专题5.2 求解二元一次方程组（4大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.2 求解二元一次方程组（4大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 【知识点2】代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 要点提示： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3】加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 要点提示：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4】选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 题型目录 【题型1】代入消元法.........................................................2 【题型2】加减消元法.........................................................4 【题型3】二元一次方程组的特殊解法——整体代入法.............................7 【题型4】二元一次方程组的错解复原问题......................................10 【题型5】二元一次方程组的特殊解法——整体加减换元法........................14 【题型6】构造二元一次方程组求解............................................17 【题型7】已知二元一次方程组的解的情况求参数................................19 【题型8】方程组相同解问题..................................................21 【题型9】直通中考..........................................................23 【题型10】拓展延伸.........................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代入消元法 【例1】（23-24七年级下·天津南开·期中）用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的方法是银题的关键． （1）应用代入消元法，求出方程组的解即可． （2）应用代入消元法，求出方程组的解即可． 解：（1）把②代入①，可得：， 解得， 把代入②，解得， 原方程组的解是． （2）由①，可得， 把代入②，可得：， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． 【变式1】（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程变形后进行判断即可． 解：由①得：或， 则A，B均不符合题意； 由②得：或， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法解方程组，将方程①变形用含x、a的式子表示出y，进而再代入方程②，用含a的式子表示出x的值，从而即可用含a的式子表示出y，据此即可求出x、y的比值了． 此题考查解二元一次方程组的方法，用含a的式子表示出x、y的值是解题的关键． 解：， 由①得，， 代入②得，， ， ， ， ∴，， 故选：A． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：，用含的代数式表示，得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是对二元一次方程的变形，掌握解二元一次方程的解法是解题的关键； 首先方程两边同时乘以6得到；接下来，分别将x和y看作是参数，然后变形即可． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， ∴， 故答案为：． 【题型2】加减消元法 【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）用加减消元法解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组， （1）方程组利用加减消元法求解即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可． 解：（1） 得：， 解得： ， 将代入①得：， 即， 则方程组的解为； （2） 得：， 即， 将代入①得：， 即， 则方程组的解为． 【变式1】（21-22八年级上·全国·单元测试）用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（ ） A．，消去y B．，消去x C．，消去y D．，消去x 【答案】A 【分析】本题主要考查加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法运算法则判断即可． 解： ，消去y，故选项A错误； ，消去x，故选项B正确； ，消去y，故选项C正确； ，消去x，故选项D正确． 故选A． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】此题考查了解二元一次方程组： (1)利用加减消元法，将方程，即可求解； (2)利用加减消元法，将方程，即可求解； (3)利用加减消元法，将方程，即可求解； (4)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，做题的关键是当未知数系数相等时将方程相减，未知数系数相反时将方程相加． 解：（1）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． （2）， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 原方程组的解为：． （3）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为． （4）方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为． 【题型3】二元一次方程组的特殊解法——整体代入法 【例3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小智的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组． 【答案】(1); (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入法求解是解题的关键． （1）直接把①整体代入②求出，进而求出即可； （2）先把原方程整理得到，再把②整体代入①先求出，进而求出即可． 解：（1） 整理得， 把①整体代入②得，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2） 整理得， 把②整体代入①得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为． 【变式1】（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组： 解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的关键． 由①可得：③，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可． 解： 由①可得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下： 圆圆：由②，得③(依据：____________) 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2(__________)． (1)补全上述空白部分内容； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【答案】(1)等式的性质1，; (2)，过程见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）根据等式的性质和整体代入法解答即可； （2）选择利用整体代入法求出方程组的解即可． 解：（1）圆圆：由②，得③(依据：等式的性质1)； 芳芳：把①代入②，得； 故答案为：等式的性质1；； （2） 把①代入②，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为 【题型4】二元一次方程组的特殊解法——整体加减换元法 【例4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【答案】(1); (2); (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中的解得到，进而求解即可； （3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解． 解：（1）， 得，则， 得，则， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）设，， 则原方程组化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为； （3）原方程组可化为 设，， 则原方程组化为，解得， ∴，即 得，则， 得，则， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【变式1】（21-22七年级下·江西赣州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　； (2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　； 由此请你解决下列问题： (3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】(1); (2); (3) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得； （3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得． 解：（1）， 由①②得：， 解得， 由②①得：， 解得， 则方程组的解为， 故答案为：． （2）由（1）得：， 解得， 即原方程组的解为， 故答案为：． （3）关于的方程组与有相同的解， ， 解得， 将代入方程得：，解得， 将代入方程得：，解得， 则， 解得． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． 【变式2】（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： (1)若，则　 　． (2)解方程； (3)已知关于x、y的方程组，求的值． 【答案】(1)9； (2)； (3)25. 【分析】（1）将变形为，再整体代入计算即可； （2）将方程①变形为，将方程②变形为，把③代入④，解得：，把代入③，解得：，即可得方程组的解； （3）将方程①变形为，将方程②变形为，再由即可求解． 解：（1）∵， ∴； （2）， 由①得， 由②得， 把③代入④，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， ∴； （3）， 由①得， 由②得， 由得． 【点拨】此题考查了代数式求值，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．注意整体思想的运用． 【题型5】二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题；首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a；根据的值得到原方程组，解方程组即可． 解：依题意，把代入②得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； 则原方程为： 得， 解得：， ，代入①得，， 解得：， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）解关于x，y的方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则的值是 ． 【答案】26 【分析】此题实际上是考查解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数的含义：即方程组中除了系数看错以外，其余的系数都是正确的． 