专题11方程（组）与函数四种综合问题（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题11方程（组）与函数四种综合问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用两直线的交点坐标确定方程组的解 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知直线和交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数交点问题；根据二元一次方程组的解的定义知，该方程组的解即为两个一次函数的图象的交点坐标． 【详解】解：已知直线和交于点，， ∴关于，的方程组即的解是； 故选：B． 【例1-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知直线：与直线：在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案． 【详解】解：∵已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点， ∴方程组的解是 故答案为：． 【例1-3】（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可． （1）分别将代入和即可求解； （2）方程的解表示函数和的图象的交点横坐标，据此即可求解； 【详解】（1）解：将代入函数，得， 解得， 将代入函数，得，解得； （2）解：根据图象可得方程的解是． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将点点代入得出，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， 当时， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握．由交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可． 【详解】解：∵的图象经过， ∴， 解得， 一次函数与的图象相交于点， 方程组的解是， 故答案为： 【变式1-3】．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线与的交点坐标是，试确定，的值和方程组的解． 【答案】，；方程组的解为． 【分析】本题主要考查了一次函数图像交点与方程组的关系，理解方程组的解即为两个函数的交点坐标是解题的关键． 把代入两函数解析式求解得到a、b的值，再根据方程组的解即为函数的交点坐标即可解答． 【详解】解：将点代入直线中可得：． 将点代入中，得，解得． 点是直线与的交点坐标， 方程组的解为 题型02利用方程组的解求两直线的交点坐标 【典例分析】 【例2-1】（20-21八年级上·山东济南·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的图像的交点坐标是（    ） A．（-1，1） B．（1，-1） C．（2，-2） D．（-2，2） 【答案】A 【分析】根据两直线的交点坐标即为这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解即可得出结论． 【详解】由一次函数与二元一次方程组的关系可得： 一次函数与的图像的交点坐标是方程组的解， 即交点坐标为（-1，1）， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组之间的关系，理解两直线的交点坐标即为这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解是解题关键 【例2-2】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）若方程组的解是，则两直线和的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴两直线和的交点坐标为， 故答案：． 【例2-3】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解是，先求出的值，然后根据二元一次方程组与一次函数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴， 解得， 即关于x，y的方程组的解是， ∴直线与的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，熟知两线的交点坐标即为两直线解析式组成的二元一次方程组的解是解本题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（八年级上·全国·单元测试）已知方程组的解为则一次函数与的图象的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组的解为组成方程组的两个方程的函数图象的交点解答． 【详解】∵方程组的解为， ∴一次函数与的图象的交点坐标是（-1，1）， 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【变式2-2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）方程组的解为，则一次函数和图象的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解为可以直接得出一次函数和图象的交点坐标． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数和图象的交点坐标． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解与两个一次函数图像的交点坐标之间的关系，解题的关键是熟练掌握一次函数和图象的交点坐标就是方程组的解 【变式2-3】（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解，结合图象的平移知识即可求解； 【详解】解：由方程组的解为可知; 函数与的图象交点为，而函数与函数是分别将函数与的图象都向上平移3个单位得到，故其交点即为将点向上平移3个单位，故其坐标为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解 题型03利用函数图象确定方程组 【典例分析】 【例3-1】（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组． 【详解】解：设经过一、三、四象限的函数解析式为：y=kx+b，其经过点(1，1)和点(0，-1)， 代入解析式中：1=k+b，-1=b，解得：k=2， 所以其解析式为：y=2x-1， 设经过一、二、四象限的函数解析式为：y=mx+n，其经过点(1，1)和点(2，0)， 代入解析式中：1=m+n，0=2m+n，解得：m=-1，n=2， 所以其解析式为：y=-x+2， 因此所解得二元一次方程组为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标 【例3-2】（22-23八年级·重庆涪陵）用图像法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像（如图），则所解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【例3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是         （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个方程组的解，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，不符合题意； C、，解得：，不符合题意； D、，解得：，符合题意； 故选：D． 【点睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【变式演练】 【变式3-1】（八年级上·全国·课后作业）小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象的位置，得出k、b的符号，从而排除A、C，把代入B、C即可得到结论． 【详解】根据函数图象可知：两个函数的k都小于0，一个b大于0，另一个b小于0，由此可排除A、C． 当x=2时，-2-1=-3≠-2， ∴（2，-2）不在直线y=-x-1上， ∴B错误， 当x=2时，－2×2+2=－2，=－2，满足方程组． 故选D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键． 【变式3-2】（22-23八年级·北京东城·期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两个函数的交点坐标，再把交点坐标逐一代入方程组进行检验，从而可得答案． 