专题05 平面图形的认识（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版2024）

专题05 平面图形的认识 【考点01：直线、射线与线段的相关概念】 【考点02：作图-直线射线和线段】 【考点03：线段的有关计算】 【考点04：钟面角】 【考点05：方位角】 【考点06：度分秒换算】 【考点07：角平分线的概念有关运算】 【考点08：三角板的有关运算】 【考点09：余角和补角概念及及性质】 【考点10：相交线的相关概念】 【考点11：平行线的性质运用】 【考点12：平行线的判定与性质综合】 【考点13：多边形的性质及有关运算】 知识点1：直线、射线与线段的概念 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识点3： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点4：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点5： 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点6： 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 知识点7：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点8：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 知识点9： 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点10：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 知识点11：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B 知识点12：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点13：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点14：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点15：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点15：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点16：多边形的相关概念 1.多边形的定义 （1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 3. 截角问题：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【考点01：直线、射线与线段的相关概念】 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．点O在射线上 B．线段和线段是同一条线段 C．直线比直线长 D．射线和射线是同一条射线 2．下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点都在线段上，则图中共有线段（　　）条． A． B． C． D． 4．小王准备从地去往地：如图，导航提供的三条可选路线长分别为、、；但实际、两地之间的距离为．这说明“导航提供的三条路线长度都大于”，可以解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 5．“植树时定出两棵树的位置后就确定了同一行树所在的直线”应用的数学理 ． 6．如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B． (1)车站要准备车票，一共要准备 种车票． (2)现在准备在其中一个车站处建加油站，使这五个车站各站到此加油站的总路程最短，加油站应建在 处． (3)如果公路的路程为80千米，M，N分别是的中点，求路段的长度． 【考点02：作图-直线射线和线段】 7．如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 8．已知平面内有A，B，C三点． (1)按下列要求画图： ①作射线，线段；②延长到D，使，点E是的中点，点F是的中点； (2)在（1）的条件下，若，求的长 【考点03：线段的有关计算】 9．在直线l上顺次取三点A、B、C，使线段，，则线段的长为（   ） A． B．或 C． D． 10．已知线段的长为12，M为线段的中点，若C点将线段分成，则线段的长为 ． 11．若点A，B，C在同一条直线上，线段，线段则线段的长是 ． 12．如图，已知B、C两点把线段分成三部分，是的中点，若．求线段的长． 13．如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 14．如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 15．已知点在线段上，，，点，在线段上，点在点的左侧，点在点的右侧，，线段在线段上移动． (1)如图①，当为的中点时，求的长； (2)如图②，当时，求的长． 【考点04：钟面角】 16．钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 17．生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点表示，表盘与线段交于点、，为表盘圆心． (1)若为，，是中点，则手表全长______． (2)表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①______度； ②作射线，使，求此时的度数． 【考点05：方位角】 18．如图，甲、乙两人同时从地出发，甲沿东北方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（    ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 19．如图，射线表示东南方向，射线表示北偏西方向，则的大小为 度． 【考点06：度分秒换算】 20．若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 21．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ＇ ＇＇． 【考点07：角平分线的概念有关运算】 22．如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 23．如图，直线和交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 24．如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求： (1)的度数； (2)求的度数． 25．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【考点08：三角板的有关运算】 26．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 27．如图，一副三角板叠放起来，若的余角为，则的补角为（   ） A． B． C． D． 28．如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 29．如图①，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边上．已知，，，作的平分线交边于点E． (1)求的度数； (2)如图②，若点C不落在边上，当时，求的度数． 【考点09：余角和补角概念及及性质】 30．若和互余，与互余，，则等于（    ） A． B． C． D． 31．已知，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．若与互补，，则 ． 33．若一个角的补角为，则这个角等于 ． 34．一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． 【考点10：相交线的相关概念】 35．如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 36．如图，下列说法错误的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 37．如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 38．如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【考点11：平行线的性质运用】 39．如图，，分别与，相交，若，则β的度数为（   ） A． B． C． D． 40．