精品解析：四川省自贡市汇南实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度上学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 【答案】A 【解析】 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选：A． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 根据两因式相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由，可代值计算得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 6. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 7. 抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】由抛物线的图象先向左平移2个单位， 得， 由向下平移6个单位， 得， 故选：B． 8. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的定义，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键．根据抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有交点， 关于的方程有实数根，且， ，且， 解得：且， 故选：A． 9. 已知的图象过点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵的图象过点，，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方， 即， ∴不等式的解集是或， 故选：． 11. 抛物线的对称轴是直线，且过点．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴抛物线的解析式亦可表示为． 由图，抛物线开口向下，则． ∴，， ∴，①错误； 由抛物线的对称性知，抛物线与轴的另一个交点为， 因此，当自变量时，函数值，②正确； ， ∵， ∴， 即，③错误； ，而， ∴，④正确； 联立解析式：， 即， 得 ， ∴，⑤正确． 正确的有：②④⑤， 故选：C． 【点睛】此题根据二次函数图像结合已知条件进行逐项判断，为二次函数中难度比较大的一类题型．一般方法是先根据图像判断a、b、c的符号，再根据题意表示出a、b、c的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答． 12. 如图，矩形中，，动点和动点以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，同时，动点和动点也以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，若点同时出发了，记封闭图形的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、、、四个不同时间段，逐次确定函数的表达式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，如图所示， 由题意得，，则，， 则， ， ∴ 函数对应的图象为开口向下的抛物线； 当，如下图： 则，而， 故封闭图形为平行四边形， 则， 对应的图象为一次函数； 当时， 同理可得：， 当时， 同理可得：， 函数对应的图象为开口向下的抛物线； 故选：D． 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是确定不同时间段S与t的函数表达式． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 一元二次方程整理成一般形式为_______________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得，， 故答案为： ． 14. 若a，b是方程的两根，则___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，求整式的值；由一元二次方程的根及根于系数的关系得，，整体代入，即可求解；掌握根与系数法关系，能用整体代入的方法求解是解题的关键． 【详解】解：a，b是方程的两根， ， ， ． 故答案：． 15. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故答案为：． 16. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 17. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值；到对称轴的距离越近函数值越大， ∵，， ∴当时，函数有最小值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 18. 如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ___，点的坐标为 ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设直线函数关系式为 点坐标为， ， 直线为， ，轴， ， ∵， 设直线为， 将代入得， ， ，解得或， ， ， 同理可得 ， ， ∴，， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（共8个小题，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用公式法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 20. 已知方程的一根是，求它的另一根及的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】把x1=2代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根． 【详解】设它的另一根为，根据题意得，， 解得，． 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 21. 如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． （1）求出抛物线解析式； （2）请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 【答案】（1） （2）能，理由如下： 对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘船能通过这座拱桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确确定该抛物线解析式是解题关键． （1）设抛物线解析式为，将点坐标代入求解即可； （2）令，可得，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图，设点为原点，根据题意，可知米，米， 则，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 22. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值． （2）根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：． 的取值范围是． 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 的值是． 23. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线向上或向下平移后过点，试确完平移的方向和平移的距离． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为 （2） 图象如图所示： （3）抛物线向下平移个单位 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得顶点坐标； （）列表、描点、连线即可画出图形； （）求出时的值，即可得平移前点的对应点，据此即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：把代入 得，， ∵ 点向下平移个单位得到点， ∴需将抛物线向下平移个单位． 24. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）求y与x之间的解析式； （2）若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值． 【小问1详解】 设解析式为， 将和代入， 可得， 解得：， 所以与的关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ，， ， ， 抛物线开口向下，函数有最大值． 当时，． 答：公司销售该商品获得的最大日利润是2025元． 25. 已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1． (1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值； (2)用只含字母a，n的代数式表示b； (3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围． 【答案】(1)b=1，c=1；(2)；(3)-≤a≤-. 【解析】 【分析】（1）由已知求出n，根据方程根的定义将m，n，a的值代入方程即可求解； （2）根据方程根的定义将m，n的值代入方程消去c求解得到，再利用m+n=1，消去m，即可求出b只用字母a、n表示代数式， （3）将(2)结论代入方程可得，由可得，继而可得，根据n的取值范围即可确定a的取值范围. 【详解】(1)因为m，n分别是关于x的一元二次方程与的一个根， 所以， 由m=n+1，m=2得n = 1 把n=1，m=2，a = -1,代入(*)得， ， 解得； (2)由(1)的方程组(*)中①-②，得 ， ，由m=n+1，得m-n=1， 故a， 所以， 从而； (3)把代入方程组(*)中②，得 ， 由≥2a得 ≥2a， 当a＜0时，n≥-1， 由n≤-得，-1≤n≤-， 由，且，得 ， 整理得，，因为a＜0 所以，， 即， 由于在-1≤n≤-时随n的增大而增大， 所以当n= -1时，a= -，当n= -时，a= - 即-≤a≤- . 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的解．同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力． 26. 已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点P坐标为 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得： 解得：； 【小问2详解】 解：， 抛物线的表达式为：， 将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 6. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 9. 已知的图象过点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 11. 抛物线的对称轴是直线，且过点．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 12. 如图，矩形中，，动点和动点以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，同时，动点和动点也以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，若点同时出发了，记封闭图形的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 一元二次方程整理成一般形式为_______________； 14. 若a，b是方程的两根，则___________． 15. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为_____． 16. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 17. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是________． 18. 如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ___，点的坐标为 ______． 三、解答题（共8个小题，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知方程的一根是，求它的另一根及的值． 21. 如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． （1）求出抛物线解析式； （2）请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 22. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 23. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线向上或向下平移后过点，试确完平移的方向和平移的距离． 24. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）求y与x之间的解析式； （2）若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 25. 已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1． (1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值； (2)用只含字母a，n的代数式表示b； (3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围． 26. 已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $