专题03：圆柱的体积（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年六年级数学寒假自学课（北师大版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年六年级数学寒假自学课 专题03：圆柱的体积 1、会借助圆的面积计算公式的推导方法来推导圆柱的体积计算公式，并能解决相关的简单实际问题。 2、经历观察、猜想、操作、验证、交流和归纳等数学活动的过程，体会转化思想的价值，渗透极限的思想方法。 1、圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。 2、圆柱的体积的计算公式。 圆柱的体积=底面积×高。 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh，用字母表示：V=S×h。 3、圆柱体积公式的应用。 圆柱的体积=底面积×高。 ①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。 ②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 ③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 4、圆柱形容器的容积。 圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 5、不规则物体的体积。 计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。 一、选择题 1．实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 2．将一个圆柱体剪切拼成一个近似的长方体后，它的表面积比原来增加了16cm2，已知圆柱的半径是2cm，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．25.12 B．50.24 C．62.8 D．78.5 3．如图，至少要（    ）个这样的杯子才能装下2000mL的牛奶。 A．6 B．7 C．8 D．9 4．用一个长方形硬纸板，分别以长边和短边所在的直线为轴，快速旋转一周，得到两个圆柱，则这两个圆柱（    ）。 A．表面积相同，侧面积相同，体积不同 B．表面积不同，侧面积不同，体积相同 C．表面积不同，侧面积相同，体积不同 D．表面积相同，侧面积不同，体积相同 5．一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的容积是（    ）立方米。 A．56.52 B．84.78 C．113.04 D．169.56 二、填空题 6．如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出图中这个直柱体的体积是（ ）立方厘米。 7．一个面积为16平方分米的正方形，以一条边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 8．圆柱体放入一个正方体容器中，盖好容器盖后，圆柱体的上下底面及侧面与正方体的上下底面及侧面紧密接触，这时圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，则正方体与圆柱的体积之比是（ ）。 9．做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是4分米，至少需要铁皮（ ）平方分米，这个水桶的容积是（ ）升。 10．《九章算术》中记载的圆柱体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”， 也就是底面周长的平方乘高，再除以12，这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过取圆周率的近似值为3，笑笑量得一个圆柱形水杯的底面周长是20厘米，高是12厘米。请用这种方法算一算这个水杯最多可盛水（ ）毫升。（水杯的厚度忽略不计） 三、计算题 11．计算圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 四、解答题 12．学校一个自来水管的内直径是2厘米，水管内水流的速度是每秒5厘米。一位同学洗手后忘记关水龙头，10分钟可以浪费多少升水？ 13．如图是一块长20.7分米的长方形铁皮，阴影部分的铁皮刚好能做一个一系盖的圆柱形水桶，这个水桶的容积是多少立方分米？ 14．如图所示茶杯。 （1）茶杯中的一圈装饰，是为防烫手贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头忽略不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？ 15．佳佳有两个圆柱形水杯，一个蓝色的和一个绿色的。这两个水杯的高都是20厘米，蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，蓝色水杯水深7厘米，绿色水杯水深4厘米，现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，这时蓝色水杯的水面上升了多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年六年级数学寒假自学课 专题03：圆柱的体积 1、会借助圆的面积计算公式的推导方法来推导圆柱的体积计算公式，并能解决相关的简单实际问题。 2、经历观察、猜想、操作、验证、交流和归纳等数学活动的过程，体会转化思想的价值，渗透极限的思想方法。 1、圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。 2、圆柱的体积的计算公式。 圆柱的体积=底面积×高。 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh，用字母表示：V=S×h。 3、圆柱体积公式的应用。 圆柱的体积=底面积×高。 ①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。 ②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 ③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。 4、圆柱形容器的容积。 圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 5、不规则物体的体积。 计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。 一、选择题 1．实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 【分析】根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4即可求出长＋宽＋高的长度，即56÷4＝14（分米），由于长是宽是2倍，宽是高的2倍，说明高最短，那么长相当于高的4倍，也就是高是1份，宽是2份，长是4份，用14÷（1＋2＋4）即可求出一份量，也就是高的长度，据此即可求出长和宽的长度，根据长方体体积公式：长×宽×高，求出长方体的体积，由于等积变形，正方体的体积和长方体的体积相同，再根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，据此即可求出正方体的棱长，也就是最大的圆柱的高和底面直径，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据即可求解。 