7.1 为什么要证明（分层练习）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

7.1为什么要证明 分层练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列结论不一定正确的是（   ） A．邻补角的平分线互相垂直 B．平行于同一直线的两条直线互相平行 C．相等的角是对顶角 D．能被4整除的数就能被2整除 【答案】C 【分析】本题考查了整除的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识． 利用整除的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、邻补角的平分线互相垂直，故选项正确，不符合题意； B、平行于同一条直线的两直线互相平行，故选项正确，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故选项错误，符合题意； D、能被4整除的数就能被2整除，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 4．（20-21八年级·全国·假期作业）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（　　） A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿 【答案】D 【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决． 【详解】由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以，布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿． 故选：D． 【点睛】本题考查了推理和论证，解题的关键是明确题意，能够写出正确的推理过程． 5．下列结论推理合理的是（    ） A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 【答案】D 【分析】需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A. 王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理； B. 因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理； C. 因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好，不合理； D. 因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理． 故选D． 【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键． 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）检验数学结论是否正确的常用方法有 、 和 ． 【答案】 实验验证 举出反例 推理论证 【分析】此题考查了检验数学结论是否正确的常用方法，根据检验数学结论是否正确的常用方法有实验验证，举出反例，推理论证求解即可． 【详解】检验数学结论是否正确的常用方法有实验验证，举出反例，推理论证． 故答案为：实验验证，举出反例，推理论证． 7．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 8．（22-23八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可 【详解】解： “已知，．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是 打破的． 【答案】乙 【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的 ∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话 甲说：“是丙打破的”也是假话， 则丙说：“甲说谎”是真话， ∴玻璃是乙打破的符合题意 故答案为乙 【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键． 10．当时，代数式；当时， ；当时， ；当时， ．因此，小明推断，不论取任何正整数，的值都是 ，这个推断是 的．（填“正确”或“错误”） 【答案】 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 错误 . 【分析】结合题意,看能否找出反例,若能找出反例,则说明结论不成立;若不能找出反例,再结合所学知识对结论作出严密的证明后,才能说明结论成立，本题,结合题意可知当n=5时, ≠1,据此即可解答此题． 【详解】解:将n=1代入中,得 =1 故n=1时, =1成立 将n=2代入中,得 =1 故n=2时, =1成立 将n=3代入中,得=1 故n=3时, =1成立 将n=4代入中,得 =1 故当n=4时, =1成立 由于当n=5时, =25≠1 故不能得到结论:对于所有的正整数n,代数式的值恒等于1. 故答案为(1). 1 ，    (2). 1 ，    (3). 1 ，    (4). 1 ，    (5). 错误 . 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键. 一、填空题 1．有观察下列等式：①，②，③……若字母n表示为正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来： . 【答案】 【分析】假设中间项为2n，根据平方差公式，计算它的后一项与前一项的平方差即可. 【详解】解，设中间项为2n，前一项为：（2n-1），后一项为：（2n+1），则 根据平方差公式有： = =. 故答案为. 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算. 2．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 【答案】 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 3．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： ． 【答案】 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC. 【分析】结合几何图形写出已知条件和结论． 【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）； 求证：AD平分∠BAC． 故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 二、解答题 4．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）证明命题“全等三角形的对应角角平分线相等”是真命题．（请补全图形、填空并证明）    已知：如图________和分别是和的平分线． 求证：_________． 证明： 【答案】，，证明见解析。 【分析】根据，可得，，再根据和分别是边的角平分线，可证，即可证明． 【详解】解：已知：如图，，AD和分别是∠BAC和的平分线． 求证：． 故答案为：，，   证明：∵， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等． 5．证明“全等三角形的对应角平分线相等” 命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整． 图形：如图所示 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．求证：．证明见解析． 【分析】根据命题的条件和结论，画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的性质定理得，，，结合角平分线的定义，得，由ASA即可得到结论． 【详解】已知：如图，△，，分别是和△的角平分线． 求证：． 证明：△， ，，， ，分分别是和△的角平分线， ， ， 在和△中 ∵ △． ． 【点睛】本题主要考查真命题的证明，掌握命题证明的步骤和三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键． 6．（24-25八年级上·上海·期中）求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是画出图形构造全等三角形，本题利用“”证明两个三角形全等即可． 【详解】已知：如图，是不等边的中线 求证：B点和C点到的距离相等． 证明：分别过B点和C点作于，于， ∴ ∵是不等边的中线 ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴B点和C点到的距离相等． 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直； (2)见解析； (3)“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【分析】（）根据题意写出答案即可； （）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“”可证明，得到，利用“”可证明，即可证明“筝形”的对角线互相垂直； （）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式； 本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直； （2）已知：四边形是“筝形”，，，对角线相交于点． 求证：．    证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴“筝形”的面积等于对角线积的一半． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1为什么要证明 分层练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列结论不一定正确的是（   ） A．邻补角的平分线互相垂直 B．平行于同一直线的两条直线互相平行 C．相等的角是对顶角 D．能被4整除的数就能被2整除 3．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 4．（20-21八年级·全国·假期作业）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（　　） A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿 5．下列结论推理合理的是（    ） A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）检验数学结论是否正确的常用方法有 、 和 ． 7．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 8．（22-23八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ． 9．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是 打破的． 10．当时，代数式；当时， ；当时， ；当时， ．因此，小明推断，不论取任何正整数，的值都是 ，这个推断是 的．（填“正确”或“错误”） 一、填空题 1．有观察下列等式：①，②，③……若字母n表示为正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来： . 2．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 3．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： ． 二、解答题 4．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）证明命题“全等三角形的对应角角平分线相等”是真命题．（请补全图形、填空并证明）    已知：如图________和分别是和的平分线． 求证：_________． 证明： 5．证明“全等三角形的对应角平分线相等” 命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整． 图形：如图所示 已知： 求证： 证明： 6．（24-25八年级上·上海·期中）求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 学科网（北京）股份有限公司 $$