根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于、的方程，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为，再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，进而求出的值． 解：解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到的解是， 把与代入中得：， 得：， 把代入①得：， 把代入中得：， 解得：， 则； 故答案为：26． 【题型6】构造二元一次方程组求解 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在计算时，甲错把看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中的系数，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1)，; (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，二元一次方程组，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则． （1）根据题意列出算式，再根据多项式乘多项式的法则计算，得出关于，的方程组即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则计算即可． 解：（1）根据题意可得： ， ， ， 解得：， ，； （2）由（1）知，，， ． 【变式1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买爱的教育x本，边城y本，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 解：设购买爱的教育x本，边城y本， 根据题意有：， 解得：， 则购买爱的教育15本，边城10本， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组．设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，再利用三角形面积公式结合三角形中线的性质即可求解． 解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【题型7】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 【答案】(1); (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）将代入原方程组，得到关于x和m的二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可； （2）两个方程相加可得，再将代入，即可求解． 解：（1）当时，由原方程组得， 变形得， 得：， 解得； （2） 得：， 将代入，得：， 解得． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用可得：，代入求解即可． 解：， 可得：， ∴同除可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 联立不含a与b的方程组成新方程组，求出x与y的值，再把x与y的值代入含a与b的方程组成方程组，求出a与b的值即可． 解：由已知可得解得 把代入方程组得 解得： 故答案为：；． 【题型8】方程组相同解问题 【例8】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1); (2)。 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题、解二元一次方程组： （1）根据题意可得方程组，解得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求得到方程组，解得，据此代值计算即可． 解：（1）∵方程组和方程组的解相同， ∴方程和方程有相同的解， 联立，解得， ∴； （2）由（1）可知方程组， 解得， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）关于x， y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再代入求出即可． 解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：，则 ∴， 故答案为：． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解． 解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴点Q的横坐标为5， ∵， 由得，，解得：， 把代入①得，，解得：， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键． 【例2】（2019·江苏宿迁·中考真题）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ． 【答案】10 【分析】设“△”的质量为，“□”的质量为，由题意列出方程：，解得：，得出第三个天平右盘中砝码的质量. 解：设“△”的质量为，“□”的质量为， 由题意得：， 解得：， ∴第三个天平右盘中砝码的质量； 故答案为10． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为______． (2)若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【答案】(1)； (2)点B的坐标为； (3)或． 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用方程组来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）设点B的坐标为，根据题意即可得到关于的方程组，进而得解； （3）点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 解：（1）点的“3阶智慧点”的坐标为， 即坐标为； 故答案为：； （2）设点B的坐标为， ∵点B的“4阶智慧点”为， ∴， 解得， ∴点B的坐标为； （3）∵点， ∴点C的“阶智慧点”为． ∵点C的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或． 解得或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 求解二元一次方程组（4大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 【知识点2】代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 要点提示： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3】加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 要点提示：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4】选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 题型目录 【题型1】代入消元法.........................................................2 【题型2】加减消元法.........................................................3 【题型3】二元一次方程组的特殊解法——整体代入法.............................3 【题型4】二元一次方程组的错解复原问题.......................................4 【题型5】二元一次方程组的特殊解法——整体加减换元法.........................4 【题型6】构造二元一次方程组求解.............................................5 【题型7】已知二元一次方程组的解的情况求参数.................................6 【题型8】方程组相同解问题...................................................6 【题型9】直通中考...........................................................7 【题型10】拓展延伸..........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】代入消元法 【例1】（23-24七年级下·天津南开·期中）用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：，用含的代数式表示，得 ． 【题型2】加减消元法 【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）用加减消元法解下列方程组． (1)； (2)． 【变式1】（21-22八年级上·全国·单元测试）用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（ ） A．，消去y B．，消去x C．，消去y D．，消去x 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4） 【题型3】二元一次方程组的特殊解法——整体代入法 【例3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小智的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组． 【变式1】（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组： 解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下： 圆圆：由②，得③(依据：____________) 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2(__________)． (1)补全上述空白部分内容； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【题型4】二元一次方程组的特殊解法——整体加减换元法 【例4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【变式1】（21-22七年级下·江西赣州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　； (2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　； 由此请你解决下列问题： (3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【变式2】（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： (1)若，则　 　． (2)解方程； (3)已知关于x、y的方程组，求的值． 【题型5】二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）解关于x，y的方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则的值是 ． 【题型6】构造二元一次方程组求解 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在计算时，甲错把看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中的系数，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【变式1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 【变式2】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为 ． 【题型7】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【题型8】方程组相同解问题 【例8】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）关于x， y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 【例2】（2019·江苏宿迁·中考真题）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为______． (2)若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$