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 41．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 42．如图，生活中一种常见的折叠拦道闸抽象成几何图形后，垂直地面于点A，平行于地面，若，则的大小为 度． 43．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为 ． 【考点12：平行线的判定与性质综合】 44．将下列证明过程补充完整 如图，在三角形中，于点 D，于G，， 求证： 证明： ∵，（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) ∴ ( ) ∵（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) 45．如图，已知，射线平分交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 46．如图，在四边形中，于点E，点F在上，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 47．如图，直线分别与直线，交于点，，．作，的平分线分别交，于点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【考点13：多边形的性质及有关运算】 48．正二十边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 49．一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 50．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 一、单选题 1．如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（   ） A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 3．关于图中的点和线，下列说法错误的是（　　） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 4．已知点O在直线上，且，点E，F分别是的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 5．如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 6．比较大小： （用“>”“<”“=”填空）． 7．时钟上的分针匀速旋转一周需要，则经过，分针旋转了 ． 8．如图，直线相交于点O，，，平分，，则的度数为 ． 三、解答题 9．如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 10．如图C是线段上一点，B为线段的中点，且，． (1)求的长； (2)若点E在线段上，，求的长． 11．两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面图形的认识 【考点01：直线、射线与线段的相关概念】 【考点02：作图-直线射线和线段】 【考点03：线段的有关计算】 【考点04：钟面角】 【考点05：方位角】 【考点06：度分秒换算】 【考点07：角平分线的概念有关运算】 【考点08：三角板的有关运算】 【考点09：余角和补角概念及及性质】 【考点10：相交线的相关概念】 【考点11：平行线的性质运用】 【考点12：平行线的判定与性质综合】 【考点13：多边形的性质及有关运算】 知识点1：直线、射线与线段的概念 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识点3： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点4：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点5： 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点6： 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 知识点7：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点8：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 知识点9： 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点10：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 知识点11：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B 知识点12：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点13：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点14：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点15：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点15：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点16：多边形的相关概念 1.多边形的定义 （1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 3. 截角问题：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【考点01：直线、射线与线段的相关概念】 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．点O在射线上 B．线段和线段是同一条线段 C．直线比直线长 D．射线和射线是同一条射线 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的相关概念，根据直线、射线、线段的相关概念逐项分析即可得出答案，熟练掌握直线、射线、线段的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：A、点O在射线上，故原说法错误，不符合题意； B、线段和线段是同一条线段，故原说法正确，符合题意； C、直线能向两端无限延伸，不能比较长短，故原说法错误，不符合题意； D、射线和射线不是同一条射线，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的区别；线段有两个端点且可以被度量；射线只有一个端点向一个方向无限延伸不可以被度量；直线没有端点向两个方向无限延伸不可以被度量．根据线段和射线的特征判定即可． 【详解】解：A选项表示直线和射线；不符合题意； B选项表示射线和线段；符合题意； C选项表示线段和射线；不符合题意； D选项表示线段和射线；不符合题意． 故选：B． 3．如图，点都在线段上，则图中共有线段（　　）条． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了线段，根据线段的定义，数出图中的线段即可求解，掌握线段的定义是解题的关键． 【解答】解：图中有线段：，共条， 故选：． 4．小王准备从地去往地：如图，导航提供的三条可选路线长分别为、、；但实际、两地之间的距离为．这说明“导航提供的三条路线长度都大于”，可以解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键． 根据线段的性质：两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：“导航提供的三条路线长度都大于”这一现象的数学知识是“两点之间，线段最短”． 故选：A． 5．“植树时定出两棵树的位置后就确定了同一行树所在的直线”应用的数学理 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是“两点确定一条直线”在实际生活中的运用，根据公理“两点确定一条直线”，解答即可． 【详解】解：因为两点确定一条直线， 所以只要定出两棵树的位置，这条直线就确定了，能使同一行的树在同一条直线上． 故答案为：两点确定一条直线． 6．如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B． (1)车站要准备车票，一共要准备 种车票． (2)现在准备在其中一个车站处建加油站，使这五个车站各站到此加油站的总路程最短，加油站应建在 处． (3)如果公路的路程为80千米，M，N分别是的中点，求路段的长度． 【答案】(1)20 (2)C (3)40千米 【分析】本题考查了直线、线段以及距离的计算，熟练掌握线段的和差是解答本题的关键． （1）计算有多少条线段即可； （2）分别计算出各点的距离之和进行比较即可； （3）利用线段的和差倍分计算出即可． 