专题04：圆锥的体积（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年六年级数学寒假自学课（北师大版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年六年级数学寒假自学课 专题04：圆锥的体积 1、理解圆锥体积公式的推导过程，掌握圆锥的体积计算公式。 2、能利用公式计算圆锥的体积，并会解决简单的实际问题。 3、培养动手操作能力及观察、分析、推理的能力，发展空间观念。 1、圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2、圆锥的体积公式。 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。 圆锥的体积=圆柱的体积× 用字母表示为V=Sh V=πr2h× 3、求圆锥体积时，方法如下： （1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。 （2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。 （3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。 一、选择题 1．把一个棱长是6厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥体，体积比原来减少了（    ）立方厘米。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 2．如选项中所示圆柱，与如图所示圆锥体积相等的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． D． 3．将一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆锥形实心铁块，锻压成一个底面半径是2厘米的圆柱形实心铁块，这个圆柱形铁块的高是（    ）厘米。 A．37.5 B．10 C．7.85 D．12.5 4．一支尖端部分是圆锥形的铅笔，圆锥部分的长度是圆柱部分的，则圆锥部分的体积是圆柱体积的（    ）。 A． B． C． D． 5．一年一度的科技节如火如荼的进行中，下图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，体积是（    ）。 A．125.6cm3 B．100.48cm3 C．150.72cm3 D．200.96cm3 二、填空题 6．淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），这个玩具的体积约是（ ）立方厘米。如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是（ ）立方厘米。 7．如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（ ），它的底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）cm3。 8．手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是（ ）立方厘米，底面积是（ ）平方厘米。 9．如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是（ ）cm3，圆锥的体积是（ ）cm3。 10．有两个等底的圆柱和圆锥形空瓶容器，圆锥形瓶子高12厘米，底面直径10厘米。在圆锥形瓶子中加满水，再把水倒入圆柱形容器里，则圆柱形容器里的水深（ ）厘米。 三、计算题 11．求圆锥的体积。 四、解答题 12．一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 13．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高1.5米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 14．一个圆柱形水桶，底面直径是2分米，高是3分米。若水桶装满水后再放入一个和圆柱等底等高的圆锥形铁块（铁皮厚度忽略不计），桶里还剩多少升水？ 15．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年六年级数学寒假自学课 专题04：圆锥的体积 1、理解圆锥体积公式的推导过程，掌握圆锥的体积计算公式。 2、能利用公式计算圆锥的体积，并会解决简单的实际问题。 3、培养动手操作能力及观察、分析、推理的能力，发展空间观念。 1、圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2、圆锥的体积公式。 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。 圆锥的体积=圆柱的体积× 用字母表示为V=Sh V=πr2h× 3、求圆锥体积时，方法如下： （1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。 （2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。 （3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。 一、选择题 1．把一个棱长是6厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥体，体积比原来减少了（    ）立方厘米。