，所以，所以有，故关于直线对称，所以. 所以，，所以有，所以， 所以的周期为4. 当时，，所以， 所以时，. 当时，，所以. 作出函数在上的图象如下图 当时，由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，解得，所以. 根据图象可得时，的解集为. 又因为的周期为4， 所以在实数集上的解集为. 令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误； 令，可得区间为，故B项错误； 令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误； 令，可得区间为，故D项正确. 故选：D. 27．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【解析】由是奇函数，知的图象关于点对称， 所以，，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 则，所以，所以为偶函数，则也为偶函数，故，项错误. 由，得，所以，故项错误. 因为，所以，所以函数的周期为. 由，得，所以. 因为，所以， 所以， 因为，所以，故正确. 故选：. 28．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 题型九：双函数与对称性 29．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（    ） A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称 【答案】C 【解析】因为函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位长度得到；因为f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C. 30．与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点， 则点关于原点的对称点在曲线上，所以，， 化简得， 因此，与曲线关于原点对称的曲线为. 故选：A. 31．（2024·广东梅州·一模）已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（　　） A．是偶函数且它的图象关于点对称 B．是奇函数且它的图象关于点对称 C．是偶函数且它的图象关于点对称 D．是奇函数且它的图象关于点对称 【答案】C 【解析】由题， 因为在处取得最小值， 即 所以 即= 分析答案，为偶函数且图像关于点对称 故选C 题型十：类周期与倍增函数 32．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，又当时，， 当，，时，， 则， ， 当，，时，， 则， ， 作出函数的大致图象， 对任意，都有， 设的最大值为， 则，且 所以，解得 所以m的最大值为. 故选：A. 33．设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ） （1）当时， （2） （3）若，则实数的最小值为 （4）若有三个零点，则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为 是奇函数，是偶函数， 所以 ，解得， 由 当时，，则，所以， 同理：当时，， 以此类推，我们可以得到如下的图象： 对于（1）∶根据上述规律，当时，，故（1）错误； 对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数， 则 刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得 ，故（2）正确； 对于（3）∶根据图象，当时， 由图像可得（3）正确； 对于（4）∶有三个零点， 等价于函数与函数有三个不同的交点，设， 则函数的图象为恒过点A的直线，如图所示. 当函数与，相切的时候，有三个交点， 相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为 故有三个零点， ，故（4）错误． 说法正确的个数为2. 故选：B． 34．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【解析】函数是定义在R上的奇函数, . 又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. 函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时,,故有 函数在上的值域为,当且仅当时,. 又当时,,如图： 函数在上的值域为； 函数在上的值域为； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 即方程在上的又一个实数解.即有一个零点； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点, 同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点. 综上函数在上的所有零点之和为8, 故选：D. 重难点突破：函数性质与导数 35．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A：令，则；令，则.所以，故A正确； 对B：因为， 两边求导，得即； 因数为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对C：因为， 所以，未必为0，故C错误； 对D：因为，令，则，故D正确. 故选：ABD 36．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】是偶函数，，即， 函数关于直线对称， ，的值无法确定，故A错误，C正确； 对两边同时求导得， 即，所以， 关于点对称，且， 是偶函数，①， 关于直线对称，， ，②， 由①②得，， ， ，4是函数的一个周期，，故B正确； ，故D正确. 故选：BCD. 37．（多选题）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】因为为偶函数，所以，即， 而，故，故， 又为偶函数，所以，即， 所以，故即， ，所以4是的周期，故B正确. 对A，由两边求导得， 令得，解得，A正确： 对C，由上知，所以， 所以C错误； 对D，因为， 故，故的图象关于对称，因为4是的周期，故的图象关于点对称 故选：ABD 1．（2024·高三·天津·开学考试）设是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为当时，，所以在上为增函数， 又是定义在上的奇函数，所以在上为增函数， 因为，所以，， 所以，即， 所以不等式可化为，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：C. 2．