2025年四川省中考数学第一轮复习讲练（58题） 第05讲 一次方程（组）及其应用

板块一 数与式 第05讲 一次方程（组）及其应用 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 中考真题再现：选用中考真题，直面中考。 地区模拟精选：选用优秀模拟试题，巩固题型，全面覆盖。 命题点聚焦 命题点 考查频率 分析 一次方程（组）的相关概念 一次方程（组）的相关概念在中考中考查相对很少，一般以选择题出现，解一元一次方程没有单独出现，一般都是根据题目列出方程辅助解决问题；解二元一次方程（组）考查方式为填空题、解答题出现，考查次数较少，多是根据题目列出方程辅助解决问题；一次方程（组）的实际应用考查频次较高，多以解答题出现。其中以数学文化背景要求列一次方程（组）考查频率较高，多以选择题出现 解一元一次方程 ⭐⭐⭐ 解二元一次方程（组） ⭐⭐⭐ 一次方程（组）的实际应用 ⭐⭐⭐⭐⭐ 中考真题再现 1．（2023•四川南充中考真题） 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 2．（2023•四川成都中考真题） 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3．（2023•四川宜宾中考真题） “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 4．（2023•四川遂宁中考真题） 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 5．（2023•四川南充中考真题） 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6．（2023•四川眉山中考真题） 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7．（2024•四川甘孜阿坝中考真题） 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 8．（2023•四川南充中考真题） 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂） 9．（2022•四川资阳中考真题） 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元． （1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？ （2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？ 10．（2024•四川南充中考真题） 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 11．（2024•四川乐山中考真题） 解方程组： 12．（2023•四川乐山中考真题） 解二元一次方程组： 13．（2023•四川达州中考真题） 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元． （1）分别求出每件豆笋、豆干的进价； （2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 14．（2022•四川遂宁中考真题） 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 命题点一 一次方程（组）的相关概念 知识清单 知识点一 一元一次方程的基础 等式的概念：用等号表示相等关系的式子。 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1（次），这样的的整式方程叫一元一次方程。 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。 知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础） 等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 表示为：如果a=b，则a±c=b±c 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 表示为：如果 a=b，那么ac = bc 如果 a=b(c≠0)，那么 = 知识点三 二元一次方程（组）有关概念 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组． 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 题型探究 题型1 等式的性质 1．（20-21•四川广元七上期末）下列变形中，一定成立的是（　　） A. 若a＝b，则a+5＝b﹣5 B. 若|a|＝|b|，则a＝b C. 若ac＝bc，则a＝b D. 若，则a＝b 2．（20-21•四川广元青川七上期末）下列结论错误的是（　　　） A. 若a=b，则ax=bx B. 若a=b，则a-c=b-c C. 若ax=bx，则a=b D. 若x=2，则x2=2x 3．（23-24•四川广元剑阁七上期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4．（23-24•四川绵阳七上期末）已知，运用等式的性质对其变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 方法技巧总结 1、等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 题型2 一元一次方程的相关概念 5．（21-22•四川甘孜康定七上期末）下列等式中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 6．（21-22•四川自贡七上期末）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（20-21•四川成都七上期末）已知方程是关于的一元一次方程，则常数的值为_______． 8．（22-23•四川广元利州七上期末）若关于x的方程是一元一次方程，则__________． 方法技巧总结 1 只含有一个未知数,②未知数的次数是1.③未知数的系数不为0,④必须是整式方程,才可化简为最简形式判断。 题型3 二元一次方程的相关概念 9． （20-21•四川泸州七年级期末）若是关于，的二元一次方程，则满足的条件为（ ） A. B. C. 且 D. 或 10．（21-22•四川眉山七年级期末）若是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（    ） A． B． C．0 D．1 11．（21-22•四川广元七年级期末）若是关于x、y的二元一次方程，则a的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 方法技巧总结 二元一次方程的判定方法: 1.二元:有两个未知数 2.一次:未知数的系数为1 3.整式方程:分母不含未知数 三个条件缺一不可。 题型4 已知一次方程（组）的解求参数 12．（20-21•四川成都七上期末）已知是关于的一元一次方程的解，则有理数的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 13．（21-22•）若是关于x的一元一次方程的解，则常数a的值为（ ） A 3 B. 2 C. D. 14． （22-23•四川泸州七下期末）已知点在第四象限且、是方程组的解，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15．（21-22•四川乐山七年级期末）已知是方程的解，则的值是___． 命题点二 一元一次方程 知识清单 知识点以 解一元一次方程的基本步骤： 题型探究 16．