【解答】56÷4＝14（分米） 14÷（1＋2＋4） ＝14÷7 ＝2（分米） 宽：2×2＝4（分米） 长：2×4＝8（分米） 体积：2×4×8＝64（立方分米） 64＝4×4×4 所以正方体的棱长是4分米。 圆柱的体积：π×（4÷2）2×4 ＝π×22×4 ＝π×4×4 ＝16π（立方分米） 所以圆柱的体积是16π立方分米。 故答案为：D 2．将一个圆柱体剪切拼成一个近似的长方体后，它的表面积比原来增加了16cm2，已知圆柱的半径是2cm，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．25.12 B．50.24 C．62.8 D．78.5 【分析】将一个圆柱切拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了两个长方形的面积，这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以2再除以圆柱的底面半径，计算出圆柱的高；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，即可计算出圆柱的体积。 【解答】圆柱的高：16÷2÷2＝4（cm） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝3.14×16 ＝50.24（cm3） 因此圆柱的体积是50.24cm3。 故答案为：B 3．如图，至少要（    ）个这样的杯子才能装下2000mL的牛奶。 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，求出一个底面直径是6厘米、高是10厘米的杯子的容积，再用2000除以杯子的容积，如果有余数，要用“进一法”，如果没有余数，商即为所求。 【解答】6÷2＝3（厘米） 3.14××10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 282.6立方厘米＝282.6毫升 2000÷282.6≈8（个） 所以至少要8个这样的杯子才能装下2000mL的牛奶。 故答案为：C 4．用一个长方形硬纸板，分别以长边和短边所在的直线为轴，快速旋转一周，得到两个圆柱，则这两个圆柱（    ）。 A．表面积相同，侧面积相同，体积不同 B．表面积不同，侧面积不同，体积相同 C．表面积不同，侧面积相同，体积不同 D．表面积相同，侧面积不同，体积相同 【分析】观察图形可知，以长边所在的直线为轴得到的圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米；以宽边所在的直线为轴得到的圆柱的底面半径是6厘米，高是4厘米。圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的体积＝底面积×高，据此分别计算出两个圆柱的表面积、侧面积和体积即可解答。 【解答】两个圆柱的侧面都是由同一个长方形围成，则侧面积相等； 第一个圆柱的底面积：π×42＝16π（平方厘米） 第二个圆柱的底面积：π×62＝36π（平方厘米） 两个圆柱的侧面积相等，但底面积不相等，则它们的表面积也不相等； 第一个圆柱的体积：16π×6＝96π（立方厘米） 第二个圆柱的体积：36π×4＝144π（立方厘米） 则它们的体积不相等。 综上所述，这两个圆柱表面积不同，侧面积相同，体积不同。 故答案为：C 5．一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的容积是（    ）立方米。 A．56.52 B．84.78 C．113.04 D．169.56 【分析】根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（6÷2）2×3 ＝3.14×32×3 ＝3.14×9×3 ＝28.26×3 ＝84.78（立方米） 一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的容积是84.78立方米。 故答案为：B 【点评】熟练掌握圆柱的容积公式是解答本题的关键。 二、填空题 6．如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出图中这个直柱体的体积是（ ）立方厘米。 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，长方体的底面积＝长×宽，所以长方体的体积＝底面积×高；圆柱的体积＝底面积×高；也就是长方体和圆柱的体积都可以用“底面积×高”计算；观察发现：图中这个直柱体两个底面是完全相同的等腰梯形，上下一样粗细，所以这个直柱体的体积也可以用“底面积×高”来计算。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入相应数值计算出这个直柱体的底面积，再根据底面积×高，计算这个直柱体的体积。 【解答】（5＋11）×4÷2×6 ＝16×4÷2×6 ＝64÷2×6 ＝32×6 ＝192（立方厘米） 因此这个直柱体的体积是192立方厘米。 7．一个面积为16平方分米的正方形，以一条边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【分析】正方形的面积＝边长×边长，因为16＝4×4，则这个正方形的边长是4分米。以正方形的一条边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的底面半径是4分米，高是4分米。圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2＝2πrh＋2πr2，圆柱的体积＝πr2h，据此代入数据计算。最后需换算单位。 【解答】16＝4×4，则这个正方形的边长是4分米。 表面积：4×2×3.14×4＋3.14×42×2 ＝25.12×4＋3.14×16×2 ＝100.48＋100.48 ＝200.96（平方分米） ＝20096平方厘米 体积：3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝200.96（立方分米） ＝200960立方厘米 则这个圆柱的表面积是20096平方厘米，体积是200960立方厘米。 8．圆柱体放入一个正方体容器中，盖好容器盖后，圆柱体的上下底面及侧面与正方体的上下底面及侧面紧密接触，这时圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，则正方体与圆柱的体积之比是（ ）。 【分析】圆柱的高、底面直径与正方体的棱长相等，可设正方体的棱长为具体数字，则可分别计算出正方体的体积与圆柱的体积，再计算正方体与圆柱的体积比。 【解答】假设正方体的棱长为6厘米，则圆柱的高和底面直径也为6厘米。 正方体的体积：6×6×6＝216（立方厘米） 圆柱的体积：3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 216∶169.56＝200∶157 故正方体与圆柱的体积之比是200∶157。 9．做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是4分米，至少需要铁皮（ ）平方分米，这个水桶的容积是（ ）升。 【分析】将底面周长除以3.14再除以2，求出底面半径。根据“圆面积＝πr2”求出圆柱形水桶的底面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”求出圆柱的侧面积。将底面积和侧面积相加，求出需要的铁皮面积。圆柱容积＝底面积×高，据此列式求出这个水桶的容积。 【解答】12.56÷3.14÷2＝2（分米） 3.14×22＋12.56×4 ＝3.14×4＋50.24 ＝12.56＋50.24 ＝62.8（平方分米） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 50.24立方分米＝50.24升 所以，至少需要铁皮62.8平方分米，这个水桶的容积是50.24升。 10．《九章算术》中记载的圆柱体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”， 也就是底面周长的平方乘高，再除以12，这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过取圆周率的近似值为3，笑笑量得一个圆柱形水杯的底面周长是20厘米，高是12厘米。请用这种方法算一算这个水杯最多可盛水（ ）毫升。（水杯的厚度忽略不计） 【分析】由题意可知：圆柱的体积＝底面周长2×高÷12，据此将底面周长20厘米，高12厘米代入计算即可。 【解答】202×12÷12 ＝400×12÷12 ＝4800÷12 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 这个水杯最多可盛水400毫升。 三、计算题 11．计算圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 【分析】根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求出它的表面积。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出它的体积。 【解答】圆柱的表面积： 3.14×6×8＋3.14×（6÷2）2×2 ＝18.84×8＋3.14×32×2 ＝150.72＋3.14×9×2 ＝150.72＋56.52 ＝207.24（cm2） 圆柱体积： 3.14×（6÷2）2×8 ＝3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（cm3） 圆柱的表面积是207.24cm2，圆柱的体积是226.08cm3。 四、解答题 12．学校一个自来水管的内直径是2厘米，水管内水流的速度是每秒5厘米。一位同学洗手后忘记关水龙头，10分钟可以浪费多少升水？ 【分析】根据1分钟＝60秒，用乘法求出10分钟相当于600秒，然后用600秒乘水流的速度，即可求出10分钟流出的水流的长度，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出水流出的体积，再根据1升＝1000立方厘米，将单位换算成升即可。 【解答】10×60＝600（秒） 600×5＝3000（厘米） 3.14×（2÷2）2×3000 ＝3.14×12×3000 ＝3.14×1×3000 ＝9420（立方厘米） 9420立方厘米＝9.42升 答：10分钟可以浪费9.42升水。 13．如图是一块长20.7分米的长方形铁皮，阴影部分的铁皮刚好能做一个一系盖的圆柱形水桶，这个水桶的容积是多少立方分米？ 【分析】观察图形可知，长方形阴影部分是这个圆柱形水桶的侧面展开图，水桶的底面周长与底面直径的和是20.7分米，水桶的高等于它的底面直径。设这个圆柱的底面直径是d分米，则圆柱的底面周长是3.14d分米，根据题意可列出方程：3.14d＋d＝20.7，解出方程求出水桶的底面直径后，再根据圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h即可求出这个水桶的容积。 【解答】解：设这个圆柱的底面直径是d分米。 3.14d＋d＝20.7 4.14d＝20.7 d＝20.7÷4.14 d＝5 3.14×（5÷2）2×5 ＝3.14×2.52×5 ＝3.14×6.25×5 ＝98.125（立方分米） 答：这个水桶的容积是98.125立方分米。 14．如图所示茶杯。 （1）茶杯中的一圈装饰，是为防烫手贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头忽略不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？ 【分析】（1）装饰带的长就是圆柱的底面周长，根据圆的周长C＝πd，代入数据计算，即可求出这条装饰带长至少是多少厘米。 （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，即可求出这个茶杯的容积。据此解答。 【解答】（1）10×3.14＝31.4（厘米） 答：长至少是31.4厘米。 （2）10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝1177.5（立方厘米） 1177.5立方厘米＝1177.5毫升 答：这个茶杯的容积大约是1177.5毫升。 15．佳佳有两个圆柱形水杯，一个蓝色的和一个绿色的。这两个水杯的高都是20厘米，蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，蓝色水杯水深7厘米，绿色水杯水深4厘米，现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，这时蓝色水杯的水面上升了多少厘米？ 【分析】已知蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，则假设蓝色水杯的底面半径是3厘米，绿色水杯的底面半径是2厘米，已知现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，则现在蓝色水杯里水的体积－原来蓝色水杯里水的体积＝现在绿色水杯里水的体积－原来绿色水杯里水的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，设现在水杯里水的高度是x厘米，据此列方程为：3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4，然后解出方程，最后用现在水的高度减去原来蓝色水杯里水的高度，即可求出蓝色水杯的水面上升了多少厘米。 【解答】假设蓝色水杯的底面半径是3厘米，绿色水杯的底面半径是2厘米， 解：设现在水杯里水的高度是x厘米。 3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4 3.14×9×x－3.14×9×7＝3.14×4×x－3.14×4×4 28.26x－197.82＝12.56x－50.24 28.26x－12.56x＝197.82－50.24 15.7x＝147.58 x＝147.58÷15.7 x＝9.4 9.4－7＝2.4（厘米） 答：这时蓝色水杯的水面上升了2.4厘米。 【点评】本题可用列方程来解决问题，关键是找到相应的数量关系式。 学科网（北京）股份有限公司 $$