5.6.3几何证明举例（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

课堂导入 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 在本册第2章，我们利用轴对称的基本性质，通过对折的方法探索得出线段垂直平分线的性质： 你能用推理的方法证实它的真实性吗？ 5.6 几何证明举例 第五章 几何证明初步 青岛版八年级数学上册 第 三 课 时 学习目标 1 2 进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据， 证明垂直平分线的性质定理和判定定理。 交流与发现 1.如何证明：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”？ A B D C M ┌ P 已知：CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，P是直线 CD上的任意一点。 求证：PA=PB. 分类讨论的数学思想 证明：①当点P不与点M重合时。 ∵PM⊥PB ∴∠PMA= ∠PMB =90° ∵PM平分AB ∴MA=MB ∵PM=PM ∴△PMA≌△PMB ∴PA = PB ②当点P与点M重合时， ∵MA=MB ∴ PA = PB 由①②可知，该命题成立。 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 新知生成 ∵CD是线段AB垂直平分线 ∴PA=PB 证明两条线段相等 3. 这个逆命题正确吗？若你认为正确，能加以证明吗? 2.线段垂直平分线性质定理的逆命题是什么呢？ 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 学法指导: (1)仿照上面的思考方法，大家试着独立解决这个题目. (2)时间约为5分钟，5分钟后由学生进行展示. 成果展示 证明：(1) 当点P不在线段AB所在的直线上时，如图. ∵PA=PB. ∴△PAB是等腰三角形. 过点P作PC⊥AB ∴AC=CB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 A P B C 证明：(2) 当点P在线段AB所在的直线上时， ∵PA=PB. ∴点P是线段AB的中点 ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 由（1）（2）可知，该命题成立。 A P B C 新知生成 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线的判定定理 A P B C ∵PA=PB ∴P点在线段AB垂直平分线上 证明点在一条直线上 课堂练习（基础篇） 1.已知：AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上。 求证：AB=AC=CE。 证明：∵AD⊥BC，BD=CD ∴AB=AC ∵点C在AE的垂直平分线上 ∴AC=CE ∴AB=AC=CE 2.已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点。 求证：BE=DE 学习小心得 一条直线上必须有两个点到一条线段两端距离相等，则这条直线确定是这条线段的垂直平分线. ∵AB=AD，BC=DC ∴AC是线段BD垂直平分线 ∴BE=DE 课堂练习（提高篇） 1.在△ABC中，AD是高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE. 求证:AB+BD=DC 证明：连接AE ∵AD⊥BC，BD=DE ∴AD是BE的垂直平分线 ∴AB=AE ∵EF是AC的垂直平分线 ∴AE=CE ∴AB=CE ∵CD=DE+CE ∴AB+BD=DC. ┐ D E B A C F 2.如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的周长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这些条件，求线段BC的长. A B C D E 解:∵DE是BC的垂直平分线 ∴BD=CD ∴AD+CD=AD +BD=AB. ∵△ACD的周长=18 ∴AD+CD+AC=18 ∴AB+AC=18 ∵△ABC的周长=28 ∴AB+AC+BC=28 ∴BC=10cm. 课堂小结 你的收获是…… 你的疑惑是…… 你的建议是…… 课堂检测 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，求∠C的度数． ∠C=40° 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A B C D 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（　　） A．8 B．11 C．16 D．17 B A 课下作业 必做题： （1）课本187页习题5.6第6题 （2）课本188页习题5.6第12题 选做题：课本182页课后练习第1题 $$