（2024•四川自贡一模）已知与是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 17．（19-20•四川绵阳七上期末）若关于方程的解是整数，则整数的所有取值中最大值为____________． 18．（23-24•四川广元旺苍七上期末）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足题意的整数k的和是_________． 19．（20-21•四川德阳绵竹七上期末）当时，关于的方程有无数多个解，则__________． 命题点三 解二元一次方程（组） 知识清单 知识点二 解二元一次方程组 消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。 方法一：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： （变代解求写验） ①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 ②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。 ③解：解一元一次方程 ④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 ⑤写：写出方程组的解。 ⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 方法二 加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （变加减解求写验） ①变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。 ②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 ③求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 ④回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 ⑤写解：写出方程组的解。 ⑥检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 方法三 换元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 解二元一次方程的基本步骤：1.消元 2.求解 3.回代 4.写解 5.检验（不需写出但别忘） 题型探究 题型1 解二元一次方程（组） 20．（21-22•四川广安七年级期末）解方程组 ： (1)； (2)． 21．（21-22•四川泸州七年级期末）解方程组：． 方法技巧总结 1)代入消元法 用代入消元法的一般步骤是: 1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b或x = ay + b的形式; 2将y = ax+ b或x= ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程; 3.解这个一元一次方程，求出x或y值; 4.将已求出的x或y值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b或x= ay + b)，求出另一个未知数; 5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。 2)加减消元法 ①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去一个未知数; ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数，得到一元一次方程; ③解这个一元一次方程; ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值; ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。 题型2 关于二元一次方程组的错误解复原问题 22．（21-22•四川眉山七年级期末）解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值． 23．（21-22•四川乐山七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 24． （20-21•四川泸州七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，试求出，的值． 方法技巧总结 根据题目的意思，哪一个看错了，就不带入哪一个，只带入正确的哪一个，在组合求出字母参数即可。 题型3 过程性学习的考查 25．（23-24•四川广元剑阁七上期末）解方程：小红在解方程时，第一步出现了错误． 解： …… （1）请在相应的方框内用横线画出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 26．（21-22•四川眉山七年级期末）感悟思想： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①-②可得①+②×2可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______． (2)解方程组： (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 27．（21-22•四川南充七年级期末）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①-②，得，即．③ ②-③×24，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． (1)请利用上述方法解方程组． (2)猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验． 命题点四 一次方程（组）的实际应用 知识清单 列一次方程（组）解应用题的一般步骤： 审：审题，明确各数量之间的关系。 设：设出未知数 找：找题中的等量关系 列：根据等量关系列出一个方程（一元一次方程）、两个方程（二元一次方程组），组成方程组 解：解方程（组），求出未知数的值 答：检验方程（组）的解是否符合题意，写出答案。 题型探究 题型1 以数学文化背景列方程（组） 28．（2024•四川成都高新区一诊）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 29．（2024•四川成都联考一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A. B. C. D. 30．（2024•四川南充中考真题） 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 31．（2024•四川成都中考真题） 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 题型2 一元一次方程的实际应用 32．（2024•四川德阳中江县一模）如图，在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像P′的俯角为60°，则飞艇距离湖面的高度为( 　) A. B. C. D. (50+100)m 33．（2022•四川内江中考真题） 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ （3）学校租车总费用最少是多少元？ 34．（2022•四川南充中考真题） 南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价） 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价（元/件） a 80 售价（元/件） 300 100 （1）求真丝衬衣进价a的值． （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？ 