精品解析：河南省新乡市2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试题

2024—2025学年高三第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， . 故选：A. 2. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 3. 为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ） A. 127 B. 136 C. 133 D. 138 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义结合频数分布直方图求解即可. 【详解】该班共有人， 因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得. 故选：D. 4. 若函数的定义域分别为，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分求出集合，再根据交集的定义即可求出，即可得解. 【详解】由题意， 因为， 所以，解得， 所以. 故选：A. 5. 若直线与圆的两个交点为，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的弦长可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意圆心到直线的距离， 则，解得或. 故选：B. 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的变换求出函数，再求出相位所在区间，结合零点情况列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，当时，， 由在区间上恰有5个零点，得，解得. 故选：B 7. “蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（ ） A. 立方分米 B. 立方分米 C. 7立方分米 D. 立方分米 【答案】D 【解析】 【分析】设为底面的中心，连接，先求出，再利用勾股定理求出，即可求出棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】如图，在正三棱台中，， 将棱台补全为正三棱锥， 设为底面的中心，连接，则平面， 而平面，所以， 因为，所以， ， 所以， 则正三棱台的高， 该正三棱台的上底面面积， 下底面面积， 所以该正三棱台储物凳的储物容积 . 故选：D. 8. 当，且有且只有一个为0时，，则（ ） A. 既无最大值，也无最小值 B. 的最大值为4，最小值为2 C. 的最大值为无最小值 D. 的最小值为无最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，令，借助反比例函数的性质求出的范围即可. 【详解】在中，由有且只有一个为0， 当时，则， 而，则，，因此，即， 同理， 所以，既无最大值，也无最小值. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则以下等式可能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式求出即可判断A；易得，，再根据二倍角的余弦公式即可判断BD；举例说明即可判断C. 【详解】对于A，当时， ， 所以不可能成立，故A错误； 对于B，由，得， 则， 则可能成立，故B正确； 对于C，取， 此时， 则可能成立，故C正确； 对于D，由，得， 则则， 则不可能成立，故D错误. 故选：BC. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 点的纵坐标之积与有关 D. 若（为坐标原点），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，根据弦长公式即可判断A；过点分别作准线的垂线，垂足分别为，设，根据抛物线的定义求出，进而可求出，即可判断B；设，联立方程，利用韦达定理即可判断C；由，得，根据点在轴的上方，得，再结合抛物线的定义即可判断D. 【详解】设， 对于A，若，则直线， 联立，得，则， 所以，故A正确； 对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 不妨设，则， 则，故B正确； 对于C，易得直线的斜率不为零，设， 联立，得，则为定值， 所以点的纵坐标之积与无关，故C错误； 对于D，由，得， 即，即， 由， 得，， 因为点在轴的上方，所以， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为3 C. D. 点在半径为的球面上 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，易得，应用线面平行的判定判断A；设的中点为，连接，根据已知求得，结合确定的轨迹为球，利用球的结构特征判断B；应用空间向量数量积的运算律及定义有，即可判断C；设的中点为，连接，有判断D. 【详解】取的中点，连接，结合题设易知，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面，A正确. 设的中点为，连接， 由知，四边形是直角梯形，且， 所以， 因为，所以在以为球心，为半径的球面上运动（不经过面）， 则，B错误. ， 因为与不共线，所以， 所以，C正确. 设的中点为，连接，则， 所以在以点为球心，为半径的球面上运动，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆的离心率为，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据椭圆的离心率公式求出，即可求出，再根据等差数列的前项和公式即可求出. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以， 所以，， . 故答案为：；. 13. 在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为______，此时的周长为______． 【答案】 ①. 8 ②. ## 【解析】 【分析】根据正余弦定理边角互化可得，进而根据三角形面积公式可得，即可根据基本不等式求解最值，利用余弦定理可得，即可求得答案. 【详解】由和正弦定理可得， 故, ， ，故, 当且仅当，即时取等号， ，故， 此时周长为， 故答案为：8， 14. 如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有______种． 【答案】401 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算得解. 【详解】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有1种， 所以不同的走法共有（种）. 故答案为：401 【点睛】方法点睛：解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)，分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间； （2）根据函数的单调性即可得出答案； （3）由题意只需要即可，再结合（1）求出即可得解. 