专题03 一元一次方程-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

专题03 一元一次方程 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：方程 1.方程的有关概念 （1）定义：含有未知数的等式叫做方程． 注意：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一．是等式；二．是含有未知数． （2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解． 注意：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点： ①．它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． （3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程． （4）方程的两个特征：方程是等式；方程中必须含有字母（或未知数）． 2.等式的性质 （1）等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式． （2）等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即： 如果，那么 （为一个数或一个式子） ． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 即：如果，则；如果则 注意：①根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； ②等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 ③等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 知识点 2 ：一元一次方程及其解法 1.一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 注意：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 2.解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项（2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) （1）移项要变号（2）不要丢项 合并同类项 把方程化成的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 注意：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． （2） 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 3.解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 注意：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： （1）当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式，再分三种情况分类讨论： （1）当时，；（2）当时，为任意有理数；（3）时，方程无解． 知识点 3 ：一元一次方程的应用 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意． （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 1.题型等量关系分析 （1）日历中的方程（掌握日历或卡片中的规律） 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 （2）等积变形问题： 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式．“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提．常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积． （3）数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系．列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. （4）和、差、倍、分问题 ①基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． ②寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． （5）调配问题． 　　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量．这类问题要搞清人数的变化． （6）利润率问题． ① ② 标价＝成本（或进价）×（1＋利润率） ③实际售价＝标价×打折率 ④利润＝售价－成本（或进价）＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． （7）工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． （8）行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 ②基本类型有： 相遇问题： （a）基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． 航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （9）方案问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型归纳 【考点01列方程】 1．（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】B 【解析】解：由图可得，， 化简，得：， 故选：B． 2．（22-23七年级下·河南开封·期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【解析】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 【答案】 【解析】解：依题意得，， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【解析】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 【考点02方程的解】 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】解：把代入方程，得： ， 解得：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 【答案】3 【解析】解：设常数为x，由题意，得 解得， 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【解析】解：将代入原方程得， 解得：， ∴a的值为2． 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ． 【答案】5 【解析】解：将代入原方程可得：， ∴， 故答案为：5 【考点03等式的性质】 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】解：．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； ．若，则，原变形错误，故该选项符合题意； ．若，则，原变形正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）下列等式变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A、若，则，则此项正确，不符合题意； B、若，则，则此项正确，不符合题意； C、若，则，则此项正确，不符合题意； D、若，则当时，，则此项错误，符合题意； 故选：D． 3．（22-23七年级上·北京密云·期末）已知，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、， ，即，故该选项正确，不符合题意； B、， ，即，故该选项错误，符合题意； C、， 等号两边都除以得：，故该选项正确，不符合题意； D、， 等号两边都乘得：，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知等式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A．