35．（2022•四川德阳中考真题） 习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． （1）求、两种树苗的单价分别是多少元？ （2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 题型3 二元一次方程组的实际应用 36．（2024•四川遂宁中考真题） 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 37．（2024•四川泸州中考真题） 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 38．（2024•四川达州中考真题） 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 39．（2024•四川成都中考真题） 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 一、方法技巧总结 1.把握题意,搞清楚什么是条件，求什么; 2.设未知数:可以采取直接设元, 3.找等量关系,列方程(组):找等量关系时,要抓住关键词语,如“一共是……”“比……多(少)”.……是……的几倍”“……比……的几倍多(少)”等; 4.解方程(组); 5.检验:检验所解答案是否正确 或是否符合实际;也可以采取间接设元,尤其要注意间接设未知数时,最后要“回归”到题目的问题,不要解完方程就直接作答,从而答非所问。 3.找等量关系,列方程(组):找等量关系时,要抓住关键词语,如“一共是……”“比……多(少)”.……是……的几倍”“……比……的几倍多(少)”等; 4.解方程(组); 5.检验:检验所解答案是否正确或是否符合实际; 二、易错点： 1.对含有分母的一次方程去分母时，一定要给不含分母的整式或者常数项乘公分母,千万不要漏乘,否则会出错; 2.解分母含有小数的一元一次方程,小数化为整数时不要把分数以外的数也跟着扩大. 题型4 与一次方程（组）相关的新定义问题 40．（23-24•四川广元旺苍七上期末）若有理数p， q满足， 则称“ p， q”为“等效有理数对”，如：“2，2”，因为， 所以“2 ，2”“等效有理数对”． （1）通过计算判断“3 ， ”是不是“等效有序数对” ； （2）若“， 4”是“等效有理数对”， 求x的值； （3）已知“p， q”是“等效有理数对”， 求代数式的值． 41．（21-22•四川乐山七年级期末）数学乐园：解二元一次方程组，得：， 当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：， 设，，，那么方程组的解就是 (1)求二阶行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于、的二元一次方程组无解，求的值． 42．（21-22•四川自贡七上期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． （1）求的值： （2）若，求a的值． 43．（23-24•四川德阳广汉七上期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） （2）若 ，点C是线段A巧点，则　　； （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由． 题型5 新考法-与其他学科融合的二元一次方程组的应用 44． （2024•四川成都高新区一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 板块一 数与式 第05讲 一次方程（组）及其应用 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 中考真题再现：选用中考真题，直面中考。 地区模拟精选：选用优秀模拟试题，巩固题型，全面覆盖。 命题点聚焦 命题点 考查频率 分析 一次方程（组）的相关概念 一次方程（组）的相关概念在中考中考查相对很少，一般以选择题出现，解一元一次方程没有单独出现，一般都是根据题目列出方程辅助解决问题；解二元一次方程（组）考查方式为填空题、解答题出现，考查次数较少，多是根据题目列出方程辅助解决问题；一次方程（组）的实际应用考查频次较高，多以解答题出现。其中以数学文化背景要求列一次方程（组）考查频率较高，多以选择题出现 解一元一次方程 ⭐⭐⭐ 解二元一次方程（组） ⭐⭐⭐ 一次方程（组）的实际应用 ⭐⭐⭐⭐⭐ 中考真题再现 1．（2023•四川南充中考真题） 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程． 【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得 故选：A 2．（2023•四川成都中考真题） 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 3．（2023•四川宜宾中考真题） “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由设鸡有只，兔有只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到答案． 【详解】解：设鸡有只，兔有只，则由题意可得 ， 故选：B． 4．（2023•四川遂宁中考真题） 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 5．（2023•四川南充中考真题） 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答． 法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可. 【详解】解：法一：， 得， 解得， 将代入，解得， ， ， 得到， ， 法二： 得：，即：， ∵， ∴， ， 故选：D． 6．（2023•四川眉山中考真题） 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 7．（2024•四川甘孜阿坝中考真题） 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为______人． 【答案】5 【解析】 【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计算是解题关键． 【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 8．（2023•四川南充中考真题） 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂） 【答案】100 【解析】 【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答． 【详解】解：设动力为， 根据阻力阻力臂动力动力臂， 当动力臂在1.5m时，可得方程，解得， 当动力臂在2m时，可得方程，解得， ，故节省100N的力， 故答案为：100． 9．（2022•四川资阳中考真题） 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元． （1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？ （2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？ 