【小问1详解】 ， 当时，，当，， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 因为关于的不等式的解集为， 则只需要即可， 由（1）得， 所以，解得， 所以的取值范围为． 16. 如图，在中，，，，，将沿折起得到四棱锥，且平面平面. （1）证明：四棱锥的高为. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：依题意可知，则， 因为，，，所以， 所以与都是边长为的正三角形. 取的中点，连接，则. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为，所以四棱锥的高为. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明都是正三角形，取的中点，根据面面垂直性质定理证明平面，求可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面法向量，结合向量夹角公式求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以直线为 轴，直线为 轴，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，. ，. 设平面的法向量为， 则由， 得， 取，得， 所以为平面的一个法向量. 又， 所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响． （1）求甲同学初赛被淘汰的概率； （2）已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 【解析】 【分析】（1）先求出甲同学初赛不被淘汰答对中级编程题的数量，再根据独立事件的乘法公式分类讨论求解即可； （2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为， 则甲同学初赛不被淘汰的概率为， 所以甲同学初赛被淘汰的概率为； 【小问2详解】 由题意可取， 则， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 故. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且． （1）求 的渐近线方程． （2）点为 的左支上一点，且．分别为 的左、右顶点，过点的直线交 的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点． ①求直线的方程； ②证明：点到直线的距离为定值． 【答案】（1） （2）①； ②证明：易知直线的斜率不为零，则可设直线的方程为， 设， 联立，得， 恒成立， 则， 由题意得且，所以， 则直线，直线， 联立可得 ， 解得，故动点在直线上， 所以点到直线的距离为， 所以点到直线的距离为定值. 【解析】 【分析】（1）根据焦距求出，即可求出渐近线方程； （2）①设，则，利用余弦定理可求出，再利用勾股定理证明，即可得出结论； ②可设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出直线的方程，再联立方程，从而可求出动点所在的位置，进而可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，解得，则， 所以双曲线， 所以 的渐近线方程为； 【小问2详解】 ①设，则， 由余弦定理得， 即，解得（负根舍去）， 所以， 所以，则， 所以直线的方程为； ②略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． （1）求点的坐标； （2）设，求数列的前项和； （3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 【答案】（1）， （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据特征方程和特征根的定义求解即可； （2）由（1）知，化简，再利用裂项相消法求解即可； （3）求得，设，分别求出，再根据特征方程和特征根的定义即可得出答案. 【小问1详解】 因为点列的特征根为和， 所以点列的特征方程为， 所以， 则，即， 所以， 所以的坐标为， 由， 得，即， 所以， 所以的坐标为； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 设， 则， ， ， 设， 则①， ②， 由①②得，即， 将代入②得， 因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数， 所以， 又，所以，得， 又， 所以点列的特征方程为，特征根为和. 【点睛】关键点点睛：理解特征方程和特征根的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ） A. 127 B. 136 C. 133 D. 138 4. 若函数的定义域分别为，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 5. 若直线与圆的两个交点为，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（ ） A. 立方分米 B. 立方分米 C. 7立方分米 D. 立方分米 8. 当，且有且只有一个为0时，，则（ ） A. 既无最大值，也无最小值 B. 的最大值为4，最小值为2 C. 的最大值为无最小值 D. 的最小值为无最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则以下等式可能成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 点的纵坐标之积与有关 D. 若（为坐标原点），则 11. 在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为3 C. D. 点在半径为的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆的离心率为，则______，______． 13. 在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为______，此时的周长为______． 14. 如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）求的单调区间； （2）比较与的大小； （3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 16. 如图，在中，，，，，将沿折起得到四棱锥，且平面平面. （1）证明：四棱锥的高为. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响． （1）求甲同学初赛被淘汰的概率； （2）已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且． （1）求 的渐近线方程． （2）点为 的左支上一点，且．分别为 的左、右顶点，过点的直线交 的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点． ①求直线的方程； ②证明：点到直线的距离为定值． 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． （1）求点的坐标； （2）设，求数列的前项和； （3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $