5.6.1几何证明举例（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

课堂导入 全等三角形的判定方法有哪些？ 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 判断方法1： 判断方法2： 判断方法3： 判断方法4： 两角及夹边对应相等的两个三角形全等 两角及一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 三边对应相等的两个三角形全等 基本事实 基本事实 基本事实 如何证明呢 5.6 几何证明举例 第五章 几何证明初步 青岛版八年级数学上册 第 一 课 时 学习目标 1 2 经历并掌握证明角角边定理的过程. 根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段或角相等. 交流与发现 证明：两角及其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′， ∠B=∠B′ ∠C=∠C′ 求证：△ABC ≌ △A′B′C′ 学法指导： （1）大家自主完成该命题的证明过程. （2）若有不明白的可向同学或老师询问. (3) 时间约为3分钟,3分钟后找学生进行展示 成果展示 证明：在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠B=∠B′，∠C=∠C′ ∴∠A=180°-∠B-∠C， ∠A′=180°-∠B′-∠C′ ∴∠A=∠A′ ∵AC=A′C′　 ∴△ABC≌△A′B′C′ 新知生成 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理 这样，全等三角形的判定就有了基本事实SAS,ASA,SSS以及定理AAS，利用它们和全等三角形的对应边、对应角相等就可以进一步推证全等三角形的有关线段或角相等. 例题精讲 例1: 已知：如图，AB=BC，AD=CD. 求证：∠A=∠C. 要证∠A=∠C，只要证明它们所在的两个三角形全等即可，现在原图中没有两个全等三角形，怎么办呢？ ∴∠A=∠C 证明：连接DB ∵AB=CB,AD=CD，BD=BD ∴△ABD≌△CBD 温馨提示： 在证明两个角相等或两条线段相等时，可考察它们是否在两个全等三角形中.若不在，可以尝试通过添加辅助线构造全等三角形，使待证的角或线段是这两个全等三角形的对应角或对应边。 课堂练习（基础篇） 1.已知：如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD,A′D′分别是BC,B′C′上的高； 求证：AD=A′D′ 证明：∵AD,A′D′分别是BC,B′C′上的高∴∠ADB=∠A′D′B′=90° ∵△ABC ≌ △A′B′C′ ∴AB=A′B′,∠B=∠B′ ∴△ABD≌△A′D′B′ ∴AD=A′D′. 2.已知：如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD,A′D′分别是BC,B′C′上的中线； 求证：AD=A′D′ ∵△ABC ≌ △A′B′C′ ∴BC=B′C′ ∴BD=B′D′ ∵AB=A´B´,∠B=∠B´ ∴△ABD≌△A′D′B′ ∴AD=A′D′ 证明：∵AD,A′D′分别是BC,B′C′上的中线 ∴DB=BC，B′D′=B´C´ 3.已知：如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD,A′D′分别是△ABCD的角平分线； 求证：AD=A′D′ ∵△ABC ≌ △A′B′C′ ∴∠BAC=∠B´A´C´ ∴∠BAD=∠B´A´D´ ∵AB=A´B´,∠B=∠B´ ∴△ABD≌△A′D′B′ ∴AD=A′D′ 证明：∵AD,A′D′分别是BC,B′C′上的角平分线 ∴∠BAD=∠BAC,∠B´A´D´= ∠B´A´C´ 新知生成 全等三角形对应边上的中线、对应角的角平分线、对应边上的高都相等 全等三角形的性质定理 ∵△ABC≌△A′B′C′ AD,A′D′分别是 △ABC的角平分线 ∴AD=A′D′ ∵△ABC≌△A′B′C′ AD,A′D′分别△ABC 的高 ∴AD=A′D′ ∵△ABC≌△A′B′C′ AD,A′D′分别是 △ABC的中线 ∴AD=A′D′ 4.如图，已知，BD与CE相交于点O，AD=AE，∠B=∠C，请问：BE与CD相等吗？为什么？ 解：BE与CD相等， 证明：∵AD=AE，∠B=∠C，∠A=∠A ∴△ADB≌△ACE（AAS）， ∴AB=AC， ∴AB﹣AE=AC﹣AD， 即BE=CD． 1.如图:已知,AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4； 求证：BC=AB+CD 课堂练习（提高篇） 证明：在BC上截取BF=AB, 连接EF. ∵BE=BE，∠1=∠2 ∴△ABE≌△EF ∴∠A=∠EFB ∵AB∥CD ∴∠A+∠D=180° F ∵∠EFC+∠EFB=180° ∴∠EFC=∠D ∵∠3=∠4，EC=EC， ∴△CDE≌△CFE ∴CF=CD∵BC=BF+CF ∴BC=AB+CD 2.如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC. 证明：∵ BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°. ∵AO平分∠BAC， ∴∠1=∠2. ∵∠ADC=∠AEB，∠1=∠2，OA=AO， ∴△AOD≌△AOE（AAS） ∴OD=OE. ∵∠BDO =∠CEO，OD=OE，∠BOD=∠COE, ∴△BOD≌△COE（ASA） ∴OB=OC. 课堂小结 你的收获是…… 你的疑惑是…… 你的建议是…… 3.已知，如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C. 课堂检测 1.已知如图，∠A=∠C，要使△ABD≌△BCD,可添加的一个条件是 C A B D E 2.如图，已知：AB=AE，AB∥DE，AC=ED，∠D=110°则∠ECB= ∠ABC=∠CDB 70° 思路点拨：连接BD,证明△ABD≌△BCD即可. 课下作业 必做题： （1）课本187页习题5.6第1题 （2）课本187页习题5.6第2题 选做题：课本177页课后练习第2题 $$