【答案】（1）甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元 （2）最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个 【解析】 【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案； （2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案． 【小问1详解】 设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元． 根据题意得： 解得：． ∴ 答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元． 【小问2详解】 设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个． 根据题意，得： 解得： ∴a最大值是30． 答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个． 10．（2024•四川南充中考真题） 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 【小问2详解】 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． 【小问3详解】 ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 11．（2024•四川乐山中考真题） 解方程组： 【答案】详见解析 【解析】 【分析】用加减消元法把二元一次方程转化成一元一次方程． 【详解】解：①＋②，得． 解得． 把代入②，得． 原方程组的解是． 12．（2023•四川乐山中考真题） 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】采用加减消元法即可求解． 【详解】解： ①，得②， 将②+③，得， 解得． 将代入①， 得， ∴方程组的解为：． 13．（2023•四川达州中考真题） 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元． （1）分别求出每件豆笋、豆干的进价； （2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件 （2）有3种进货方案：豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件 （3）购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案； （3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案． 【小问1详解】 解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件， 则，解得， 故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件． 【小问2详解】 设豆干购进n件，则豆笋购进件， ， 解得， ∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件， 时，，即豆干购进件，则豆笋购进件， 时，，即豆干购进件，则豆笋购进件． 【小问3详解】 设总利润为W元，豆干购进n件， 则 （且n为整数）， ∵， 当时，W随n的增大而减小， ∴当时，W取最大值，为． 此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元． 14．（2022•四川遂宁中考真题） 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元 （2）学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个 【解析】 【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 由题意可得：，解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； 【小问2详解】 解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元， ∴， 解得30≤x≤33， ∵x整数， ∴x的值可为30，31，32，33， ∴共有四种购买方案， 方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； 方案四：采购篮球33个，采购足球17个． 命题点一 一次方程（组）的相关概念 知识清单 知识点一 一元一次方程的基础 等式的概念：用等号表示相等关系的式子。 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1（次），这样的的整式方程叫一元一次方程。 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。 知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础） 等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 表示为：如果a=b，则a±c=b±c 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 表示为：如果 a=b，那么ac = bc 如果 a=b(c≠0)，那么 = 知识点三 二元一次方程（组）有关概念 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组． 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 题型探究 题型1 等式的性质 1．（20-21•四川广元七上期末）下列变形中，一定成立的是（　　） A. 若a＝b，则a+5＝b﹣5 B. 若|a|＝|b|，则a＝b C. 若ac＝bc，则a＝b D. 若，则a＝b 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 若a＝b，则a+5＝b+5，故该选项不正确，不符合题意； B. 若|a|＝|b|，则a＝b或，故该选项不正确，不符合题意； C. 若ac＝bc，且时，则a＝b，故该选项不正确，不符合题意； D. 若，则a＝b，故该选项正确，符合题意； 故选：D 2．（20-21•四川广元青川七上期末）下列结论错误的是（　　　） A. 若a=b，则ax=bx B. 若a=b，则a-c=b-c C. 若ax=bx，则a=b D. 若x=2，则x2=2x 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解： A、符合等式的性质2，此结论正确； B、根据等式性质1，此结论正确； C、当x=0时，此等式不成立，此结论错误； D、符合等式的性质2，此结论正确； 故选：C． 3．（23-24•四川广元剑阁七上期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（　　） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：． 4．（23-24•四川绵阳七上期末）已知，运用等式的性质对其变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等式的性质和应用．解答此题的关键是要明确：（1）等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；（2）等式两边同时乘或除相等且不为零的数或式子，两边依然相等．利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案． 【详解】解：， ，选项A符合题意； ， ，选项B不符合题意； ， ，选项C不符合题意； ， ，选项D不符合题意； 故选：A． 