， 当时，x与y的大小不确定， 故本选项不符合题意； B．， ， ， 故本选项符合题意； C．， ， 与不一定相等， 故本选项不符合题意； D．， ，， 故本选项不符合题意； 故选：B． 【考点04一元一次方程的定义】 1．（24-25七年级上·广东东莞·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则a等于 【答案】 【解析】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】1 【解析】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得：． 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可得，当时，方程为， 解得， ∵方程的解比方程的解大2， ∴的解为， 把代入方程得：， 解得：． 【考点05解一元一次方程】 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）解方程 (1) (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： 去括号得： 移项，合并同类项： 化系数为1： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 化系数为1： 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 4．（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2） 移项得， 合并同类项得， 【考点06一元一次方程解法综合】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2024 【解析】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【解析】解∶这8个数字的和是， 横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据题意有∶，解得； 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或． 因此，或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·江西九江·期中）规定一种新运算：，其中为有理数． (1)计算； (2)当时，求x的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， . 4．（24-25七年级上·北京西城·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【答案】(1)是和解方程，理由见解析； (2)的值为． 【解析】（1）解：是和解方程，理由： 由可得， ，解得：， ∴， ∴是和解方程； （2）解：根据题意得：， 又， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：， ∴的值为． 【考点07一元一次方程解的综合应用】 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：把代入原方程并整理得， 整理得：， 要使等式不论k取什么数均成立，只有， 解得：，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【解析】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 4．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，，， 【解析】（1）解：由题意得，， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴的值为：，，，． 【考点08一元一次方程的实际应用】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）编一个实际应用题，要求所列的方程是，则下列不符合要求的是（   ） A．两块宽度相同的铁皮，一块长为15厘米，另一块长为45厘米，如果两块铁皮的总面积为180平方厘米，问铁皮的宽度为多少？ B．现甲、乙两人一起加工180个零件，甲一天能做15个，乙一天能做45个，如果两人同时加工，问需要多少天完成任务？ C．两辆车从甲、乙两地同时出发，同向而行，慢车车速为15公里/时，快车车速为45公里/时，甲、乙两地相距180公里，慢车在快车的前面，问快车经过多长时间追上慢车？ D．张老师到文具店去买笔袋，其中甲型笔袋的单价是45元，乙型笔袋的单价是15元，张老师买两种笔袋共花了180元，且买两种笔袋的数量是相同的，问两种笔袋各买了几个？ 【答案】C 【解析】解：A、设铁皮的宽为，则两块铁皮的面积分别为，，则，符合题意； B、需要天完成任务，则甲乙两人共完成个，个，则，符合题意； C、设快车经过小时追上慢车，则慢车、快车行驶的路程分别为公里，公里，则，不符合题意； D、两种笔袋各买了个，乙型与甲型笔袋花费元，元，则，符合题意； 故答案为：C． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）解：由题意，得：， 答：第三圈半圆形弯道比第一圈半圆形弯道长，小王计算的第八圈的长约； （2）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为， 则， ， ； 答：小王的平均速度为，邓教练的平均速度为． 3．在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． (1)初一（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)初一（2）班有男生人、女生人 (2)应该分配剪筒身的学生为人，分配剪筒底的为人 【解析】（1）解：设初一（2）班有女生人， 依据题意得出：， 解得：，则， 答：初一（2）班有男生人、女生人； （2）解：设分配剪筒身的学生为人， 依据题意得出：， 解得：，则． 答：应该分配剪筒身的学生为人，分配剪筒底的为人． 4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 【答案】(1)这批礼品共有3600件； (2)两种方案的费用差为6000元． 【解析】（1）解：设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天， 根据题意得：， 解得：， ． 答：这批礼品共有3600件． （2）乙工厂单独生产的费用：（元）， 甲、乙两个工厂共同生产的费用：（元）， 两种方案的费用差为（元）． 答：两种方案的费用差为6000元． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进是60元； (2)全部售完共可获利1450元． 【解析】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， ∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得 ， 解得， ∴， ∴（元）， 答：全部售完共可获利1450元． 6．（23-24七年级下·福建漳州·期末）某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【答案】胜了5场 【解析】解：设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场， 根据题意，得 解这个方程，得． 答：此次比赛中勇士队胜了5场． 7．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【解析】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， 则， 解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 ， 解得， 当通话时间为400分钟时，（元）， （元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 8．