【详解】解：由函数图象可得交点坐标为：， ∴把代入，不满足两个方程，故A不符合题意； 把代入，不满足第一个方程，故B不符合题意； 把代入，不满足两个方程，故C不符合题意； 把代入，满足两个方程，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与函数的交点坐标之间的联系，掌握函数交点的坐标就是对应的方程组的解是解本题的关键 【变式3-3】（22-23八年级·北京房山·期末）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：的解析式为， 则所解的二元一次方程组为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键 题型04利用方程组解决一次函数问题 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知一次函数（、为常数，）的图象经过点，，则下列说法不正确的是（   ） A．图象不经过第三象限 B．随着的增大而减小 C．图象与轴交于 D．图象与轴交于 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】解：将点，代入一次函数得：，解得， 则一次函数的解析式为， ∵， ∴这个函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，随着的增大而减小，选项A和选项B说法都正确； 当时，，解得， 则这个函数的图象与轴交于，选项C说法不正确； 当时，， 则这个函数的图象与轴交于，选项D说法正确； 故选：C． 【例4-2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（）之间的关系如下：从表中可知音速y随温度x的升高而 ；在气温为的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 气温x（） 0 5 10 15 20 … 音度y（米/秒） 331 334 337 340 343 … 【答案】 加快 【分析】本题考查了一次函数在实际生活中的应用，解题的关键是列出一次函数． ①根据表中数据可列出因数与时间的关系式结合函数的实时解答； ②根据路程速度时间，即可求解． 【详解】解：①根据题意设函数关系式为， 根据表格中数据得， 解得， ∴函数关系式为：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴音速随温度的增高而加快， 故答案为：加快； ②由题意得（米） 故答案为：． 【例4-3】（2024八年级上·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 【答案】(1) (2)当时，到甲批发店购买更划算；当时，甲、乙两个批发店购买一样划算；当时，到乙批发店购买更划算 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， 对于（1），甲批发店根据数量乘以单价可得关系式，乙批发店分两种情况：，，可得关系式； 对于（2），分三种情况计算讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，； 当时，， ∴； （2）解：设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为，根据题意得， ， 解得 ， 当时，到甲批发店购买更划算； 当时，甲、乙两个批发店购买一样划算； 当时，到乙批发店购买更划算 【变式演练】 【变式4-1】（2024八年级上·江苏·专题练习）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（  ） A．点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C．他们家与学校之间的距离为米 D．的函数表达式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可；根据可知，点时二人之间的距离最大，利用路程速度时间，计算二人的路程之差即可判断；由可知，点表示哥哥已经到达学校，利用路程速度时间求出点时哥哥骑行的路程即可判断；设坐标，利用弟弟在段和段的路程速度时间列关于和的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出的函数表达式即可判断；掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：、∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴点表示哥哥已经到达学校， ∴原选项正确，不符合题意； 、哥哥与弟弟相距的最大距离是（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、他们家与学校之间的距离为（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、设坐标， 根据题意，得， 解得， 设的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为， ∴原选项错误，符合题意， 故选：． 【变式4-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损．为了扭亏，公交公司在保持票价不变的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本．射线②是改变后y与x的函数图象．两射线与x轴的交点坐标分别是、，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元． 【答案】0.4 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键． 根据待定系数法分别求出①②的解析式，再把代入解答即可． 【详解】解：设①所在直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴①所在直线的解析式为； 设②所在直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当时，， ∴改变后的收支差额较之前增加． 故答案为： 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)与乙种产品进货量之间的函数表达式为： 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数表达式、一次函数在利润问题中的应用，能够根据图像信息求出分段函数的表达式，利用乙产品进货量的范围求出总利润的函数表达式，并结合取值范围及一次函数增减性求得最值是解决本题的关键 一、单选题 1．（八年级上·安徽滁州·期中）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴一次函数与的交点坐标为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系．先由与点得交点坐标为，根据两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵直线与的交点为， ∴， 解得， ∴交点坐标为． ∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， 而方程组，即方程组， ∴方程组的解为． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：关于，的方程组， 故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得：， ∴ 故关于，的方程组的解是 故选：A． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解．”是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 交点为， 方程组的解为． 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴函数和图象的交点为； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是， ∴， ∴一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24八年级上·广东茂名·期末）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，，若，求的值． 【答案】(1) (2)或5 【分析】本题考查一次函数的综合应用，一次函数图象的交点． （1）联立两条直线的解析式即可得出点A的坐标； （2）由点P的坐标可得出点D，E的坐标，根据，求解可得a的值． 【详解】（1）解：令，解得， ， ； （2）解：由题意可知，，， ， 解得或， 的值为或5． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与直线的交点坐标为， (1)试确定方程组的解． (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系． （1）根据方程组的解就是交点坐标写出即可． （2）根据中心对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解为； （2）解：如图，直线与直线的交点与点关于原点对称， ∴方程组的解为． 