方法技巧总结 1、等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 题型2 一元一次方程的相关概念 5．（21-22•四川甘孜康定七上期末）下列等式中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数次数为一次的整式方程，判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、，是等式，不含未知数，不符合题意； C、不是一元一次方程，不符合题意； D、不是一元一次方程，不符合题意． 故选：A． 6．（21-22•四川自贡七上期末）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程叫做一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：①即，是一元一次方程； ②，含有两个未知数，不是一元一次方程； ③，不是整式方程，不是一元一次方程； ④是一元一次方程； ⑤，未知数的最高次是2，不是一元一次方程； 故选：B． 7．（20-21•四川成都七上期末）已知方程是关于的一元一次方程，则常数的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，列出关于m的等式，即可求解． 【详解】∵是关于的一元一次方程， ∴m-3=1，解得：m=4， 故答案是：4． 8．（22-23•四川广元利州七上期末）若关于x的方程是一元一次方程，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，根据定义求出k的值． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴，且， ∴． 故答案是：1． 方法技巧总结 1 只含有一个未知数,②未知数的次数是1.③未知数的系数不为0,④必须是整式方程,才可化简为最简形式判断。 题型3 二元一次方程的相关概念 9． （20-21•四川泸州七年级期末）若是关于，的二元一次方程，则满足的条件为（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于a、b的不等式，求出a、b满足的条件即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，， 解得：a≠2，b≠−1， 故选：C． 10．（21-22•四川眉山七年级期末）若是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 11．（21-22•四川广元七年级期末）若是关于x、y的二元一次方程，则a的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：A． 方法技巧总结 二元一次方程的判定方法: 1.二元:有两个未知数 2.一次:未知数的系数为1 3.整式方程:分母不含未知数 三个条件缺一不可。 题型4 已知一次方程（组）的解求参数 12．（20-21•四川成都七上期末）已知是关于的一元一次方程的解，则有理数的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，得到一个关于一元一次方程，解这个关于的一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：把代入原方程， 得， 解得：， 故选：A． 13．（21-22•）若是关于x的一元一次方程的解，则常数a的值为（ ） A 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入中，计算求解即可． 【详解】解：将代入中得 解得 故选C． 14． （22-23•四川泸州七下期末）已知点在第四象限且、是方程组的解，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出方程组的解，根据点P在第四象限得出相应的不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解方程组， 解得：， ∵点（x，y）在第四象限且x、y是方程组的解， ∴， 解得：， 故不等式组的解集为：1＜m＜5． 故选：D． 15．（21-22•四川乐山七年级期末）已知是方程的解，则的值是___． 【答案】-2 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 【详解】将知代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 命题点二 一元一次方程 知识清单 知识点以 解一元一次方程的基本步骤： 题型探究 16．（2024•四川自贡一模）已知与是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值. 【详解】解：∵与是同类项， ∴n+1=4， 解得，n=3， 故选：B. 17．（19-20•四川绵阳七上期末）若关于方程的解是整数，则整数的所有取值中最大值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】方程整理后，根据方程的解为正数，确定出整数k的取值即可； 【详解】方程整理得：， 移项合并得：， 解得：， 由x为整数，得到和， ∴k的值是0或-2或6或-8， ∴k的最大值是6． 故答案是6． 18．（23-24•四川广元旺苍七上期末）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足题意的整数k的和是_________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．求出方程的解为，从而可得是正整数，据此求出k的值，由此即可得． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵一元一次方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或1或0或， ∴满足题意的整数k的和是． 故答案为：0． 19．（20-21•四川德阳绵竹七上期末）当时，关于的方程有无数多个解，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据mx+n=0，当方程有无数解时，m=0，n=0，将b=1代入原方程，整理所得方程，可得出a的值． 【详解】解：将b=1代入可得：（3a-6）x+7-2a-3=0， 由方程有无数多解可得：3a-6=0，7-2a-3=0， 解得：a=2． 故答案为：2． 命题点三 解二元一次方程（组） 知识清单 知识点二 解二元一次方程组 消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。 方法一：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： （变代解求写验） ①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 ②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。 ③解：解一元一次方程 ④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 ⑤写：写出方程组的解。 ⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 方法二 加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （变加减解求写验） ①变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。 ②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 ③求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 ④回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 ⑤写解：写出方程组的解。 ⑥检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。 方法三 换元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 解二元一次方程的基本步骤：1.消元 2.求解 3.回代 4.写解 5.检验（不需写出但别忘） 题型探究 题型1 解二元一次方程（组） 20．（21-22•四川广安七年级期末）解方程组 ： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． （1） 解：， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 则方程组的解为． （2） 解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 则方程组的解为． 21．（21-22•四川泸州七年级期末）解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， 由①+②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 则方程组的解为． 方法技巧总结 1)代入消元法 用代入消元法的一般步骤是: 1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b或x = ay + b的形式; 2将y = ax+ b或x= ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程; 3.解这个一元一次方程，求出x或y值; 4.将已求出的x或y值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b或x= ay + b)，求出另一个未知数; 5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。 2)加减消元法 ①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去一个未知数; ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数，得到一元一次方程; ③解这个一元一次方程; ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值; ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。 题型2 关于二元一次方程组的错误解复原问题 22．（21-22•四川眉山七年级期末）解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】甲同学因看错a符号，把x=3，y=2代入x+cy=4，求出c，因看错a符号，得-3a+2b=6，乙因看漏c，把x=6，y=-2代入ax+by=6，组成新的二元二次方程组，解出即可． 【详解】解：∵甲同学因看错a符号， ∴把，代入， 得， 所以． ∵乙因看漏c， ∴把，代入， 得， 得， 解得，，． 所以. 23．（21-22•四川乐山七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，再求出代数式的值即可． 【详解】解：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， 把代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ． 24． （20-21•四川泸州七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，试求出，的值． 【答案】， 【解析】 【分析】分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可． 【详解】解：把代入②得：8＝b−2， 解得：b＝10， 把代入①得：5a＋20＝15， 解得：a＝−1， 即，． 方法技巧总结 根据题目的意思，哪一个看错了，就不带入哪一个，只带入正确的哪一个，在组合求出字母参数即可。 题型3 过程性学习的考查 25．（23-24•四川广元剑阁七上期末）解方程：小红在解方程时，第一步出现了错误． 解： …… （1）请在相应的方框内用横线画出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【小问1详解】 解：如图 解： …… 【小问2详解】 解： ， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 26．（21-22•四川眉山七年级期末）感悟思想： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①-②可得①+②×2可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______． (2)解方程组： (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】(1)-1，5 (2) (3)30元 【解析】 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得，分别减三个方程可求解； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【详解】（1）解： ①+②得，解得， ①-②得， 故答案为：-1，5． （2）解：， ①+②+③得，，即④， ④-①得，， ④-②得，， ④-③得，， 方程组的解为． （3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元, 根据题意列方程组得，． ①×2-②得，，则； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 27．（21-22•四川南充七年级期末）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①-②，得，即．③ ②-③×24，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． (1)请利用上述方法解方程组． (2)猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验． 【答案】(1) (2)，检验见解析 【解析】 【分析】（1）分析题干中的信息，应用计算即可； （2）应用题干信息猜想答案，检验是否是方程组的解，将解代入两个方程分别计算，若两个方程的左边=右边，即说明是方程组的解． 【详解】（1） 解：①-②，得，即③ ②-③×11，得． 把代入③，解得． 故这个方程组的解是． （2）猜想方程组解是． 检验：把方程①的左边，左边， 右边，∴左边=右边，∴方程①的解． 把代入方程②的左边，左边， 右边，∴左边=右边，∴是方程②的解． ∴，是方程组的解． 命题点四 一次方程（组）的实际应用 知识清单 列一次方程（组）解应用题的一般步骤： 审：审题，明确各数量之间的关系。 设：设出未知数 找：找题中的等量关系 列：根据等量关系列出一个方程（一元一次方程）、两个方程（二元一次方程组），组成方程组 解：解方程（组），求出未知数的值 答：检验方程（组）的解是否符合题意，写出答案。 题型探究 题型1 以数学文化背景列方程（组） 28．（2024•四川成都高新区一诊）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程即可求解． 【详解】解：设有人， 则． 故选：A． 29．