（23-24七年级上·四川南充·期末）如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)这五个数的和还是中间这个数的5倍 (2)不存在十字框中五个数之和等于2024，理由见解析 【解析】（1）解：由题意，得，， 所以十字框内的五个数的和是中间数27的5倍； 设十字架框内中间的数为x，则其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， ∴这五个数的和还是中间这个数的5倍； （2）设十字架框内中间的数为y，其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， ∵是小数，不是整数， ∴不存在十字框中五个数之和等于2024． 9．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 【答案】(1)46 (2)用水在立方米之间的收费标准3元立方米； (3)他家8月份的月水量是35立方米． 【解析】（1）解：（元）． 故答案为：46； （2）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准3元立方米； （3）解：设他家8月份的月水量是立方米． ， ， 可列方程：， 解得． 答：他家8月份的月水量是35立方米． 10．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长6.5尺 【解析】解：设木长为x尺，根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 过关检测 一、单选题 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】解：A．如果，那么两边同时加得，故本选项不符合题意； B．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； C．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； D．如果，那么两边同时减得，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）已知三个关于x的多项式，有以下结论：①当时，的最小值是4；②若是关于x的一元一次方程，则的值为或；③若是关于x的二次三项式，且，则有3种不同的结果．其中，正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】解：①当时， ∴， 表示的意义为：数轴上的点到与到点3的距离之和，最小为4，正确； ②若是关于x的一元一次方程， 即 ∴； 则， 解得或， 当时， 此时，解得， ∴的值为， 当时， 此时，解得， ∴的值为，故②错误； ③若是关于x的二次三项式，且， 即 ∴，或2或0， ∴，或或0或或， 但时，所得多项式是二次二项式，不合题意， ∴或或或， ∴或3或6或4，故③错误； 故选：B． 3．（24-25七年级上·广西桂林·期中）下列各式的变形中，属于移项的是（　　） A．由变形为 B．由变形为 C．由变形为 D．由变形为 【答案】D 【解析】解：A、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； B、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； C、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； D、由变形为，属于移项，故选项符合题意； 故选：D． 4．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 【答案】B 【解析】解： ， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是， ， 解得， 写错的运算符号是第8个， 故选：． 5．（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴ 解得： 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 方程的解， 即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 7．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【解析】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 8．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（    ） A．4 B．5 C．21 D．5或21 【答案】B 【解析】解： 若， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：（舍去)． 故选：B． 二、填空题 9．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 【答案】或1 【解析】解：将代入方程中， 得． 解得． 将代入关系式中，得． 解得或． 所以的值为或1． 10．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【答案】 【解析】解：， ， ， ， ∵方程有非负整数解，且为整数， ∴或或， 解得：为或或， ∴的值和为， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图为某计算机程序示意图，现规定“输入－判断是否正数”为一次操作，若输出结果为4且运行了两次操作，则输入的数值为 ． 【答案】 【解析】解：∵输出结果为4且运行了两次操作， ∴第一次输出结果为x， 则， 解得（舍去）或， 设原数为y， 则， 解得， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山东济南·期中）“格子乘法”的算例源自15世纪意大利的《算术之钥》，因其形如中国古代织出的锦缎，又名“铺地锦”．如图1，当计算时，将第一个乘数56写在格子上边，第二个乘数21写在格子右边，将第一个乘数的每个数字分别与第二个乘数的每个数字相乘，将乘积依次填在相应的格子中：十位数字填在左上半格，个位数字填在右下半格，十位上没有数字用“0”补足．填完后，把斜行数字相加，并将结果写在格子外相应位置上，从左上至右下沿格子外依次写出每个数字，则乘积为1176．如图2，利用“格子乘法”表示两位数相乘，下列结论正确的是 ． ①；②结果为；③ 【答案】①② 【解析】解：根据“格子乘法”计算法则补全图2， 所以，故①正确； ， 设的积的十位数为x，个位数为y， 则，， 所以， 所以， 所以， 所以，故②正确， ，故③错误， 故答案为：①②． 三、解答题 13．（24-25七年级上·河南开封·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知关于x，y的单项式与（m是有理数）的次数相同． (1)求m的值，并求出两个单项式的系数分别是多少； (2)若x是的倒数，1与互为相反数，求单项式的值． 【答案】(1)，单项式的系数为，单项式的系数为； (2)． 【解析】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴单项式的系数为：， 单项式的系数为：； （2）解：∵x是的倒数，1与互为相反数， ∴，， ∴． 15．（23-24七年级上·河南商丘·期末）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 【答案】(1)a的值是3，方程的解是(2)k的值是 【解析】（1）解：由题意得：，， 且， ， 将代入方程得：，解得：， 答：a的值是3，方程的解是； （2）由题意得：， 将代入方程得：， 解得：， 答：k的值是． 16．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）解：由图可知： ，； 故答案为：，； （2）解：， 解得：． ∴， ∴长方体纸盒的体积为． 17．（24-25七年级上·江西九江·期中）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如：，A经过处理器得到． 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则B=________； (2)若，，求x的值； (3)已知，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【解析】（1）解：根据题目中整式处理器的处理方法可得：， 故答案为：． （2）解：由题可知，， ∴， 又， ， 解得：． （3）解：由题可知，经过处理器得到整式N， 则， 又， ， ， ∴m的值为0． 18．（24-25七年级上·辽宁·期末）某市水果批发部门欲将市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元时．其它主要参数据如下： 运输工具 途中平均速度(千米/时) 运费(元/千米) 装卸费用(元) 火车 汽车 (1)若设市与某市之间的距离为千米，请用含的代数式分别表示出火车和汽车的总支出费用． (2)如果汽车的总支出费用比火车费用多元，求该市与市之间的路程是多少千米吗？ (3)如果市与某市之间的距离为千米，且知道火车与汽车在路上耽误的时间分别为小时和小时，你若是该市水果批发部门的经理，要想将市这批水果运往该市销售，你将选择哪种运输方式比较合算呢？ 【答案】(1)火车的总支出费用为元； 汽车的总支出费用为元； (2)该市与市之间的路程是千米 (3)选择火车运输比较合算 【解析】（1）解：依题意，火车的总支出费用为元； 汽车的总支出费用为元； （2）解：设该市与市的路程为千米， 依题意，得， 解得：； 答：该市与市之间的路程是千米； （3）解：当时，火车与汽车在路上耽误的时间分别为小时和小时， 所以火车的总支出费用为， 汽车的总支出费用为， ∵； ∴选择火车运输比较合算． 19．（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)；（答案不唯一） (3)． 【解析】（1）解：由题意可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：令， ∴， ∴， ∴是一对“特异数对”； （3）解：∵是成立的“特异数对”， ∴， ∴原式 ， ， ， ， ． 20．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为时，点P与点Q之间的距离为根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，8（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)若，则 ；若，则 ；若，则 ；若点M在A、B之间，则 ； (3)若，求m的值． 【答案】(1)12 (2)16，24，12，12 (3)或12 【解析】（1）解：根据题意，得：． 故答案为：12； （2）解：根据题意，得： 若，则； 若，则； 若，则； 若点M在A、B之间，则． 故答案为：16，24，12，12； （3）解：当时， 解得； 当时，， 解得． 当时，，故舍去； 答：m的值为或12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次方程 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：方程 1.方程的有关概念 （1）定义：含有未知数的等式叫做方程． 注意：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一．是等式；二．是含有未知数． （2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解． 注意：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点： ①．它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． （3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程． （4）方程的两个特征：方程是等式；方程中必须含有字母（或未知数）． 2.等式的性质 （1）等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式． （2）等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即： 如果，那么 （为一个数或一个式子） ． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 即：如果，则；如果则 注意：①根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； ②等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立 ③等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 知识点 2 ：一元一次方程及其解法 1.一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 注意：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 2.解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项（2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) （1）移项要变号（2）不要丢项 合并同类项 把方程化成的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 注意：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． （2） 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 3.解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 注意：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： （1）当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式，再分三种情况分类讨论： （1）当时，；（2）当时，为任意有理数；（3）时，方程无解． 知识点 3 ：一元一次方程的应用 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意． （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 1.题型等量关系分析 （1）日历中的方程（掌握日历或卡片中的规律） 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 （2）等积变形问题： 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式．“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提．常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积． （3）数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系．列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. （4）和、差、倍、分问题 ①基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． ②寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． （5）调配问题． 　　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量．这类问题要搞清人数的变化． （6）利润率问题． ① ② 标价＝成本（或进价）×（1＋利润率） ③实际售价＝标价×打折率 ④利润＝售价－成本（或进价）＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． （7）工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． （8）行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 ②基本类型有： 相遇问题： （a）基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． 航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （9）方案问题 选择设计方案的一般步骤： ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型归纳 【考点01列方程】 1．（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 2．（22-23七年级下·河南开封·期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【考点02方程的解】 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ． 