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 【分析】正方体木块削成最大的圆锥，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可求出最大圆锥体的体积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积，然后用正方体的体积减去最大圆锥体的体积，即可求出最大圆锥体的体积比原来减少了多少立方厘米。 【解答】6×6×6＝216（立方厘米） 3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝56.52（立方厘米） 216－56.52＝159.48（立方厘米） 体积比原来减少了159.48立方厘米。 故答案为：C 2．如选项中所示圆柱，与如图所示圆锥体积相等的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． D． 【分析】根据圆锥的体积公式V＝πr2h，圆柱的体积公式V＝πr2h，分别求出圆锥的体积与各选项中圆柱的体积，找出与圆锥的体积相等的选项即可。 【解答】圆锥的体积： ×π×（6÷2）2×15 ＝×π×32×15 ＝×π×9×15 ＝45π（cm3） A．π×（6÷2）2×5 ＝π×32×5 ＝π×9×5 ＝45π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积相等，符合题意； B．π×（2÷2）2×10 ＝π×12×10 ＝10π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积不相等，不符合题意； C．π×（6÷2）2×15 ＝π×32×15 ＝π×9×15 ＝135π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积不相等，不符合题意； D．π×（2÷2）2×18 ＝π×12×18 ＝18π（cm3） 圆柱的体积与圆锥的体积不相等，不符合题意。 故答案为：A 3．将一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆锥形实心铁块，锻压成一个底面半径是2厘米的圆柱形实心铁块，这个圆柱形铁块的高是（    ）厘米。 A．37.5 B．10 C．7.85 D．12.5 【分析】我们需要利用圆锥和圆柱的体积公式来解决问题。 圆锥的体积公式为V＝πr2h，其中r是圆锥底面半径，h是圆锥的高。 圆柱的体积公式为V＝πR2H，其中R是圆柱底面半径，是H圆柱的高。 因为圆锥形实心铁块被锻压成圆柱形实心铁块，所以它们的体积是相等的。首先来看圆锥，已知其底面半径是2厘米，高是6厘米。根据圆锥体积公式，我们可以计算出圆锥的体积。再看圆柱，已知其底面半径是厘2米。由于圆锥和圆柱体积相等，我们可以通过这个等量关系，将圆锥的体积表达式代入到圆柱体积公式中，从而求出圆柱的高H。 【解答】×3.14×52×6 ＝×π×25×6 ＝50π 50π＝π×22×H 50π＝4πH H＝50÷4 H＝12.5（厘米） 这个圆柱形铁块的高是12.5厘米。 故答案为：D 4．一支尖端部分是圆锥形的铅笔，圆锥部分的长度是圆柱部分的，则圆锥部分的体积是圆柱体积的（    ）。 A． B． C． D． 【分析】根据题意，这支铅笔的圆柱部分和圆锥部分的底面积相等，可以设它们的底面积都是S； 由圆锥部分的长度是圆柱部分的，可以设圆柱的长度是h，则圆锥的长度是h； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱部分和圆锥部分的体积，再用圆锥部分的体积除以圆柱部分的体积，即可求出圆锥部分的体积是圆柱体积的几分之几。 【解答】设圆锥和圆柱的底面积都是S，圆柱的长度是h，则圆锥的长度是h。 圆柱的体积：Sh； 圆锥的体积：×S×h＝Sh Sh÷Sh＝ 圆锥部分的体积是圆柱体积的。 故答案为：C 5．一年一度的科技节如火如荼的进行中，下图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，体积是（    ）。 A．125.6cm3 B．100.48cm3 C．150.72cm3 D．200.96cm3 【分析】火箭模型是一个底面直径是4cm，高是6cm的圆柱的体积＋底面直径是4cm，高是（12－6）cm的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（4÷2）2×6＋3.14×（4÷2）2×（12－6）× ＝3.14×22×6＋3.14×22×6× ＝3.14×4×6＋3.14×4×6× ＝12.56×6＋12.56×6× ＝75.36＋75.36× ＝75.36＋25.12 ＝100.48（cm3） 一年一度的科技节如火如荼的进行中，下图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，体积是100.48cm3。 故答案为：B 二、填空题 6．淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），这个玩具的体积约是（ ）立方厘米。如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是（ ）立方厘米。 【分析】求这个玩具的体积，根据圆锥的体积＝×底面积×高，代入相应数值计算即可；把这个玩具装在一个长方体盒子中，则长方体盒子的长至少为6厘米，宽至少为6厘米，高至少为10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算，所得结果即为这个盒子的容积至少是多少立方厘米。 【解答】 （立方厘米） 6×6×10＝360（立方厘米） 因此这个玩具的体积约是94.2立方厘米；这个盒子的容积至少是360立方厘米。 7．如图，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（ ），它的底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）cm3。 