专题05 一元一次方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版2024）

专题05 一元一次方程 【考点01 一元一次方程的定义】 【考点02 等式的性质】 【考点03 一元一次方程的解】 【考点04 解一元一次方程】 【考点05 同解方程】 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【考点07 一元一次方程之工程问题 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 【考点01 一元一次方程的定义】 1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 3．若是关于x的一元一次方程，则 ． 【考点02 等式的性质】 4．下列等式变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点03 一元一次方程的解】 8．若是关于的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 9．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 10．下列方程中，方程的解是的是（　　） A． B． C． D． 11．已知关于的方程的解是，则的值是（　　） A．10 B．4 C．3 D． 【考点04 解一元一次方程】 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程 (1) (2) 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【考点05 同解方程】 16．已知关于的方程和的解相同，求的值． 17．如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 18．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 19．若方程与方程的解相同，求代数式的值． 【考点06 一元一次方程之利润问题】 20．运用一元一次方程完成下题 某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？第一次获得的总利润为多少元？ (2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 21．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 22．今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划辆车都要装运．每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的车有辆，根据下面提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 每吨水果利润（元） (1)求这辆汽车共装运水果的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)为了促销，公司决定甲种水果每吨让利元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这辆汽车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求的值． 23．已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 【考点07 一元一次方程之工程问题 24．有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积； 25．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 26．哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 27．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时． (1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？ (2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？ 【考点08 一元一次方程之行程问题】 28．小陈同学原来每天步行上学，自从学校有了班车以后，他先以每小时4千米的速度步行全程的一半，再顺路搭上了速度为每小时20千米的班车，所以比原来全程步行早到了1小时．问：小陈同学的家离学校多少千米？ 29．在风速为的条件下，一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同一航线要用小时，求： (1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速； (2)两机场之间的航程． 30．某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的，两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区地，此时两车相距20千米，甲车在服务区地休息了20分钟，然后按原速度开往地；乙车行驶2小时10分钟时也经过地，未停留继续开往地． (1)求甲、乙两车行驶的速度分别是多少千米/小时： (2)乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 31．如果汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，正好在预定时间内到达．实际上汽车行驶了3小时后，速度减慢为30千米/小时，因此比预定时间迟到1小时．求甲乙两地的距离． 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 32．某品牌饮水机生产一种饮水机和饮水机桶，饮水机每台定价350元，饮水机桶每只定价50元，厂方开展促销活动期间，可以同时向客户提供两种优惠方案：（1）买一台饮水机送一只饮水机桶；（2）饮水机和饮水机桶都按定价的付款。现某客户到该饮水机厂购买饮水机30台，饮水机桶x只（x超过30）． (1)若该客户按方案（1）购买，求客户需付款（用含x的式子表示）； (2)若该客户按方案（2）购买，求客户需付款（用含x的式子表示）； (3)当时，哪一种促销方案更优惠？ 33．某红色基地门票价格规定如下表： 购票张数 1至50张 51至100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某校七（1）、七（2）两个班师生共101人去公园游玩，其中七（1）班师生人数较少，不足50人，七（2）班师生人数不超过100人，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1359元，问： (1)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少元？ (2)两个班各有多少师生？ (3)如果七（1）班单独组织去公园游玩，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 34．为贯彻落实“双减”政策，积极开拓校本研修课程，某校课外实践小组欲到植物园开展研修活动，植物园提供以下三种购票方式： 购买散票：每人一张20元； 当购票人数不小于100人时，可以选择购买优惠票或团队票； 购买优惠票：可以享受票价9折优惠； 购买团队票：一张团队票2400元，且入园时，每人还需付10元． (1)若有100名学生到植物园开展研修活动，你认为如何购票优惠？请计算说明； (2)当入园人数达到多少时，购买优惠票与购买团体票的价钱相同？ 35．为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作。 (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要400元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 若学校有75个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 A 9折 8.5折 每购100瓶消毒剂送1支测温枪 B 8折 8.5折 无 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 36．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 37．在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 38．如图，在一条不完整的数轴上，一动点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点． (1)若点表示的数为，求点，点表示的数； (2)如果点，表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)在（1）的条件之下，若小虫从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点相遇，点表示的数是多少？ (4)在（3）的条件之下，设两只小虫秒时在数轴上相距个单位，直接写出的值． 39．如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且a，b满足． (1)点A、B同时出发相向而行，点A的运动速度为2个单位每秒，在原点处相遇，求点B的运动速度； (2)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距5个单位长度； (3)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作相同方向运动，且在运动过程中，始终有，若干秒后，C点停留在处，求此时B点的位置． 1．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是（   ） A． B．6 C．1 D． 3．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 4．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 5．某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币？设这件衣服值枚银币，依据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 6．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 7．一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 8．开学在即，某校初二年级要进行分班．如果平均每班44人，还余10人；如果平均每班45人，还差2人．设这个学校初二年级有x个班，依据题意可列方程为 ． 9．已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 10．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 11．解方程： (1)； (2)． 12．某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 13．已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 14．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 15．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程 【考点01 一元一次方程的定义】 【考点02 等式的性质】 【考点03 一元一次方程的解】 【考点04 解一元一次方程】 【考点05 同解方程】 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【考点07 一元一次方程之工程问题 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 【考点01 一元一次方程的定义】 1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式是解题的关键． 根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，方程的未知数的次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； B，方程可化为是一元一次方程，符合题意； C，方程有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D，方程是分式方程，不是一元一次方程，不符合题意． 故选B． 2．若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 【详解】解：∵若关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：0． 3．若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程可得，再解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点02 等式的性质】 4．下列等式变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质“性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，则此项正确，不符合题意； B、若，则，则此项正确，不符合题意； C、若，则，则此项正确，不符合题意； D、若，则当时，，则此项错误，符合题意； 故选：D． 5．已知，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：①把等式的两边都加(或减去)同一个整式，等式仍然成立；②等式两边都乘（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立；据此解答即可． 【详解】解：A、 ， ，即，故该选项正确，不符合题意； B、 ， ，即，故该选项错误，符合题意； C、 ， 等号两边都除以得：，故该选项正确，不符合题意； D、 ， 等号两边都乘得：，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 6．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A．当时，，此时和不一定相等，故该选项错误，不符合题意； B．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； C．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； D．如果，那么，正确，符合题意． 故选：D． 7．根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质“等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；等式两边同时乘方或开方，等式依然成立；”进行判定即可求解． 【详解】解：A、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意． B、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意． C、若，当不为时，则，原变形错误，故本选项不符合题意． D、若，则，变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【考点03 一元一次方程的解】 8．若是关于的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的定义，理解方程解的定义是解题的关键． 把代入方程即可求解， 【详解】解： 是关于的方程的解， ， 解得：， 故选：D. 9．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 10．下列方程中，方程的解是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入各方程即可进行判断． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查方程的解．将解代入方程，等式两边成立则为方程的解． 11．已知关于的方程的解是，则的值是（　　） A．10 B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的解定义，将代入已知方程列出关于的新方程，通过解新方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意，得 ， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，熟练掌握定义是解题关键． 【考点04 解一元一次方程】 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1得步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1得步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2） 原方程可变为， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 13．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤——去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并针对方程的特点灵活应用是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，即可得出答案． （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 14．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）移项合并，然后系数化为1即可； （2）先去分母，去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，． 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先移项，再合并同类项，再化系数为1即可得解； （2）先去括号，再移项，合并同类项，再化系数为1即可得解； （3）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，再化系数为1即可得解． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【考点05 同解方程】 16．已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， ， 得：， 把代入方程， 得：， ， ， ， 解得：． 17．如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可． 【详解】解：对方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； 把代入，得， 解得：． 18．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 【详解】解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 19．若方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】3 【分析】先解方程3-x=2x+6，求出x的值，然后把x的值代入方程a（x-1）=x+3，求出a的值，最后把a的值代入式子进行计算即可解答． 【详解】解：3-x=2x+6， 3x=-3， x=-1， 把x=-1代入a（x-1）=x+3中得： -2a=2， a=-1， ∴当a=-1时， =1+1+1=3． 【点睛】本题考查了绝对值，同解方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点06 一元一次方程之利润问题】 20．运用一元一次方程完成下题 某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？第一次获得的总利润为多少元？ (2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件，第一次获得的总利润为2000元 (2)第二次乙商品是按原价打8折销售 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品件，根据超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，列出方程进行求解，求解后利用总利润等于两种商品的利润之和，进行计算即可； （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得：， ∴， 第一次获得的总利润为：（元） 答：该超市第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件，第一次获得的总利润为2000元； （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得：， 解得：， 答：第二次乙商品是按原价打8折销售． 21．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)的值为200 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意． （1）设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个． 则， 解得：， ， 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得：， 答：的值为200． 22．今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划辆车都要装运．每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的车有辆，根据下面提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 每吨水果利润（元） (1)求这辆汽车共装运水果的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)为了促销，公司决定甲种水果每吨让利元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这辆汽车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【答案】(1)这辆汽车共装运水果的数量为吨 (2)销售光这批水果后所获得的总利润为元 (3) 【分析】本题考查根据题目所给条件列代数式，一元一次方程的应用， （1）由装运甲种水果的车有辆，得出装运乙种水果的车有辆，再结合表格内的数据，可表示出辆汽车装运水果的数量； （2）用装运甲、乙水果的量分别乘以它们每吨的利润即可； （3）先表示出总利润的表达式，再根据“无论装运甲的汽车为多少辆，这辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变”可解决问题； 正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：设装运甲种水果的车有辆，则装运乙种水果的车有辆， ∴装运的总量为：， ∴这辆汽车共装运水果的数量为吨； （2）根据题意，得：． ∴销售光这批水果后所获得的总利润为元； （3）根据题意，得：， 又∵无论装运甲水果的汽车为多少辆，这辆车装运的水果销售光后，总利润都保持不变，即利润的表达式的取值与的值无关， ∴， 解得：， ∴的值为． 23．已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式和解一元一次方程， （1）根据题意即可求得B型纸板数，进一步即可求得C型正方形纸板； （2）首先求得C型正方形纸板和D型长方形纸板数，根据获利列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，B型纸板为块， 则总共可以制成C型正方形纸板个数为： ； （2）解：根据题意，列方程得： 化简得： ， 答：x的值为5． 【考点07 一元一次方程之工程问题 24．有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积； 【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准题目中等量关系正确列方程计算是解题关键． 设每个房间需要粉刷的面积为，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为， 则每名师傅每天粉刷墙壁，每名徒弟每天粉刷墙壁； 由题意得：． 解得：． 即每个房间需要粉刷的墙面面积为． 25．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 【答案】1.5小时 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，根据工作效率×工资时间=工作总量列方程求解即可． 【详解】解：设两位同学应该合作x小时， 根据题意，得， 解得， 答：两位同学应该合作1.5小时． 26．哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 27．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时． (1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？ (2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？ 【答案】(1)需小时完成这项工作任务的一半 (2)还需小时才能完成这项工作 【分析】（1）将总工作量看作“1”，然后由工作时间=÷工作效率和作答； （2）设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，根据“乙做90分钟的工作量+甲、乙合作工作x小时的工作量=1”列出方程并解答． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝（小时）． 故需小时完成这项工作任务的一半； （2）解：设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，依题意有： ， 解得x=． 故还需小时才能完成这项工作． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用效率×时间=工作量1得出是解题关键． 【考点08 一元一次方程之行程问题】 28．小陈同学原来每天步行上学，自从学校有了班车以后，他先以每小时4千米的速度步行全程的一半，再顺路搭上了速度为每小时20千米的班车，所以比原来全程步行早到了1小时．问：小陈同学的家离学校多少千米？ 【答案】小陈同学的家离学校10千米． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解本题关键是看到以路程作为等量关系． 设小陈步行全程的一半用的时间是小时，则搭车用去了小时，以路程为等量关系可列方程求解． 【详解】解：设小陈步行全程的一半用的时间是小时，则搭车用去了小时， 根据题意得：， 解得， ∴全程的一半是：（千米）， ∴小陈家到学校的距离是：（千米）， 答：小陈家到学校的距离是10千米． 29．在风速为的条件下，一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同一航线要用小时，求： (1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速； (2)两机场之间的航程． 【答案】(1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 (2)两机场之间的距离为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算； （1）设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为，则顺风飞行时的速度为，逆风飞行的速度为，根据题意得，，解方程，即可求解． （2）根据题意列出算式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为，则顺风飞行时的速度为，逆风飞行的速度为，根据题意得， ， 解方程，得． 答：无风时这架飞机在这一航线的平均航速为； （2）根据题意得，． 答：两机场之间的距离为． 30．某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的，两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区地，此时两车相距20千米，甲车在服务区地休息了20分钟，然后按原速度开往地；乙车行驶2小时10分钟时也经过地，未停留继续开往地． (1)求甲、乙两车行驶的速度分别是多少千米/小时： (2)乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 【答案】(1)60千米/时，120千米/时 (2)1或小时 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，即行程问题： （1）用乙的路程除以乙的时间，即为乙的速度；算出两地的距离，再用甲的路程除以甲的时间，即为甲的速度； （2）依题意，要进行分类讨论，①设乙车出发小时，两车相距200千米，或②设乙车出发小时，两车相距200千米，再进行列式计算，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙车10分钟行驶20千米，10分钟小时， 乙车的速度（千米/时）， 两地的距离（千米）， 两地的距离（千米）， 甲车的速度（千米/时）； （2）解：①设乙车出发小时，两车相距200千米， 由题意得， 解得； ②设乙车出发小时，两车相距200千米， 由题意得， 解得， 综上：乙车出发1或小时，两车相距200千米． 31．如果汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，正好在预定时间内到达．实际上汽车行驶了3小时后，速度减慢为30千米/小时，因此比预定时间迟到1小时．求甲乙两地的距离． 【答案】240千米 【分析】设甲乙两地的距离为千米，根据时间关系列方程，解出即可． 【详解】解：设甲乙两地的距离为千米． 根据题意，得， 解得， 答：甲乙两地的距离为240千米． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，列方程找到相等关系是解题关键． 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 32．某品牌饮水机生产一种饮水机和饮水机桶，饮水机每台定价350元，饮水机桶每只定价50元，厂方开展促销活动期间，可以同时向客户提供两种优惠方案：（1）买一台饮水机送一只饮水机桶；（2）饮水机和饮水机桶都按定价的付款。现某客户到该饮水机厂购买饮水机30台，饮水机桶x只（x超过30）． (1)若该客户按方案（1）购买，求客户需付款（用含x的式子表示）； (2)若该客户按方案（2）购买，求客户需付款（用含x的式子表示）； (3)当时，哪一种促销方案更优惠？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)按方案一购买合算 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （3）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）方案（1）购买需付元； （2）解：方案（2）购买需付元 （3）解：当时， 方案一需元；  方案二需元； 所以按方案一购买合算； 【点睛】此题考查列代数式，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键． 33．