（2024·高三·上海·期中）设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为是定义域为R的奇函数， 所以的定义域为，且是偶函数， 且， 因为对任意，都有， 即对任意，都有， 所以时，， 所以在上单调递减，所以在上上单调递增， 因为，所以，所以， 当时，不等式等价于，即， 所以，解得， 当时，不等式等价于，即， 所以，解得， 综上，原不等式的解集为． 故选：D． 3．（2024·高三·安徽·期中）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，已知是奇函数， 当时，一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得，所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有，即，即，所以，即，故.所以. 故选：C. 4．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 则，所以为奇函数， 又由复合函数的单调性可得在上为增函数， 因为， 所以原不等式可转化为，即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 5．（2024·高三·宁夏·期中）奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据奇函数的性质，奇函数在上单调递减，则在上仍然递减. 当时，，在上单调递减，故，则； 当时，注意到，于是，在单调递减，故，则. 综上，. 故选：D 6．（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（   ） A．2025 B．0 C．-4 D．4 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以， 即，所以 所以关于对称，同时， 又为奇函数，则，所以关于对称， 即，所以常数， 令可得：， 所以， 则关于对称，结合，所以， 所以，又， 所以， 所以 ，也即， 所以 所以是周期为4的函数， ，， ，，，， 故选：C. 7．（2024·高三·广东中山·期中）已知定义域为的偶函数满足，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是偶函数，， ，， 故的周期，故， ，令，则， 又当时，， ，即，即， 故选：C. 8．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数（不是常函数）及其导函数的定义域均为，记，若和均为偶函数，则下列说法中可能错误的是（   ） A．存在实数，使 B． C． D． 【答案】D 【解析】法一、由题意可知，即， 所以关于轴对称，则，故B正确； 且， 所以关于中心对称， 又，所以关于轴对称， 则， 即的一个周期为8，所以， 而不能确定其函数值， 故C正确，D错误； 设， 则， 即（c为常数），即， 故A正确； 法二、令，则， 显然是偶函数， 且也是偶函数， 即所构造的函数符合条件， 对于A，， 即实数，符合题意，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D 9．（多选题）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 【答案】BD 【解析】①， ②， 由②可得：③， ①③联立可得：④， 所以的图象关于点对称，A错； 由④，又为偶函数，所以， 所以，两式相减可得：， 又，，结合 所以，B对， ，由，可知：， 所以，所以，C错； 由，可得，结合， 得：， 所以， 又，所以 即，，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD 10．（多选题）（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为所以所以， 取，由可知，，故A错误； 取，由知，， 所以，故B正确； 令，由知，，即， 又因为，所以，故C错误； 由得，， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 11．（多选题）（2024·高三·安徽马鞍山·期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，有，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数恰有3个零点 【答案】ACD 【解析】对A：因为，令，得， 所以，解得，故A正确； 对B：因为为偶函数，又，所以关于对称， 所以， 所以是周期为4的周期函数，则， 故点不是函数的一个对称中心，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：作函数和的图象如图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，故D正确． 故选：ACD． 12．（2024·高三·四川眉山·期中）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则 ． 【答案】4 【解析】因为为奇函数，所以的图像关于点对称， 所以， 又因为图象关于直线对称， 所以 用替换解得： 用替换解得： 故有 所以8是的周期， 所以 故答案为：4. 13．（2024·高三·上海·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，若，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】因为函数满足，则， 所以函数的周期为6， 又因为， 所以， 因为当时，， 则有，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 14．（2024·高三·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 . 【答案】3 【解析】因为，则， 可得，可知4为函数的周期， 且， 又因为当时，，则， 所以. 故答案为：3. 15．（2024·高三·重庆·期中）已知函数 的定义域为 ，，，则 ． 【答案】或 【解析】令，所以或， 令， 所以当时，， 当时，， 令， 所以， 相减得， 所以，所以函数的一个周期为， 所以 所以当时，， 当时，. 故答案为：或 16．（2024·高三·河南·开学考试）设函数是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的x，都有，则＝ ． 【答案】 【解析】令 , 令得 , 令,得, 即, 可得, 所以, 所以, 所以函数周期, 为奇数时,, 因为为奇数时,也为奇数,此时 为偶数时,为4的整数倍,此时， ， 因为, 由,则为偶数, 记， 则， ， ， 所以， 所以. 故答案为:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$