9．（24-25八年级上·河北保定·期中）藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”．以造型优美、易于保存等特点驰名中外，李老师计划购进—批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元，两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖． 设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个宫灯，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选择乙商店比较合算，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）将代入，可以得到相应的y的值，从而可以得到甲商店一张会员卡的价格； （2）根据题目中的数据，可以写出的函数表达式； （3）先写出李老师准备买40个宫灯，选哪个商店比较合算，然后写出理由即可． 【详解】（1）解：, 当时，. 即甲商店一张会员卡的价格为100元， 故答案为： 100； （2）解：根据题意得， 即的函数表达式为：； （3）解：李老师准备买40个宫灯，则选乙商店比较合算， 理由：当时，，， ∵， ∴若李老师准备买40个宫灯，则选择乙商店比较合算． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在直角坐标系中，已知直线，直线，直线与y轴交于点C． (1)直接写出点A的坐标为______． (2)若点D在直线上，点E在直线上，且轴．．求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将和联立起来组成方程组，求出方程组的解即可得点A的坐标． （2）先求出的长，再求出的长．由于轴，因此D点和E点的横坐标相同，设，，由求出m的值即可知D点的坐标． 本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，以及用待定系数法求点的坐标．掌握“平行于y轴的直线上的点的横坐标相同”是解题的关键． 【详解】（1）联立， 解得， ∴点A的坐标为， 故答案为：． （2）， ． ， ． 轴， ∴D点和E点的横坐标相同． 设，， 则， ， 或， 解得或， 或， ∴点D的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11方程（组）与函数四种综合问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用两直线的交点坐标确定方程组的解 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知直线和交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知直线：与直线：在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是 ． 【例1-3】（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【变式1-3】（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线与的交点坐标是，试确定，的值和方程组的解． 题型02利用方程组的解求两直线的交点坐标 【典例分析】 【例2-1】（20-21八年级上·山东济南·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的图像的交点坐标是（    ） A．（-1，1） B．（1，-1） C．（2，-2） D．（-2，2） 【例2-2】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）若方程组的解是，则两直线和的交点坐标为 ． 【例2-3】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ． 【变式演练】 【变式2-1】（八年级上·全国·单元测试）已知方程组的解为则一次函数与的图象的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）方程组的解为，则一次函数和图象的交点坐标为 ． 【变式2-3】（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 题型03利用函数图象确定方程组 【典例分析】 【例3-1】（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（22-23八年级·重庆涪陵）用图像法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像（如图），则所解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是         （     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（八年级上·全国·课后作业）小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23八年级·北京东城·期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23八年级·北京房山·期末）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（       ） A． B． C． D． 题型04利用方程组解决一次函数问题 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知一次函数（、为常数，）的图象经过点，，则下列说法不正确的是（   ） A．图象不经过第三象限 B．随着的增大而减小 C．图象与轴交于 D．图象与轴交于 【例4-2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（）之间的关系如下：从表中可知音速y随温度x的升高而 ；在气温为的这天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.3秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 气温x（） 0 5 10 15 20 … 音度y（米/秒） 331 334 337 340 343 … 【例4-3】（2024八年级上·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 【变式演练】 【变式4-1】（2024八年级上·江苏·专题练习）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（  ） A．点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C．他们家与学校之间的距离为米 D．的函数表达式为 【变式4-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损．为了扭亏，公交公司在保持票价不变的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本．射线②是改变后y与x的函数图象．两射线与x轴的交点坐标分别是、，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 一、单选题 1．（八年级上·安徽滁州·期中）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 三、解答题 7．（23-24八年级上·广东茂名·期末）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，，若，求的值． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与直线的交点坐标为， (1)试确定方程组的解． (2)直接写出方程组的解． 9．（24-25八年级上·河北保定·期中）藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”．以造型优美、易于保存等特点驰名中外，李老师计划购进—批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元，两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖． 设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个宫灯，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在直角坐标系中，已知直线，直线，直线与y轴交于点C． (1)直接写出点A的坐标为______． (2)若点D在直线上，点E在直线上，且轴．．求点D的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$