某红色基地门票价格规定如下表： 购票张数 1至50张 51至100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某校七（1）、七（2）两个班师生共101人去公园游玩，其中七（1）班师生人数较少，不足50人，七（2）班师生人数不超过100人，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1359元，问： (1)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少元？ (2)两个班各有多少师生？ (3)如果七（1）班单独组织去公园游玩，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)可省349元 (2)七（1）班有49人，七（2）班有52人 (3)购买51张票最省钱 【分析】（1）用两个班都以班为单位买票的总费用减去把两个班联合起来买团体票的总费用即可； （2）设七（1）班有学生 人，则七（2）班有学生 人，根据总价钱即可列方程； （3）应尽量设计的能够享受优惠． 【详解】（1） 依题意：（元） 即可省349元； （2） 设七（1）班有学生x人，则七（2）班有学生(101－x)人， 根据题意得，， 解得， ， 即七（1）班有49人，七（2）班有52人； （3）元，元 ∴购买51张票最省钱． 【点睛】本题考查的是最优化设计问题，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解决分段费用问题是本题的关键． 34．为贯彻落实“双减”政策，积极开拓校本研修课程，某校课外实践小组欲到植物园开展研修活动，植物园提供以下三种购票方式： 购买散票：每人一张20元； 当购票人数不小于100人时，可以选择购买优惠票或团队票； 购买优惠票：可以享受票价9折优惠； 购买团队票：一张团队票2400元，且入园时，每人还需付10元． (1)若有100名学生到植物园开展研修活动，你认为如何购票优惠？请计算说明； (2)当入园人数达到多少时，购买优惠票与购买团体票的价钱相同？ 【答案】(1)购买优惠票；说明见详解； (2)300人． 【分析】（1）分别按三种购票方式计算价钱，然后再比较即可得出结论； （2）设入园人数达到 人时，根据题中等量关系列出一元一次方程，求解即可得答案． 【详解】（1）解：购买散票：元； 购买优惠票：元； 购买团队票：元； 购买优惠票优惠； （2）解：设入园人数达到 人时，购买优惠票与购买团体票的价钱相同， ， 解得，（人）， 答：当入园人数达到300人时，购买优惠票与购买团体票的价钱相同． 【点睛】此题考查了求代数式的值、一元一次方程的应用，准确理解题意、正确列出方程是解答此题的关键． 35．为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作。 (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要400元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 若学校有75个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 A 9折 8.5折 每购100瓶消毒剂送1支测温枪 B 8折 8.5折 无 【答案】(1)一瓶消毒剂的价格为55元，一支测温枪的价格为345元 (2)学校选择A种购买方案的总费用更低 【分析】（1）设一瓶消毒剂的价格为x元，则一支测温枪的价格为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可得出答案； （2）分别计算出两种方案所需费用，比较即可． 【详解】（1）解：设一瓶消毒剂的价格为x元，则一支测温枪的价格为元， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：一瓶消毒剂的价格为55元，一支测温枪的价格为345元； （2）解：根据题意可知该学校需要75支红外线测温枪和75×20=1500瓶消毒剂． 以A方案购买时， ∵每购100瓶消毒剂送1支测温枪，1500÷100=15支， ∴再购买75-15=60支测温枪即可， ∴此购买方案的总费用为元； 以B方案购买时，总费用为元； ∴以B方案购买的费用高于以A方案购买的费用． 故学校选择A种购买方案的总费用更低． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 36．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 37．在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 【答案】(1)； (2)经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度 (3)或秒时，点到点，的距离相等 【分析】本题考查了数轴、绝对值、解一元一次方程，关键是注意分类讨论． （1）根据，，可得、； （2）分类讨论：当未碰撞时，两滑块在轨道上相距个单位长度，可得，解得，当碰撞时，，可得相撞时，，在数轴上，当碰撞后，可得，综合以上即可解得； （3）分类讨论：当点还未追上点时，可得，当点追上点时，可得，即可解得． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：还未碰撞时，， 解得：， ， 解得：， 相撞时，，在数轴上处； 碰撞后，的速度为个单位秒，的速度为个单位秒， ， 解得：， ， 经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度； （3）解：当点还未追上点时， ， 解得：， 当点追上点时， ， 解得：， 或秒时，点到点，的距离相等． 38．如图，在一条不完整的数轴上，一动点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点． (1)若点表示的数为，求点，点表示的数； (2)如果点，表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)在（1）的条件之下，若小虫从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点相遇，点表示的数是多少？ (4)在（3）的条件之下，设两只小虫秒时在数轴上相距个单位，直接写出的值． 【答案】(1)，3 (2) (3) (4)或 【分析】（1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点B、点C表示的数； （2）依据点A、C表示的数互为相反数，利用两点间距离公式，可得点B表示的数； （3）设小虫P与小虫Q的运动的时间为t，根据两小虫运动路程之和为7列出方程并解答； （4）根据点P，Q的运动可得出点P，Q运动后所对应的数，根据P，Q相距2个单位及数轴上两点间的距离建立方程即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为0，点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点， ∴点B表示的数为，点C表示的数为； （2）解：∵点A、C表示的数互为相反数，， ∴点A表示的数为， ∴点B表示的数为； （3）解：设小虫P与小虫Q的运动的时间为t，依题意得： ，解得t = 10， ∴点D表示的数是：． 答：点D表示的数是； （4）解：根据题意得：点P所对应的数为：，点Q所表示的数为：， ∴， 解得：或． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是能根据题意列出算式，是一道比较容易出错的题目． 39．如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且a，b满足． (1)点A、B同时出发相向而行，点A的运动速度为2个单位每秒，在原点处相遇，求点B的运动速度； (2)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距5个单位长度； (3)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作相同方向运动，且在运动过程中，始终有，若干秒后，C点停留在处，求此时B点的位置． 【答案】(1)点B的运动速度4个单位每秒 (2)7秒或2秒钟时两者相距5个单位长度 (3)B的位置为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真分析各个点的运动方向、找出等量关系成为解题的关键． （1）先确定点A、B表示的数，然后求出点A、点B到原点的距离，进而求得相遇时间，然后根据路程、速度、时间的关系成为解题关键； （2）设经过时间为t后，然后列出绝对值方程求解即可； （3）设点C的速度为y个单位/秒，运动时间为t；然后根据列方程可求得y，进而确定t，最后求出B点的位置即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴点A、点B表示的数分别为：3，． ∴点A、点B到原点的距离分别为3，6． ∵点A的运动速度为2个单位每秒， ∴点A的运动时间为，即点B的运动时间为． ∴点B的运动速度为个单位每秒． （2）解：设经过时间为t，则运动后点A、B表示的数为：，， 由题意可得：，解得：或2， 所以7秒或2秒钟时两者相距5个单位长度． （3）解：设点C的速度为y个单位/秒，运动时间为t，则始终有，即， ∴，解得， 当C停留在处，所用时间为：秒 ∴B的位置为． 1．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，即为一元一次方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、中的的次数是1，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、属于一元一次方程，故该选项符合题意； D、不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．方程的解是（   ） A． B．6 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先移项，再合并同类项，然后系数化为1，可得解． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：C． 3．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质．根据“等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式的两边仍然相等；等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为零），等式的两边仍然相等”逐一分析即可求解． 【详解】解：由，得，故选项A符合题意； 由，得，故选项B不符合题意； 由，得，故选项C不符合题意； 当时，由，得，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，进行化简即可． 【详解】解：， 方程的两边同时乘以，得：； ∴； 故选B． 5．某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币？设这件衣服值枚银币，依据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键，本题考查了一元一次方程的应用，根据一年的报酬个月报酬的倍列方程即可得解． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 6．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 7．一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 【答案】元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，设这件衣服的成本价为，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设这件衣服的成本价为元， ∴， 解得：． 故答案为：元． 8．开学在即，某校初二年级要进行分班．如果平均每班44人，还余10人；如果平均每班45人，还差2人．设这个学校初二年级有x个班，依据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据实际问题列一元一次方程，依据题意列出方程即可． 【详解】解：依据题意，得 故答案为：． 9．已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵关于x的方程的解与方程的解相同， ∴把代入方程得：, 解得：． 故答案为：． 10．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】设这支球队共胜x场，则可得平了场，从而根据得分为18分可列出方程，解出即可；此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出得分，利用方程解答． 【详解】设这支球队共胜x场，则可得平了场， 由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 12．某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 【答案】安排8人生产A部件，8人生产B部件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件，依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件， 依题意得， 解得， ∴． 答：应安排8人生产A部件，8人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套． 13．已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 【答案】(1)；3 (2)点在数轴上对应的数为5或； (3)点的速度为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用绝对值的非负性质得到，，解得，； （2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据分情况讨论，列出方程，解方程即可； （3）设点B的速度为v，则A的速度为，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论． 【详解】（1）解：且． ，， 解得，． 故答案为：；3； （2）解：设点在数轴上所对应的数为， 当在点右边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为5； 当在点左边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为； 综上，点在数轴上对应的数为5或； （3）解：设速度为，则的速度为， 3秒后点，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 当还在原点的左边时，由可得， 解得； 当在原点的右边时，由可得，解得． 即点的速度为或． 14．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 综上：当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 15．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 【答案】(1)704元 (2)44人 (3)45人 【分析】本题考查有理数的乘法运算，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系建立方程并求解． （1）根据题意列式计算即可； （2）设2班有人，根据“购票费用为702元，”列出方程求解，即可解题； （3）根据“无论选择哪种方案要付的钱是一样”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： （元）． 答：1班购票需要704元． （2）解：设2班有人， 由题意，得， 解得． 答：2班有44人． （3）解：因为3班有人， 由题意，得， 解得． 答：3班有45人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$