【考点03等式的性质】 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）下列等式变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（22-23七年级上·北京密云·期末）已知，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知等式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点04一元一次方程的定义】 1．（24-25七年级上·广东东莞·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则a等于 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值． 【考点05解一元一次方程】 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）解方程 (1) (2)． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点06一元一次方程解法综合】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 3．（24-25七年级上·江西九江·期中）规定一种新运算：，其中为有理数． (1)计算； (2)当时，求x的值． 4．（24-25七年级上·北京西城·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【考点07一元一次方程解的综合应用】 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 4．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【考点08一元一次方程的实际应用】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）编一个实际应用题，要求所列的方程是，则下列不符合要求的是（   ） A．两块宽度相同的铁皮，一块长为15厘米，另一块长为45厘米，如果两块铁皮的总面积为180平方厘米，问铁皮的宽度为多少？ B．现甲、乙两人一起加工180个零件，甲一天能做15个，乙一天能做45个，如果两人同时加工，问需要多少天完成任务？ C．两辆车从甲、乙两地同时出发，同向而行，慢车车速为15公里/时，快车车速为45公里/时，甲、乙两地相距180公里，慢车在快车的前面，问快车经过多长时间追上慢车？ D．张老师到文具店去买笔袋，其中甲型笔袋的单价是45元，乙型笔袋的单价是15元，张老师买两种笔袋共花了180元，且买两种笔袋的数量是相同的，问两种笔袋各买了几个？ 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 3．在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． (1)初一（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 6．（23-24七年级下·福建漳州·期末）某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 7．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 8．（23-24七年级上·四川南充·期末）如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 9．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 10．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 过关检测 一、单选题 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）已知三个关于x的多项式，有以下结论：①当时，的最小值是4；②若是关于x的一元一次方程，则的值为或；③若是关于x的二次三项式，且，则有3种不同的结果．其中，正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·广西桂林·期中）下列各式的变形中，属于移项的是（　　） A．由变形为 B．由变形为 C．由变形为 D．由变形为 4．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 5．（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 8．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（    ） A．4 B．5 C．21 D．5或21 二、填空题 9．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 10．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图为某计算机程序示意图，现规定“输入－判断是否正数”为一次操作，若输出结果为4且运行了两次操作，则输入的数值为 ． 12．（24-25七年级上·山东济南·期中）“格子乘法”的算例源自15世纪意大利的《算术之钥》，因其形如中国古代织出的锦缎，又名“铺地锦”．如图1，当计算时，将第一个乘数56写在格子上边，第二个乘数21写在格子右边，将第一个乘数的每个数字分别与第二个乘数的每个数字相乘，将乘积依次填在相应的格子中：十位数字填在左上半格，个位数字填在右下半格，十位上没有数字用“0”补足．填完后，把斜行数字相加，并将结果写在格子外相应位置上，从左上至右下沿格子外依次写出每个数字，则乘积为1176．如图2，利用“格子乘法”表示两位数相乘，下列结论正确的是 ． ①；②结果为；③ 三、解答题 13．（24-25七年级上·河南开封·期中）解方程： (1)； (2) 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知关于x，y的单项式与（m是有理数）的次数相同． (1)求m的值，并求出两个单项式的系数分别是多少； (2)若x是的倒数，1与互为相反数，求单项式的值． 15．（23-24七年级上·河南商丘·期末）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解倍，求k的值． 16．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 17．（24-25七年级上·江西九江·期中）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如：，A经过处理器得到． 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则B=________； (2)若，，求x的值； (3)已知，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，且满足，求m的值． 18．（24-25七年级上·辽宁·期末）某市水果批发部门欲将市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元时．其它主要参数据如下： 运输工具 途中平均速度(千米/时) 运费(元/千米) 装卸费用(元) 火车 汽车 (1)若设市与某市之间的距离为千米，请用含的代数式分别表示出火车和汽车的总支出费用． (2)如果汽车的总支出费用比火车费用多元，求该市与市之间的路程是多少千米吗？ (3)如果市与某市之间的距离为千米，且知道火车与汽车在路上耽误的时间分别为小时和小时，你若是该市水果批发部门的经理，要想将市这批水果运往该市销售，你将选择哪种运输方式比较合算呢？ 19．（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 20．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为时，点P与点Q之间的距离为根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，8（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)若，则 ；若，则 ；若，则 ；若点M在A、B之间，则 ； (3)若，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$