精品解析：四川省内江市市中区全安镇初级中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

全安初中2024—2025年度九年级上数学期中测试题 总分160分，A卷100分，B卷60分 一．选择题（共12小题，每题3分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. ，且相似比为，则它们的面积比等于（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程为，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，5 B. 3，1 C. ， D. 3， 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 7. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 8. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 10. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 11. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　） A. 14 B. 16 C. 8+5 D. 14+ 12. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，每题5分） 13. 已知，则的值为________． 14. 计算：=___________． 15. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_____． 16. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是_____人． 三．解答题（共5小题，共44分） 17. 解下列方程 （1）（利用配方法） （2）（利用公式法） （3）（利用因式分解法） 18. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 19. 当时，求和xy2＋x2y的值． 20. 若a，b，c分别是三角形的三边长，化简：． 21. 如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ B卷60分 一．填空题（共4小题，每题6分） 22. 已知a、b是方程的两根，则___________． 23. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值） 24. 一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则________； 25. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 二．解答题（共3小题，每题12分） 26. 对于正数，规定，例如．计算：． 27. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 28. 如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形． （1）当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空） 请你继续解决下列问题： （2）当矩形的长和宽分别为7和1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由； （3）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全安初中2024—2025年度九年级上数学期中测试题 总分160分，A卷100分，B卷60分 一．选择题（共12小题，每题3分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于0），分式有意义的条件（分母不等于0）可得答案． 【详解】要使式子有意义， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、 不是同类二次根式，无法计算，本选项错误； B、 ，本选项错误； C、 ，本选项错误， D、 本选项正确； 故选：D． 4. ，且相似比为，则它们的面积比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴它们的面积比等于， 故选：C 5. 若关于x的一元二次方程为，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，5 B. 3，1 C. ， D. 3， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c．据此求解即可． 【详解】解：关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选：D． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 7. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 8. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根与系数的关系得，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 10. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 11. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　） A. 14 B. 16 C. 8+5 D. 14+ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15； 当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15， 则输出结果为8+5． 故选C． 考点：实数的运算． 12. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】添加辅助线，过F点作∥，通过证明两组三角形相似，得到和的两个关系式，从而求解． 【详解】如图所示，过F点作∥，交于点I， 证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成 ，，，， 又 ，即 解得或（舍去） ， FI∥HM ， ， ， 解得： 经检验：符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形和勾股定理．本题的关键在于添加辅助线，建立所求线段与已知条件之间的联系． 二．填空题（共4小题，每题5分） 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值． 【详解】解： 和有意义， ， ，． ． 故答案为：． 14. 计算：=___________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原式==．故答案为． 考点：实数的运算． 15. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 将代入中即可得出答案． 【详解】解∶关于的一元二次方程的一个解是， ， ， 故答案为∶． 16. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是_____人． 【答案】12 【解析】 【分析】设参加会议人数为x，每个人都与其他(x－1)人握手，共握手次数为x(x－1)次，根据题意列出方程，然后解方程即可得到答案. 【详解】设参加会议人数为x， 则x(x－1)＝66， x2－x－132＝0， (x－12)(x+11)＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣11（舍）. 故答案为12. 三．解答题（共5小题，共44分） 17. 解下列方程 （1）（利用配方法） （2）（利用公式法） （3）（利用因式分解法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据配方法、因式分解法、直接开平方法与公式法解一元二次方程． （1）先利用完全平方公式配方，再开平方求解即可； （2）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解； （3）先移项再提取公因式因式分解，再求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解： 或 ． 18. 如图，在菱形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， 19. 当时，求和xy2＋x2y的值． 【答案】2，112 【解析】 【分析】 【详解】解：∵， ∴ ∴= xy2＋x2y= 20. 若a，b，c分别是三角形的三边长，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据三角形的三边关系结合二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：因为a，b，c分别是三角形的三边长， 所以， 所以原式 ． 21. 如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 【答案】2米 【解析】 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可． 【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得 整理得， 解得：（舍去）， 答∶道路的宽为2米． B卷60分 一．填空题（共4小题，每题6分） 22. 已知a、b是方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 23. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 24. 一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则________； 【答案】1188或4752 【解析】 【分析】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题．设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，根据是完全平方数，得到可能的值即可得出结论． 【详解】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴， ∵m是四位数， ∴是四位数， 即， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴既是3的倍数也是完全平方数， ∴只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴或4752 故答案为：1188或4752． 25. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 二．解答题（共3小题，每题12分） 26. 对于正数，规定，例如．计算：． 【答案】201 【解析】 【分析】本题考查代数式求值及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知条件总结规律，列式计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 原式 ． 27. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【解析】 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 28. 如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形． （1）当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空） 请你继续解决下列问题： （2）当矩形的长和宽分别为7和1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由； （3）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 【答案】（1），； （2）存在，理由： 设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得， 消去y可得， ∵， ∴， ∴，， ∴存在“减半”矩形； （3） 不存在．理由如下： 边长为a的正方形面积的一半为， 由题意，原正方形的“减半”正方形边长为， 则其面积为 所以正方形不存在“减半”正方形． 【解析】 【分析】（1）根据题意所列方程，解一元二次方程可得，，从而可得答案； （2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，再判断方程是否有解即可得到结论； （3）利用定义和用a分别表示“减半”正方形面积和周长，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，得，消去y得： ， 则， ∴ ∴，； 当时， 当时，， 所以方程组的解为：或， ∴满足要求的矩形B存在，边长分别为：． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，方程组的解法，相似图形的判定与性质，理解题意，建立合适的数学模型解题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $