精品解析：四川省雅安市名山区车岭镇初级中学 2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024-2025学年度初中九年级数学期中考试卷 数学试题 考试时间：120分钟；满分分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．回答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案编号．回答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内． 3．所有题目必须在答题卷作答，在试卷上答题无效．考试结束后，只将答题卷交回． A卷（共100分） 一、单选题（每题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填涂在机读卡上． 1. 矩形一定具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角线垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分每一组对角 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣5 D. 5 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 四边形的对角线，相交于点，从以下四个条件①，；②，；③；④中选两个，能推出四边形是矩形的是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③ 8. 经过一T字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，至少一人左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ） A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2 11. 如图，在菱形中，，，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 12. 如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上． 13. 在一个密闭不透明的盒子里装的全是白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为了估计白球的个数，小刚向其中放入个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盆中，不断重夏，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中白球约有______个． 14. 已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段__________． 15. 已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为23，则的值为_____． 16. 如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，的周长为______． 三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 有3部不同的电影A，B，C，甲、乙两人分别从中任意选择1部观看． （1）求甲选择C部电影的概率； （2）求甲选择A部电影，同时乙选择B部电影的概率（请用画树状图的方法解答） 19. 如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC． （1）求证：； （2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长． 20. 在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s．问： (1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm2? (2)是否存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2? 21. 在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形为菱形； （2）求的长． 22. 商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： （1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ （3）若商场日盈利元，求的最大值． B卷（共20分） 四、填空题（每小题4分，共8分）将答案填在答题卡相应的横线上． 23. 小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎．如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是______． 24. 如图，在矩形中，对角线相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为______． 五、解答题（12分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初中九年级数学期中考试卷 数学试题 考试时间：120分钟；满分分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．回答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案编号．回答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内． 3．所有题目必须在答题卷作答，在试卷上答题无效．考试结束后，只将答题卷交回． A卷（共100分） 一、单选题（每题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填涂在机读卡上． 1. 矩形一定具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角线垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分每一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的对角线的性质即可求出答案． 【详解】解：矩形对角线相等且互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分． 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念依次判断即可． 【详解】解：A、，移项合并后无二次项，是一元一次方程，不符合题意； B、，是二元一次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、，等式左边不是整式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 4. 已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系x1+x2代入计算即可． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根， ∴x1+x22， 故选：B． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，设x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则有x1+x2，x1•x2=． 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质证明，可得 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，掌握矩形的性质并准确识图是解题的关键． 6. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1870元的利润，即售价定为每个元，销售量为个，结合获得的利润为1870元，可列方程． 【详解】解：根据题意可得：， 即： 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 7. 四边形的对角线，相交于点，从以下四个条件①，；②，；③；④中选两个，能推出四边形是矩形的是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、①∵，， ∴四边形是平行四边形， 再由，无法判断四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、由②由，；③无法判断四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 8. 经过一T字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，至少一人左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用树状图列举出所有等可能的情况，去掉至少一人左拐的次数，利用概率计算公式求解． 【详解】树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中至少一人左拐的有7种， ∴P（至少一人左拐）=， 故选：D． 【点睛】此题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键． 9. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据，，可计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ） A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题． 【详解】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2， ∴m+6=m2， 解得m=3或m=-2， ∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0 解得m=6或m=-2 ∴m=-2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=． 11. 如图，在菱形中，，，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可． 【详解】解：如图，菱形ABCD中， ∵AB=2，∠A=120°， ∴AD=2，∠ADC=60°， 过A作AE⊥CD于E， 则AE=P′Q， ∵AE=AD•cos60°=2×=， ∴点P′到CD的距离为， ∴PK+QK的最小值为． 故选C. 【点睛】本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键. 12. 如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于， 是边上中线， ，即， 又， ， ， ； 故选：D 二、填空题（每题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上． 13. 在一个密闭不透明的盒子里装的全是白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为了估计白球的个数，小刚向其中放入个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盆中，不断重夏，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中白球约有______个． 【答案】12 【解析】 【分析】设盒中白球有个，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设盒中白球有个，根据题意得 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频率估计概率，概率公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14. 已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段b是线段c和线段d的比例中项，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为23，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，然后根据根与系数的关系，即可得又由于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为23，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】设方程的两个实数根为，则∵，∴，即，解得，．当时，方程为，，原方程无解；当时，方程为，，原方程有解．∴的值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及完全平方式的应用．此题难度不大，解题的关键是掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，性质的应用． 16. 如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用旋转变换作出全等三角形并用正方形的边长表示出的周长．将绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，再根据正方形的边长求解即可． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长 ， ∵正方形的边长为5， ∴的周长为． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接利用开平方法解方程即可． （2）把方程右边移到方程左边，提公因式，利用因式分解法解方程即可． （3）把5移到方程右边，利用配方法解方程即可． （4）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴， 【小问2详解】 解： 或， ∴， 【小问3详解】 解： ∴， 【小问4详解】 解： ∵， ∴， ∴， 18. 有3部不同的电影A，B，C，甲、乙两人分别从中任意选择1部观看． （1）求甲选择C部电影的概率； （2）求甲选择A部电影，同时乙选择B部电影的概率（请用画树状图的方法解答） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)直接根据概率公式求解即可； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有3部不同的电影A，B，C，甲从中任意选择1部观看， ∴甲选择C部电影的概率是； 【小问2详解】 画树状图为： 等可能的结果共有9种， 其中甲选择A部电影同时乙选择B部电影的结果（AB）只有1种， 所以甲选择A部电影同时乙选择B部电影的概率是 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC． （1）求证：； （2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长． 【答案】 （1）证明：∵DF∥AC， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出． （2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∵，且AE＝4，EC＝2， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 20. 在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s．问： (1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm2? (2)是否存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2? 【答案】(1)2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2；(2)不存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2. 【解析】 【分析】（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm 2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用△PBQ的面积等于8列式求值即可；  （2）假设存在t使得△PDQ面积为26cm 2，根据△PDQ的面积等于26cm 2列式计算即可． 【详解】(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2. ∵AP＝x，QB＝2x.∴PB＝6－x. ∴ (6－x)·2x＝8， 解得x1＝2，x2＝4， 故2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2. (2)假设存在t使得△PDQ的面积为26 cm2， 则72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26， 整理得，t2－6t＋10＝0， ∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0， ∴原方程无解， ∴不存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，表示出△PBQ的两条直角边长是解决本题的突破点;用到的知识点为:直角三角形的面积=两直角边积的一半.本题也考查了矩形的性质和割补法求图形的面积. 21. 在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形为菱形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵垂直平分，垂足为O． ∴，． 在和中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出．根据线段垂直平分线的性质，得出，，即易证，得出，从而即可证明； （2）根据菱形的性质可设，则，结合勾股定理即可求出x的值，即得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则． 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 22. 商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： （1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ （3）若商场日盈利元，求的最大值． 【答案】（1）7200 （2）每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元 （3）的最大值为8450元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程求解是解决问题的关键． （1）根据销量可得出降价的数目，根据降价后每件的利润销量日盈利进行计算即可； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元，列出方程求解即可； （3）表示出关于的方程，然后整理为关于的一元二次方程，根据判别式，可得出的最大值． 【小问1详解】 解：由销量增加了20件，得降价了10元， 日盈利（元， 故答案为：7200； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元， 由题意得：， 化简得：，解得：，， 该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去， ， 答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元； 【小问3详解】 解：由（2）得， 化简得：， 由得，，解得：， 故的最大值为8450， 答：商场日盈利元，的最大值为8450元． B卷（共20分） 四、填空题（每小题4分，共8分）将答案填在答题卡相应的横线上． 23. 小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎．如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他把每个同学的本子都发错的情况，再利用概率公式即可求出答案． 【详解】解：分别用A，B，C，D表示4个同学的作业本，画树状图得： ∵共有24种等可能的结果，他把每个同学的本子都发错的有种情况， ∴他把每个同学的本子都发错的概率是：． 故答案为：． 24. 如图，在矩形中，对角线相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，由矩形的性质得，故有，可证是等边三角形，通过等边三角形的性质和角所对直角边是斜边是斜边的一半可求出，然后由勾股定理得，然后再求，则，最后通过中位线定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， 故答案为：． 五、解答题（12分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $