第04讲 空间直线、平面的垂直 (含新定义解答题）(分层精练）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第04讲 空间直线、平面的垂直 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·开学考试）已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（    ） A．若∥，，，则∥ B．若，，，则 C．若，，则∥ D．若，，∥，则∥ 2．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知空间中两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在正方体中，二面角的平面角等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川乐山·期中）已知直线平面，直线平面，有以下四个命题： ；②；③；④； 其中正确的命题是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 5．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）四边形与均是边长为4的正方形，如果二面角的大小为，那么与平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（23-24高一下·重庆·期末）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A．B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，下列四个命题中不正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，且，则 C．若，，，，则 D．若，，则 三、填空题 10．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）正方体中，二面角的正切值为 . 四、解答题 11．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 12．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）如图，已知平面，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． B能力提升 1．（2024高二上·新疆·）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 2．（24-25高三上·四川成都·开学考试）如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．    (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角大小的余弦值． C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高一下·山东济南·期末）给定三棱锥，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，称为的阶等距集. (1)若为三棱锥，满足，，求出的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）； (2)如图所示，是棱长为的正四面体.    （ⅰ）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能取值以及相对应的的个数； （ⅱ）已知是的4阶等距平面，点与点，，分别位于两侧.是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求出截所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间直线、平面的垂直 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·开学考试）已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（    ） A．若∥，，，则∥ B．若，，，则 C．若，，则∥ D．若，，∥，则∥ 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】对于A，由题意可得m，n可能平行，也可能异面，即可判断；对于B，由题意可得能有，也可能有∥，也可能平面，相交，即可判断；对于C，由题意可得有可能是∥，也可能，即可判断；对于D，根据线面平行的性质定理即可判断. 【详解】解：对于A，若∥，，，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，，则可能有，也可能有∥，也可能平面，相交，故B错误； 对于C，若，，则有可能是∥，也可能，故C错误， 对于D，根据线面平行的性质定理可知若，，∥，则∥，故D正确， 故选：D. 2．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知空间中两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】判断线面是否垂直、证明线面平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，若，则，C错误；D选项，由线面平行的判定定理得到D正确. 【详解】对于A选项，若， 当平行时，平行或者相交，A错误； 对于B选项，若，则或相交，但不一定垂直，B错误； 对于C选项，若，则，C错误； 对于D选项，由直线与平面平行的判定定理知，D正确． 故选：D． 3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在正方体中，二面角的平面角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二面角 【分析】结合正方体的结构特征，作出二面角的平面角，即，直接求解即可． 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是45°． 故选：B． 4．（23-24高二上·四川乐山·期中）已知直线平面，直线平面，有以下四个命题： ；②；③；④； 其中正确的命题是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由线面、面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】①∵，且，则，而，∴，正确； ②若，则与可能平行，可能异面或相交，错误； ③若，则，又，可推出，正确； ④若，则与平面可能相交或平行，错误． 故正确的命题为①③． 故选:D． 5．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）四边形与均是边长为4的正方形，如果二面角的大小为，那么与平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据二面角的定义可知 为二面角的平面角，再根据题意求解与平面的距离. 【详解】由题可知，平面平面 所以为二面角的平面角 所以 , 因为、平面 所以平面 因为平面 所以平面平面 如图，过 作 平面 于 点, 则 必在 上. 由 平面 , 知 为 与平面 的距离 在直角三角形中， 故选：A 6．（23-24高一下·重庆·期末）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断线面是否垂直 【分析】因为体对角线与对角面垂直，只需找到与对角面平行的答案即可. 【详解】 设下底面端点，及上底面对应端点，如图所示， 连接,和，由三垂线定理知，且， 又因为,面，面， 所以面. 对于C，因为，,，所以面//面， 所以平面DEF. A、B、D选项中面与面均不平行. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求线面角 【分析】利用线面角的定义找到直线与平面所成的角为，找到角即可求出余弦值. 【详解】连接，如图所示， 为正方体，易得平面， 为直线与平面所成的角， 令，由正方体知识可得， . 故选：D. 8．（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得即为二面角的平面角，即可利用三角形边角关系求解. 【详解】由以及可得故, 进而可得,不妨设, 取中点，连接, 故,故即为二面角的平面角， 由于平面， 故平面，平面，故, 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，下列四个命题中不正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，且，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、证明面面平行、判断线面是否垂直 【分析】由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，由，，，当时，则有，故A错误； 对于B，因，，则，又，则，故B正确； 对于C，当时，因，，若时，必有，，即满足条件但得不到，故C错误； 对于D，由，，若，则得不到，故D错误. 故选：ACD. 三、填空题 10．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）正方体中，二面角的正切值为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】连接与相交于点，根据正方体性质、等腰三角形的性质可以确定 ，进而特集团二面角的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系中的平方和关系和商关系进行求解即可. 【详解】连接与相交于点，连接，设正方体的棱长为，   ，，为中点， ， 为二面角的平面角， ，，， ， ， ， 二面角的正切值为 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）连结，交于，连结，证明，由线线平行即可推得线面平行； （2）方法一：先证平面，过点作于点，过点作于点，连结，证明是二面角的平面角，借助于直角三角形分别求出和，即可求得；方法二：以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系，依题求出相关点和向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 如图，连结，交于，连结. 在三棱柱中，侧面是平行四边形，故是的中点， 又因是的中点，则得. 因平面平面，故得平面. （2）因侧面均为正方形，则. 又因平面，故平面. （方法一）三棱柱是直三棱柱，侧面底面. 过点作于点，过点作于点，连结. 因为平面，平面平面， 所以平面，又因平面，则, 因.则平面， 因平面，故. 即是二面角的平面角. 因为侧面均为正方形，， 所以，所以,. 在直角中，， 故， 在直角中，，故. 即二面角的余弦值为. 12．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）如图，已知平面，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而平面，再由中位线得到，得到平面，证明出面面平行，得到线面平行； （2）由平面，得到平面平面，由三线合一得到，从而得到线面垂直； （3）由（1）得，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由线面垂直得到即为直线与平面所成角，结合勾股定理求出各边长，得到，求出，得到答案. 【详解】（1）取中点，连接，，，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面平面， 所以平面， （3）由（1）得四边形为平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， 因为平面，所以即为直线与平面所成角， 因为点为的中点，， 所以， 所以，由，所以， 所以直线与平面所成角为． B能力提升 1．（2024高二上·新疆·）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2)直线与平面所成的角为. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）先证明，，再证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）连接交与点，证明为直线与平面所成的角，解三角形求其大小. 【详解】（1）连接， 由正方体性质可得，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接交与点， 因为四边形为正方形，所以， 由已知平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在中，，，， 所以，又， 所以. 所以直线与平面所成的角为. 2．（24-25高三上·四川成都·开学考试）如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．    (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的三线合一，结合线面垂直的判定得出平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）在平面内过作于，则平面，连接，得出是直线与平面所成的角，求出，进而得出，根据四棱锥的体积公式求解即可； （3）由勾股定理逆定理得出和，取的中点，连接，得出是二面角的平面角，结合余弦定理即可求解． 【详解】（1）令，连接， 由是菱形，，得都是正三角形， 则，而， 又平面，所以平面， 又平面，则平面平面． （2）在平面内过作于，由平面平面，结合（1）， 因此平面，连接，则是直线与平面所成的角， 在正中，， ，则， 于是， 所以四棱锥的体积为． （3）在中，， 所以，显然，则有同理， 取的中点，连接，则， 因为，所以是二面角的平面角， 因为， 所以， 所以二面角大小的余弦值是．    C综合素养（新定义解答题） 1．（23-24高一下·山东济南·期末）给定三棱锥，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，称为的阶等距集. (1)若为三棱锥，满足，，求出的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）； (2)如图所示，是棱长为的正四面体.    （ⅰ）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能取值以及相对应的的个数； （ⅱ）已知是的4阶等距平面，点与点，，分别位于两侧.是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求出截所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)1（答案不唯一） (2)（ⅰ）当的值为时,有4个;当的值为时,有3个（ⅱ）存在,截所得的平面多边形的最大边长为 【知识点】棱锥中截面的有关计算、证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）分三种情形讨论求解：情形一：分别取，，的中点，，，可证明平面为的一个1阶等距平面；情形二：取，，，的中点，可证明平面为的一个1阶等距平面，情形三：取，，，的中点，可证明平面为的一个1阶等距平面. （2）（ⅰ）可分两种情形讨论：情形一：取，，的中点，，，可说明平面为的一个1阶等距平面，情形二：取的中点，，，，由正四面体的性质也可得解； （ⅱ）找到满足题意的的4阶等距平面，即在线段上分别取一点，，，使得，结合解三角形知识即可求解. 【详解】（1）情形一：分别取，，的中点，，， 由中位线性质可知，此时平面为的一个1阶等距平面，    则所求截面面积为等腰三角形的面积，等于. 情形二：分别取，，，的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 取中点，连接，，由， 又，平面， 可知直线平面，平面， 则，则，故四边形是边长为1的正方形， 则所求截面面积为正方形的面积等于1.    情形三：分别取，，，的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面. 设， 则， 三式相加可得，故. 则. 在等腰三角形中，， 则等腰三角形的面积为. 则所求截面面积为菱形的面积， 等于等腰三角形的面积的两倍，为.    所以本题答案可以为中的任意一个. （2）(i)情形一：分别取，，的中点，，， 由中位线性质可知，此时平面为的一个1阶等距平面，   为正四面体高的一半， 等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况： 情形二：分别取的中点，，，， 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，    这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. (ii)存在，截所得的平面多边形的最大边长为. 在线段上分别取一点，，， 使得， 则平面为满足题意的的4阶等距平面， 故. 又， 由余弦定理可得， ， ， 因为， 故截所得的平面多边形的最大边长为.    学科网（北京）股份有限公司 $$