【分析】根据圆锥的特征可知，直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成圆锥，那么这条直角边6cm是圆锥的高，另一条直角边3cm是圆锥的底面半径。 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据V锥＝Sh，求出圆锥的体积； 由V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆柱的体积。 【解答】圆锥的底面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 圆锥的体积：×28.26×6＝56.52（cm3） 圆柱的体积：56.52×3＝169.56（cm3） 填空如下： 直角三角形绕着6cm的直角边旋转一周，形成的立体图形是（圆锥），它的底面积是（28.26）cm2，体积是（56.52）cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（169.56）cm3。 8．手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是（ ）立方厘米，底面积是（ ）平方厘米。 【分析】将圆柱形橡皮泥捏成圆锥形状，橡皮泥的大小不变，那么这个圆锥的体积也是75.36立方厘米。圆锥体积＝底面积×高÷3，那么圆锥底面积＝圆锥体积×3÷高，将数据代入求出这个圆锥的底面积即可。 【解答】75.36×3÷9 ＝226.08÷9 ＝25.12（平方厘米） 所以，它的体积是75.36立方厘米，底面积是25.12平方厘米。 9．如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是（ ）cm3，圆锥的体积是（ ）cm3。 【分析】800mL＝800 cm3，600mL＝600 cm3。由题意可知：等底等高的圆柱和圆锥的体积和是800－600＝200 cm3，而等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。根据和倍公式和÷（倍＋1）求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积；据此解答。 【解答】800mL＝800cm3，600mL＝600cm3 800－600＝200（cm3） 200÷（3＋1） ＝200÷4 ＝50（cm3） 50×3＝150（cm3） 放进去的圆柱的体积是150cm3，圆锥的体积是50cm3。 10．有两个等底的圆柱和圆锥形空瓶容器，圆锥形瓶子高12厘米，底面直径10厘米。在圆锥形瓶子中加满水，再把水倒入圆柱形容器里，则圆柱形容器里的水深（ ）厘米。 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，先求出圆锥形瓶子的容积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，求出圆柱形容器里的水深。 【解答】3.14×（10÷2）2×12÷3 ＝3.14×52×12÷3 ＝3.14×25×12÷3 ＝314（立方厘米） 314÷[3.14×（10÷2）2] ＝314÷[3.14×52] ＝314÷[3.14×25] ＝314÷78.5 ＝4（厘米） 圆柱形容器里的水深4厘米。 三、计算题 11．求圆锥的体积。 【分析】根据圆锥的体积＝×底面积×高，代入数据计算即可。 【解答】×3.14××24 ＝×3.14×100×24 ＝3.14×100×8 ＝314×8 ＝2512（） 四、解答题 12．一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥铁块熔铸成长方体，体积不变，用圆锥的体积除以长方体的宽，再除以长方体的高，即可求出长方体的长。 【解答】3.14×32×20×÷5÷4 ＝3.14×9×20×÷5÷4 ＝28.26×20×÷5÷4 ＝565.2×÷5÷4 ＝188.4÷5÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：长方体的长是9.42厘米。 13．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高1.5米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 【分析】这堆沙子的占地面积，就是圆锥形沙堆的底面积，根据圆的面积公式：S＝，代入数据解答即可；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出圆锥形沙堆的体积，再用体积乘每立方米沙子的钱数即可解答。 【解答】2÷2＝1（米） 3.14×＝3.14（平方米） 3.14×1.5÷3×120 ＝4.71÷3×120 ＝1.57×120 ＝188.4（元） 答：这堆沙子的占地面积是3.14平方米，李叔叔买这堆沙子需要花188.4元。 14．一个圆柱形水桶，底面直径是2分米，高是3分米。若水桶装满水后再放入一个和圆柱等底等高的圆锥形铁块（铁皮厚度忽略不计），桶里还剩多少升水？ 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出原来水的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的，将原来水的体积看作单位“1”，放入等底等高的圆锥形铁块，桶里剩下的水是原来的（1－），原来水的体积×（1－）＝剩下水的体积，据此列式解答。 【解答】3.14×（2÷2）2×3×（1－） ＝3.14×12×3× ＝3.14×1×3× ＝6.28（立方分米） ＝6.28（升） 答：桶里还剩6.28升水。 15．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$