（2024•四川成都联考一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据题意可得等量关系：车的数量车的数量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B． 30．（2024•四川南充中考真题） 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”分别列出两个方程，联立成方程组即可． 【详解】根据题意有 故选：A． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意找到等量关系是解题的关键． 31．（2024•四川成都中考真题） 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 题型2 一元一次方程的实际应用 32．（2024•四川德阳中江县一模）如图，在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像P′的俯角为60°，则飞艇距离湖面的高度为( 　) A. B. C. D. (50+100)m 【答案】D 【解析】 【分析】设AE＝x，则PE＝AE＝x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE＝50，OP′＝x＋50，根据∠P′AE＝60°，得出P′E＝x，从而列出方程，求出x的值即可． 【详解】设AE＝xm,在Rt△AEP中∠PAE＝45°,则∠P＝45°， ∴PE＝AE＝x， ∵山顶A处高出水面50m， ∴OE＝50m， ∴OP′＝OP＝PE＋OE＝x＋50， ∵∠P′AE＝60°， ∴P′E＝tan60°⋅AE＝x， ∴OP′＝P′E−OE＝x−50， ∴x＋50＝x−50， 解得：x＝50(＋1)(m)， ∴PO＝PE＋OE＝50(＋1)＋50＝50＋100(m)， 即飞艇离开湖面的高度是(50＋100)m； 故选D. 33．（2022•四川内江中考真题） 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． （1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ （2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ （3）学校租车总费用最少是多少元？ 【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人 （2）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆 （3）学校租车总费用最少2800元． 【解析】 【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程； （2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可； （3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用． 【小问1详解】 设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人， 根据题意得：30x+7＝31x﹣1， 解得x＝8， ∴30x+7＝30×8+7＝247， 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人； 【小问2详解】 师生总数为247+8＝255（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆， 根据题意得：， 解得3≤m≤5.5， ∵m为整数， ∴m可取3、4、5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆； 【小问3详解】 设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆， 由（2）知：3≤m≤5.5， 设学校租车总费用是w元， w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560， ∵80＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元）， 答：学校租车总费用最少是2800元． 34．（2022•四川南充中考真题） 南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价） 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价（元/件） a 80 售价（元/件） 300 100 （1）求真丝衬衣进价a的值． （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？ 【答案】（1）a=260； （2）真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元； （3）每件最多降价8元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出； （3）设降价z元，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得： 50a+25×80=15000， 解得：a=260； 小问2详解】 解：设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件， 根据题意可得：300-x≥2x， 解得：x≤100； 设总利润为y， 根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000， ∵20>0， ∴y随x的增大而增大， 当x=100时，y最大为：20×100+6000=8000元， 此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元； 【小问3详解】 设降价z元， 根据题意可得（100-80）+100×（300-260）+100×（100-80-z）≥8000×90%， 解得：z≤8， ∴每件最多降价8元． 35．（2022•四川德阳中考真题） 习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． （1）求、两种树苗的单价分别是多少元？ （2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元 （2）有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【解析】不等式（组）的实际应用 【分析】（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解； （2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得： ， 解得：， ∴1.25x=5， 答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元； 【小问2详解】 解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a取20，21，22，23，24，25， ∴有6种购买方案， 设总费用为w元， ∴， ∵-1＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=25时，w最小，最小值为475， 此时100-a=75， 答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 题型3 二元一次方程组的实际应用 36．（2024•四川遂宁中考真题） 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】（1）种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【解析】 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； 【小问2详解】 解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 37．（2024•四川泸州中考真题） 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）购进A商品的件数最多为20件 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； 【小问2详解】 解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 38．（2024•四川达州中考真题） 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1）、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 （2）要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； 【小问2详解】 解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 39．（2024•四川成都中考真题） 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）A种水果的最低销售单价为元/ 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 一、方法技巧总结 1.把握题意,搞清楚什么是条件，求什么; 2.设未知数:可以采取直接设元, 3.找等量关系,列方程(组):找等量关系时,要抓住关键词语,如“一共是……”“比……多(少)”.……是……的几倍”“……比……的几倍多(少)”等; 4.解方程(组); 5.检验:检验所解答案是否正确 或是否符合实际;也可以采取间接设元,尤其要注意间接设未知数时,最后要“回归”到题目的问题,不要解完方程就直接作答,从而答非所问。 3.找等量关系,列方程(组):找等量关系时,要抓住关键词语,如“一共是……”“比……多(少)”.……是……的几倍”“……比……的几倍多(少)”等; 4.解方程(组); 5.检验:检验所解答案是否正确或是否符合实际; 二、易错点： 1.对含有分母的一次方程去分母时，一定要给不含分母的整式或者常数项乘公分母,千万不要漏乘,否则会出错; 2.解分母含有小数的一元一次方程,小数化为整数时不要把分数以外的数也跟着扩大. 题型4 与一次方程（组）相关的新定义问题 40．（23-24•四川广元旺苍七上期末）若有理数p， q满足， 则称“ p， q”为“等效有理数对”，如：“2，2”，因为， 所以“2 ，2”“等效有理数对”． （1）通过计算判断“3 ， ”是不是“等效有序数对” ； （2）若“， 4”是“等效有理数对”， 求x的值； （3）已知“p， q”是“等效有理数对”， 求代数式的值． 【答案】（1）是 （2） （3）2023 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的应用，求解代数式的值，添括号的应用，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）根据“等效有理数对”的含义直接计算验证即可； （2）根据“等效有理数对”的含义建立方程，再解方程即可； （3）由新定义运算可得：，整体代入求解代数式的值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴“3 ， ”是“等效有序数对” 【小问2详解】 解：∵“， 4”是“等效有理数对”， ∴， 解得 【小问3详解】 解：“p， q”是“等效有理数对”， ∴， ∴ ． 41．（21-22•四川乐山七年级期末）数学乐园：解二元一次方程组，得：， 当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：， 设，，，那么方程组的解就是 (1)求二阶行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于、的二元一次方程组无解，求的值． 【答案】(1)的值是 (2)不等式的解集为 (3) (4) 【解析】 【分析】（1）根据，即可求出； （2）根据，得，解出，即可； （3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出的解； （4）根据无解，得，即可求出的值． 【详解】（1）∵ ∴ ∴的值是． （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的解集为． （3）∵方程组 ∴方程组中，，，，，， ∴ ， ∴方程组的解为：． （4）∵ ∴方程组中，，，，，， ∴ ∵无解 ∴ ∴ 解得． 42．（21-22•四川自贡七上期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． （1）求的值： （2）若，求a的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）根据题目中的定义可以解答本题； （2）根据题意可以将题目中式子转化为关于a的方程，从而可以求得a的值． 小问1详解】 ∵ ∴ ； 【小问2详解】 ∵ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得，； 43．（23-24•四川德阳广汉七上期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） （2）若 ，点C是线段A巧点，则　　； （3）如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由． 【答案】（1）是 （2）或或 （3）t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“巧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键． （1）根据“巧点”的定义即可求解； （2）分，进行讨论求解即可； （3）t秒后，，然后分当P为A、Q的巧点，Q为A、P的巧点时列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，当C是线段的中点，则， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵线段，点C是线段AB的“巧点”， ∴①当时， 此时； ②当时， 此时； ③当时， 此时； 综上，AC的长为或或， 故答案为：或或． 【小问3详解】 解：t秒后，， ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除； ②当P为A、Q的巧点时， i）当，即时， ∴， 解得：； ii）当，即时， ∴， 解得：； iii）当，即时， ∴(12﹣t)， 解得：； ③当Q为A、P的巧点时， i）当，即时， ∴， 解得：（舍去）； ii）当，即时， ∴， 解得：； iii）当，即时， ∴， 解得：； 综上，t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点． 题型5 新考法-与其他学科融合的二元一次方程组的应用 44． （2024•四川成都高新区一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据元素和的数量不变，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中， 即可求出结论． 【详解】根据题意得：， 解得： ， ， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$