精品解析：河南省百师联盟2024-2025学年高二上学期12月期中检测数学试题

数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果 【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或， 当时，， 当时， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可. 【详解】点到直线的距离为， 所以圆C的半径为， 则圆C的方程为. 故选：A. 3. 甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，利用排列数公式可得结果. 【详解】先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可， 所以，恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为. 故选：D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称规则可判断A错误，利用向量共线的条件可得，可得B正确，由共面定理可知C错误，再由线面角定义可得D错误. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误； 对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为， 因为，所以，则，故B正确； 对于C.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则，解得，故C错误； 对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°， 则直线l与平面所成的角为，故D错误. 故选：B. 5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 6. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦的长为8，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】因为直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，所以直线的方程为，再与抛物线联立，用韦达定理及弦长公式即可求得斜率，进而求出直线的方程. 【详解】由抛物线的方程，得，抛物线的焦点．根据题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，，． 由消去，整理得，可得，所以． 因为，解得， 所以直线的方程为或． 故选：B． 7. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，利用间接法可得出放法种数，同理可得出左边一列两个数字为和的放法种数，即可得解. 【详解】在、、、、、六个数字中，， 若左边一列两个数字和，根据题意，、不能放在一列， 此时，不同的填数字的方法种数为， 所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种. 因此，满足条件的放法种数为种. 故选：C. 8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以先设直线的方向向量，由求出直线的方向向量，再利用直线与平面夹角公式求出直线与平面所成角的大小. 【详解】依题意，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为． 设直线的方向向量为， ，，，即令，则． 设直线与平面所成的角为，则，． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ） A 可以组成个三位数 B. 在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为 C. 在组成的三位数中，比大的个数为 D. 在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据排列数公式可判断A选项；根据，结合排列数公式可判断B选项；分析可知，百位数字为或，利用排列数公式可判断C选项；分析可知，从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上，结合排列数和组合数公式可判断D选项. 【详解】用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数 对于A选项，可以组成个三位数，A对； 对于B选项，因为， 所以，在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为个，B对； 对于C选项，由题意可知，百位数字为或， 所以，在组成的三位数中，比大的个数为个，C错； 对于D选项，在组成的三位数中，百位上的数字最小， 即从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上， 所以，百位上的数字最小的个数为个，D对. 故选：ABD. 10. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D. 【详解】由题意可得，，则，故A错误． 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 则，B正确． 设任一边所在直线（斜率存在时），联立双曲线， 联立得， 则，即，C正确． 由， 设：；，，， 联立得， ∴，， 则 ， 设，则， ∴， 又单调递减，则，∴， 故，D错误． 故选：BC 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，点在上，且，所以， 故答案为： 13. 已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法来求解椭圆方程中的值，然后根据椭圆中的关系求出半焦距. 【详解】设，，因为在椭圆上， 所以. 两式相减得，即. 因为点是线段的中点，所以，. 斜率，得，即,解得. 当时，椭圆方程为，可得，所以. 故答案为：. 14. 已知集合，若、、且、、互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若、和在上单调递增，则有个. 综上所述：共有个. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧 （1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． （2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. （1）要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ （2）若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ （3）若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）48 （2）120 （3）504 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法，把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外的3名工作人员全排列，即可得出结论； （2）根据题意，分2步进行分析:①在6个位置中任选3个，安排甲乙丙之外的3人，②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分2种情况讨论:①甲站在最右端，②甲不站在最右端，由分类计数原理计算可得答案. 【小问1详解】 由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念， 小王与工作人员甲､乙都相邻， ∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲）， 然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法， ∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种； 【小问2详解】 由题意， 甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）， ①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况, ②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况, ∴有种不同的站法； 【小问3详解】 由题意， 工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端， ∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法, ②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法, 剩下4人全排列,有种站法, ∴共有 种不同的站法 16. 在空间直角坐标系中，点，，，. （1）证明：，，不共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理建立，方程无解，即可证明； （2）利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 由题意得，，. 假设，，共面，则存在a，，使得， 即，即， 所以，此方程组无解，所以假设不成立，故，，不共面. 【小问2详解】 由题意得，，. 设平面的法向量为，则，即 令，则，，故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，点为的中点. （1）用向量表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）以向量为空间的一个基底，利用空间向量的线性运算表示出向量. （2）由（1）的结论，利用空间向量数量积的运算律求出模长及向量夹角的余弦值. 【小问1详解】 在四棱柱中， . 【小问2详解】 由四边形是正方形，， 得， 则 ，即线段的长为； 而， 则 ， ， 因此，即直线与所成角的余弦值为， 所以线段的长为，直线与所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）,（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【小问1详解】 取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 19. 设分别为椭圆左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程. （2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心. （i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离； （ii）求点到直线的距离的最大值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，，再结合求出椭圆方程. （2）（i）设出三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到的纵坐标为，从而解出横坐标，进而解出结果. （ii）讨论直线有无斜率两种情况，有斜率时设出直线的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点 到直线 的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得， ，由的面积为，得， 因此， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，由直线垂直于轴，得， 由原点是的重心，得，即，， 又，解得，所以到直线的距离为. （ii）由（i）知，当直线斜率不存在时，到直线的距离为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 由得，且，即， ， 由原点是的重心，得， 解得，点， 于是，整理得， 因此点到直线的距离为 ， 所以当与轴垂直时点到直线的距离最大为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是第二问中复杂的参数运算，解答时要结合方程求出点到直线的距离的表达式，计算基本都是字母参数的运算，比较复杂，要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 5. 已知平面，法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦的长为8，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ） A. 可以组成个三位数 B. 在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为 C. 在组成三位数中，比大的个数为 D. 在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为 10. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为 D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则_____． 13. 已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________. 14. 已知集合，若、、且、、互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. （1）要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ （2）若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ （3）若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 16. 在空间直角坐标系中，点，，，. （1）证明：，，不共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，点为的中点. （1）用向量表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 19. 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程. （2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心. （i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离； （ii）求点到直线的距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $