精品解析：四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

雄才学校半期考试九年级数学试题 （第一至三章） 考试时间：120分钟满分150分 一、选择题（每小题2分，共40分） 1. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示所有等可能的结果是解题关键．设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，再列出表格表示所有等可能的结果，最后找出符合她们恰好选到同一类岗位的结果，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C， 依题意可列表格如下， 小霞 小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种， ∴她们恰好选到同一类岗位的概率是． 故选B． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 3. 在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（ ） A. ，，则四边形是平行四边形 B. ，且，则四边形是菱形 C. ，则四边形是矩形 D. 且，则四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关判定定理． 【详解】解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意； B、∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； C、∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即：， ∴平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形，此选项正确，不符合题意； 故选：． 4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作轴，于点E，根据勾股定理求出，根据正方形的性质得，然后说明，再根据“角角边”证明，可得，进而得出答案． 【详解】解：过点D作轴，于点E， 根据勾股定理，得． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，构造全等三角形是解题的关键． 6. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．把代入方程即可求解． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法，将方程变形为两数乘积等于常数的形式，构造大正方形，使其面积等于四个矩形面积与中间小正方形的面积之和，据此分析各选项即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 故选：C． 10. 如图，正方形的边长为，在正方形外，，过作于，直线，交于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用等腰三角形的性质即可证明．②根据DA=DC=DE，利用圆周角定理可知∠AEC=∠ADC=45°，即可解决问题．③如图，作DF⊥DM交PM于F，证明△ADM≌△CDF（SAS）即可解决问题．④解直角三角形求出CE=EF=可得结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=DC,∠ADC=90°， ∵DC=DE， ∴DA=DE， ∴∠DAE=∠DEA，故①正确， ∵DA=DC=DE， ∴∠AEC=∠ADC=45°(圆周角定理)， ∵DM⊥AE， ∴∠EHM=90°， ∴∠DMC=45°，故②正确， 如图，作DF⊥DM交PM于F， ∵∠ADC=∠MDF=90°， ∴∠ADM=∠CDF， ∵∠DMF=45°， ∴∠DMF=∠DFM=45°， ∴DM=DF，∵DA=DC， ∴△ADM≌△CDF(SAS)， ∴AM=CF， ∴AM+CM=CF+CM=MF=DM， ∴=，故③正确， 若MH=2,则易知AH=MH=HE=2,AM=EM=2， 在Rt△ADH中, ， ∴DM=3,AM+CM=3， ∴CM=CE=， ∴S△DCM=S△DCE，故④错误， 故选C. 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的判定性质、勾股定理，解题关键在于作辅助线. 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是______精确到 【答案】0.75 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率． 【详解】解：摸到白球的频率约为， 当n很大时，估计摸到白球的概率是 故答案为： 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知矩形的长为，宽为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称．根据中心对称的性质可知，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积， 再根据中心对称的性质得： 图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半， 则图中阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，年的产量为20万斤，这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意分别得到这三年的产量，这三年的总产量为95万斤，据此列方程即可． 【详解】解：根据题意可得， 年的产量为20万斤， 年的产量为万斤， 年的产量为万斤， ∵这三年的总产量为95万斤， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题．过点E作于点，取的中点，连接，，根据证明，可得，所以再证明，然后根据直角三角形性质可得，当共线时，有最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 当共线时，有最小值， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法． （1）先求得的值，再利用公式法求解即可． （2）方程的左边可以利用平方差公式分解因式，则方程可以变形成左边是两个一次式的乘积，右边是0的形式，依据两个式子的乘积是0，则每个式子中至少有一个是0，即可转化成两个一元一次方程，从而求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 即，； 【小问2详解】 解：∵． ∴ ∴，， ∴方程的解是：，． 17. 如图，与是的高，是的中点，连接、．与是否相等？请说明理由． 【答案】 相等． 理由：∵与是的高， ∴， ∴和都是且是斜边， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形斜边中线的性质，根据三角形高的定义可得和都是，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得证．解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：略． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵． 即， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根； （2）用根与系数的关系列式求得的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 利用根与系数的关系得：， 解得：． 19. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形； 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】略 20. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 295 a 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格，其中_____，_____； （2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1） （3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°； （4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1），； （2）；； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率和用树状图或列表法求概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是； （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角； （4）画出树状图，用题意的情况数除以总的情况数即可． 【小问1详解】 解： 由题意可得，； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 【小问4详解】 解：树状图如下： 共有9中等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种， 故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为． 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为． （1）当t为何值时，的长为？ （2）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． （1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：当点Q移动到点C时，， 当点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动到点B需要的时间是：, ∴， 由题意得： ∴ 在中，由勾股定理得： ，解得： ∵ ∴当时，； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：（不合题意，舍去） ∴当，使得的面积为 22. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； （2）点B的实际意义是什么？ （3）求y与x之间的关系式； （4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 【答案】（1） （2）当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； （3） （4）①， ②乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）计算当时，，即可得到前期投入的资金数量； （2）根据B的坐标含义可得B表示的实际意义； （3）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可， （4）①先分别求解两种方案下的函数解析式； ②令，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 【小问4详解】 解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元， ∴函数关系式为：， 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， ∴函数关系式为：， ②令，则， 解得：， ∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等． 23. 如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； （3）连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 【答案】（1） 证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，由（1）可得：四边形是菱形，得出，，进而得出，由相似三角形的性质可得，推出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，是边上的中线， ∴， 由（1）可得：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： （1）求的最小值； （2）若，，比较、的大小（写出比较过程）； （3）若三角形中某两边、满足，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【小问1详解】 解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是的中点，连接并延长到点F，使得． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若，，求 【答案】（1） 四边形的形状为矩形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，对角线分别平分一组对角， ∴． 由菱形的性质可知O为的中点， 又∵E为中点， 故为的中位线， ∴，． ∵， 又， ∴． ∴， ∴． 故四边形为平行四边形． ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， 故四边形为矩形（对角线相等且互相平分的四边形为矩形）． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形为菱形可知O为的中点，又E为中点，故为的中位线．先证明四边形为平行四边形，再证明，又，从而得到四边形的对角线相等且互相平分证明为矩形； （2）先证明．得比例式，即，解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，设相交于点G， 由（1）中可知，． 又∵， 即． ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雄才学校半期考试九年级数学试题 （第一至三章） 考试时间：120分钟满分150分 一、选择题（每小题2分，共40分） 1. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（ ） A. ，，则四边形是平行四边形 B. ，且，则四边形是菱形 C. ，则四边形是矩形 D. 且，则四边形是正方形 4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，在正方形外，，过作于，直线，交于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是______精确到 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13. 如图，已知矩形的长为，宽为，则图中阴影部分的面积为________． 14. 由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，年的产量为20万斤，这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ____________________． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17. 如图，与是的高，是的中点，连接、．与是否相等？请说明理由． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m的值． 19. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形； 20. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 295 a 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格，其中_____，_____； （2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1） （3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°； （4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为． （1）当t为何值时，的长为？ （2）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； （2）点B的实际意义是什么？ （3）求y与x之间的关系式； （4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 23. 如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； （3）连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 24. 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： （1）求的最小值； （2）若，，比较、的大小（写出比较过程）； （3）若三角形中某两边、满足，求． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是的中点，连接并延长到点F，使得． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若，，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $