5.6.2几何证明举例（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

课堂导入 1.大家回忆一下，在本册第二章我们是利用什么方法探索出等腰三角形的性质的呢？ 对折的方法 2.我们是利用什么方法探索出等腰三角形的判定方法的呢？ 作图的方法 3.你能利用基本事实、已有的定义和定理，通过推理证明它们的真实性吗？ 5.6 几何证明举例 第五章 几何证明初步 青岛版八年级数学上册 第 二 课 时 学习目标 1 2 进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据， 证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 自学指导（1） 1.大家自主学习课本177--178页交流与发现（1）---（3）中的内容，时间约为5分钟. 2.在自学过程中，若有疑难问题可向老师或同学进行询问. 3.在自学时，大家尝试解决以下问题 （1）对于等腰三角形性质定理1的证明，还有其它证法吗？（2）写出等腰三角形性质定理2的证明过程. 自 学 进 行 中 …… 自学效果检测（1） 任务一 等腰三角形的性质定理1的证明 学习小心得： 这两种证法都是通过添加辅助线把等腰三角形的两底角分别成为两个全等三角形的对应角. 证明：作底边BC上的中线AD交BC于点D. ∵AB=AC，AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠B=∠C ∴BD=CD A B C D 等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等 任务二 等腰三角形的性质定理2的证明 等腰三角形的性质定理2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合 A B C D ∴△ABD≌△ACD ∴BD=CD ∵∠ADB=∠ADC，∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADC=90° 证明：作∠BAC的角平分线AD交BC于点D. ∴∠BAD=∠CAD ∵∠B=∠C，AD=AD 自学指导（2） 1.大家自主学习课本178--179页交流与发现（4）---（5）中的内容，时间约为5分钟. 2.在自学过程中，若有疑难问题可向老师或同学进行询问. 3.在自学时，大家尝试解决以下问题 （1）写出等腰三角形判定定理的证明过程. （2）写出等边三角形性质定理的证明过程. （3）写出等边三角形判定定理1的证明过程. （4）写出等边三角形判定定理2的证明过程. 自 学 进 行 中 …… 自学效果检测（2） 任务一 等腰三角形的判定定理的证明 A B C D 证明：作∠BAC的角平分线AD交BC于点D. ∵∠B=∠C，AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∴∠BAD=∠CAD 等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形. 任务二 等边三角形的性质定理的证明 等边三角形的性质定理： 等边三角形的每个内角都是60° ∵AC=BC ∴∠A=∠B∵AB=BC ∴∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60° C B A 任务三 等边三角形的判定定理1的证明 ∵∠A=∠B ∴AC=BC ∵∠A=∠C ∴AB=BC； ∴AC=BC=AB. ∴△ABC是等边三角形. A B C 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定定理 任务四 等边三角形的判定定理2的证明 A B C （1）若∠A=60°, AB=AC. ∵∠A=60° ∴∠B+∠C=180°-∠A=120° ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴2∠B=120° ∴∠B=60° ∴C=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形。 (2)若∠B=60°，AB=AC ∴∠C=∠B=60° ∴∠A=180°-∠B-∠C=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定定理： 自学指导（3） 1.大家自主学习课本179页例2中的内容，时间约为3分钟. 2.在自学过程中，若有疑难问题可向老师或同学进行询问. 3.在自学时，大家尝试解决以下问题 （1）要知道每一步的依据 （2）到目前为止，证明线段相等或角相等的方法有哪些？ 自 学 进 行 中 …… 自学效果检测（3） 证明：∵AB=AC ∴ ∵ DE⊥BC ∴△DEB和△FEC 都是直角三角形（ ） 例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点， DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。 求证：AD=AF. ∠B=∠C 直角三角形的定义 任务一 按照题目要求填空 ∴ ∵∠FDA=∠BDE ∴∠FDA=∠F ∴ AD=AF( ) ∠BDE=∠F 等角对等边 ∴∠BDE+∠B=90° ∠F +∠C= 90°（ ） 直角三角形的两个锐角互 余 （1）全等三角形对应边和对应角相等 （2）等腰三角形“三线合一”的性质 （4）对顶角相等 （5）等角的余角(或补角)相等 任务二 证明角或线段的相等的方法 （3）等角对等边或等边对等角 （6）两直线平行，同位角相等或内错角相等 （7）线段的中点或角平分线的定义 （8）等量代换 课堂巩固练习 1.已知如图，D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB. 求证：AB=AC C B A D 思路点拨： 利用等腰三角形的性质与判定即可解决问题 2.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E， 使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 30° 等腰三角形 3.阅读下面的一道题目及小亮的证明过程. 已知:如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD 上的一点，EB=EC,∠ABE=∠ACE. 求证:∠BAE=∠CAE 证明: 在△AEB和△AEC中， ∵EB=EC,∠ABE=∠ACE,AE= AE. ∴△AEB≌△AEC.…………第一步 ∴∠BAE=∠CAE. …………第二步 小亮的证明过程是否正确?如果正确，请写出第一步和第二步的推理依据;如果不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程. C B A D E 错在第一步 课堂小结 你的收获是…… 你的疑惑是…… 你的建议是…… 课堂检测 C B A D E 3.已知如图,AB=AC，BE平分∠ABC， CD平分∠ACB.则EB与DC有什么数量关系？并证明. EB=DC 1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高，AB=6,BD=3,则CD= C B A D 2.如图，等边三角形ABC的边长为6，P是BC边上一动点，当线段AP的长度最小时，BP= ,∠BAP= C B A P 9 30° 3 课下作业 必做题： （1）课本188页习题5.6第14题 （2）课本188页习题5.6第13题 选做题：课本189页习题5.6第15题 $$