【详解】（1）解：（种）． 故答案为：20； （2）①建在A处，， ②建在M处，， ③建在C处，， ④建在B处，， ∴最短， ∴建在C处． 故答案为：C； （3）解：∵M，N分别是的中点， ∴， ∴（千米）． 【考点02：作图-直线射线和线段】 7．如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图． (1)连接；作射线；作直线与射线交于点； (2)观察图形发现，线段与线段的数量关系是 （填、或），得出这个结论的理由是： ． 【答案】(1)见解析 (2)；两点之间线段最短 【分析】本题考查了画线段、直线、射线；两点之间线段最短，掌握线段、射线、直线的特点是解题的关键． （1）根据线段、直线和射线的定义即可画出图形； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，线段、射线、直线，即为所求； （2）解：根据两点之间线段最短得． 故答案为：，两点之间线段最短． 8．已知平面内有A，B，C三点． (1)按下列要求画图： ①作射线，线段；②延长到D，使，点E是的中点，点F是的中点； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】本题考查了射线、线段、线段中点的有关计算，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）①根据射线、线段的定义画图即可； ②延长，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点D，再分别作线段，的中点E，； （2）由中点的定义可得，，再根据线段和差计算，即得答案． 【详解】（1）解：①如图，射线，线段即为所求； ②如图，线段，点即为所求； （2）解：点E是的中点，点F是的中点， ，， ， ， ． 【考点03：线段的有关计算】 9．在直线l上顺次取三点A、B、C，使线段，，则线段的长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点A、B、C，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】∵在直线l上顺次取三点A、B、C， ， ，， ， 故选: D． 10．已知线段的长为12，M为线段的中点，若C点将线段分成，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了两点间的距离，由已知条件知，根据，得出，的长，故可求． 【详解】解：∵长度为12的线段的中点为M， ∴， ∵C点将线段分成， ∴，， ∴． 故答案为：8． 11．若点A，B，C在同一条直线上，线段，线段则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差关系，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分点C在线段的延长线上和点C在线段上两种情况，利用线段的和差关系求解． 【详解】解：当点C在线段的延长线上时， ； 当点C在线段上时， ， 故答案为：或． 12．如图，已知B、C两点把线段分成三部分，是的中点，若．求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，最后根据得出答案． 【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以, 因为， 所以， 解得：， 所以． 13．如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）首先根据求出. 求出长，然后根据 解题即可； （2）利用中点分别求出 再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵线段 ， ； （2）解：∵是的中点, 是的中点, ，， ． 14．如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)15 (2)9 【分析】本题主要考查线段和线段的中点，掌握线段和差计算，数形结合分析方法是解题关键． （1）根据，可求得，据此即可求得答案； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 15．已知点在线段上，，，点，在线段上，点在点的左侧，点在点的右侧，，线段在线段上移动． (1)如图①，当为的中点时，求的长； (2)如图②，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握各线段之间的和、差及倍数之间的关系是解答关键． （1）根据已知求出的长度，再利用线段和差求解； （2）根据已知求出的长度，进而求出的长度，再利用等式的性质求解． 【详解】（1）解：， ． 为的中点， ． ， ． （2）解：由（1）得，，， 又， ． ， ， ． 【考点04：钟面角】 16．钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角． （1）根据1小时分解答即可； （2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解； （4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动， 故答案为：；6； （2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为， 故答案为：①或；②； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4， 则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵， ∴， 故答案为：； （4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得， ， 解得，， ∴这一时刻是2点分， 故答案为：2点分； 时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有： 或， 解得：或， ∵时为3点整，不合题意，舍去， ∴此时对应的时刻是2点分； ②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时： ， 解得：； 为和角平分线时： ， 解得：； 为时针，为分针，平分时： ，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分． 17．生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点表示，表盘与线段交于点、，为表盘圆心． (1)若为，，是中点，则手表全长______． (2)表盘上的点对应数字“12”，点对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①______度； ②作射线，使，求此时的度数． 【答案】(1) (2)①；②在内部时，，在外部时 【分析】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． （1）利用中点和，求出和，求和即可得； （2）①利用分针和时针每分钟走过得角度即可计算；②分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：是中点． ； ； ； ； ； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走的路程为， ， 故答案为：； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 【考点05：方位角】 18．如图，甲、乙两人同时从地出发，甲沿东北方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（    ） A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角的计算，根据题意得到，根据平角再求出，则此时乙位于地的南偏东． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴此时乙位于地的南偏东， 故选：A． 19．如图，射线表示东南方向，射线表示北偏西方向，则的大小为 度． 【答案】165 【分析】本题考查了方向角的定义，根据方向角的定义与性质可得答案． 【详解】解：由图可知，， 故答案为：165． 【考点06：度分秒换算】 20．若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算和角度的比较大小，先统一单位，然后比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 21．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ＇ ＇＇． 【答案】 / 【分析】本题考查角度的互化，根据，化简即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， 故答案为：，，，、、． 【考点07：角平分线的概念有关运算】 22．如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 【答案】40 【分析】本题考查了角度直角的和差关系，角平分线，先求出，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40． 23．如图，直线和交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线有关的计算问题，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）根据直接求解即可． （2）利用求出，再运用平分得到，最后利用计算即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以； （2）因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 24．如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求： (1)的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算角平分线的有关计算． （1）直接根据计算即可； （2）根据题意，由角平分线定义得出，，由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵平分，平分，，， ∴， ∴ ． 25．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为19或29； (4)的值为15或20或30． 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 【考点08：三角板的有关运算】 26．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中，第三个图形和互补． 【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形， 根据等角的补角相等可得第二个图形， 第三个图形，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形， 因此的图形个数共有3个， 故选：C． 27．如图，一副三角板叠放起来，若的余角为，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角的和差运算，余角的含义，先求解，再求解及的补角即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴的余角为， ∴的补角为． 故选：D 28．如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了角的定义和角的比较与计算，解题的关键掌握三角板的角度计算． （1）根据角的定义写出即可； （2）根据三角板的特征知，则写出即可； （3）根据求出，代入求出即可； （4）求出，代入求出即可． 【详解】（1）图中所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，，． （2）图中相等的角有，， 故答案为：，； （3）解； ∵，， ∴， ∵， ∴． （4），理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 29．如图①，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边上．已知，，，作的平分线交边于点E． (1)求的度数； (2)如图②，若点C不落在边上，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差． （1）根据角平分线的定义可求出的度数，根据角的和差关系即可求出的度数； （2）根据角的和差关系可求出的度数，根据角平分线的定义可求出的度数，进而根据角的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【考点09：余角和补角概念及及性质】 30．若和互余，与互余，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同角的余角相等，理解性质即可解答． 【详解】解：∵与互余，与互余， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 31．已知，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角的计算，解答的关键是熟记余角定义． 由余角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵，与互余， ∴， 故选∶A． 32．若与互补，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了与补角有关的计算，根据度数之和为180度的两个角互补求出的度数． 【详解】解：∵与互补，， ∴， 故答案为：． 33．若一个角的补角为，则这个角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，角度的计算，掌握是解题关键．根据补角的定义计算角度即可． 【详解】解：若一个角的补角为，则这个角等于， 故答案为：． 34．一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】本题主要考查余角、补角的计算，一元一次方程的运用，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． 根据题意，设这个角的度数为，则余角为，补角为，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设这个角的度数为，则余角为，补角为， ∴， 解得，， ∴这个角的度数为． 【考点10：相交线的相关概念】 35．如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角相等可得：，又因为，可以求出，根据邻补角定义可得：，所以可得：． 【详解】解：，， ， 又， ， 故选：A． 36．如图，下列说法错误的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【详解】A．与是同旁内角，说法正确，不符合题意； B．与是内错角，说法正确，不符合题意； C．与不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误，符合题意； D．与是同位角，说法正确，不符合题意． 故选：C． 37．如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 38．如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可． 本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选C． 【考点11：平行线的性质运用】 39．如图，，分别与，相交，若，则β的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的对顶角为，根据题意，得，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设的对顶角为，根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 40．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 41．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 42．如图，生活中一种常见的折叠拦道闸抽象成几何图形后，垂直地面于点A，平行于地面，若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】过点B作，由于垂直于地面，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，再求即可． 本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 【详解】解：∵垂直于地面， ∴， 过点B作， ∵平行于地面， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 43．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由题意可求得的度数，再由平行线的性质可求得的度数，据此根据角的和差关系肯定答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 【考点12：平行线的判定与性质综合】 44．将下列证明过程补充完整 如图，在三角形中，于点 D，于G，， 求证： 证明： ∵，（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) ∴ ( ) ∵（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) 【答案】；垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，由已知条件可得出，根据同位角相等，两直线平行得出，再根据平行线的性质得出，，等量代换即可得出答案． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 故答案为：；垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 45．如图，已知，射线平分交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质； （1）根据对顶角性质、平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可． 【详解】（1），理由如下： 且， ， ， （2）且， ， ， 射线平分， ， 由（1）可知，， ， ． 46．如图，在四边形中，于点E，点F在上，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）先证明，进而得到，推出，即可得证； （2）根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，再根据角的和差关系进行求解即可。 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知：，， ∴。 47．如图，直线分别与直线，交于点，，．作，的平分线分别交，于点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行的判定及性质的知识．用到的知识点是对顶角相等，两直线平行，内错角相等，同位角相等的知识，理解平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用对顶角相等和即可证明，即有，再根据平分，平分，可得，可证得； （2）利用、的结论，可证得，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点13：多边形的性质及有关运算】 48．正二十边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和定理即可求解，熟记多边形外角和为是解题的关键． 【详解】解：正二十边形的外角和的度数为， 故选：D． 49．一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】此题主要考查了多边形的对角线：n边形过一个顶点有条对角线，它们把n边形分割成了个三角形．据此列式计算即可求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则，， 故多边形是八边形． 故选：C． 50．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 一、单选题 1．如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等即可得到． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（   ） A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】本题考查了方向角的定义，平行线的性质，根据题意可得：，，然后利用平行线的性质可得，从而根据方向角的定义即可得出答案，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， ∴淇淇家位于西柏坡的此偏东方向， 故选：D． 3．关于图中的点和线，下列说法错误的是（　　） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了点与直线，线段的相关概念，准确识图，熟练掌握点与直线，线段的相关概念是解决问题的关键． 结合图形对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知： A、点在直线上正确，故该选项正确，不符合题意； B、点在线段上正确，故该选项正确，不符合题意； C、点在射线上正确，故该选项正确，不符合题意； D、点在线段上不正确，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 4．已知点O在直线上，且，点E，F分别是的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题考查线段中点的定义及线段长的求法．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．根据题意，画出图形，此题分两种情况：点O在点A和点B之间；点O在点A和点B外，即可求解． 【详解】解：如图，（1）点O在点A和点B之间，如图①， ∵，点E，F分别是的中点， 则； （2）点O在点A和点B外，如图②，   则 故选：C． 二、填空题 5．如图，线段，延长线段到，使，再反向延长到，使，是的中点，是的中点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，理解题意，弄清题中各条线段之间的和差关系是解题的关键． 依据已知条件及题中各条线段之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：是的中点，是的中点， ， ， ， 故答案为：． 6．比较大小： （用“>”“<”“=”填空）． 【答案】 【分析】本题考查的是角度的单位互化，角度的大小比较，由，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 7．时钟上的分针匀速旋转一周需要，则经过，分针旋转了 ． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，钟表的分针匀速旋转一周需要，分针旋转了；求经过，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可． 【详解】解：根据题意得，分针旋转了：． 故答案为：． 8．如图，直线相交于点O，，，平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，设，根据角平分线的定义结合已知条件，得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则：， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 9．如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 10．如图C是线段上一点，B为线段的中点，且，． (1)求的长； (2)若点E在线段上，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义． （1）根据线段中点的性质，可求出的长，根据线段的和差，可得的长； （2）根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵点B为的中点， ∴， 由线段的和差，得 ， 故：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 11．两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 【答案】(1) (2) (3)为定值，这个定值为 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，角平分线的定义，理解图示中角度的关系，掌握角度之间的数量关系，角度的和差计算方法是解题的关键． （1）根据题意可得，，由平角的性质可得，由此即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，设，则，，由此可得，根据，即可求解； （3）根据可以得可得，运动的速度差为秒，，用含的式子分别表示出，再根据题意计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则，， ∴，整理得，， ∵， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 由（1）可得，， ∵三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，设运动时间为秒， ∴速度差为秒，， ∴，， ∴， ∴为定值，这个定值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$