精品解析：云南省昆明市五华区2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二、三章占40%，第四章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 幂函数的图象过点，则（ ） A. 64 B. 16 C. 8 D. 2 3. 函数（，且）的图象过定点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. “关于的一元二次方程有两个不相等的正根”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知一容器中有A，B两种菌，为A菌的个数，为B菌的个数，且在任何时刻A，B两种菌的个数均满足.若分别用和来表示A菌、B菌个数的指标，则当时，（ ） A. B. C. D. 7. 函数递增区间是（ ） A B. C. D. 8. 已知，则函数有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值6 D. 最小值8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是上的增函数 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 的值域是 11. 已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值是 D. m越大，的值越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买吨.若每次的运费为5000元，一年的储存费用为元，则每次购买________吨原材料，总费用（运费和储存费之和）最低，且最低的总费用为_________万元. 13. 已知函数定义域是，则的取值范围是________. 14. 已知函数（，且）的值域为，则的最大值是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，用表示. 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 17. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 18. 已知指数函数，函数. （1）求的值； （2）判断的单调性并用定义法证明你的结论； （3）求关于不等式的解集. 19. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且在上的值域为（是常数），则称为比例精灵函数，为比例精灵值. （1）判断是否是比例精灵函数.若是，求出比例精灵值；若不是，请说明理由. （2）若是比例精灵值为1的比例精灵函数，求满足条件的区间. （3）若定义在上的函数是比例精灵值为2的比例精灵函数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二、三章占40%，第四章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集和补集的定义即可得出答案. 【详解】由题意可得，则. 故选: C. 2. 幂函数图象过点，则（ ） A. 64 B. 16 C. 8 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得，进而代入求值即可. 【详解】由题意可得，即，则， 则，故. 故选：D. 3. 函数（，且）的图象过定点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质求解. 【详解】由指数函数的性质可知的图象过定点，则，，故. 故选：B. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除C，D；当时，排除B，从而得出答案. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，排除C，D； 当时，，则，排除B， 故选：A. 5. “关于的一元二次方程有两个不相等的正根”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若关于的一元二次方程有两个不相等的正根，设两根为， 则，即，故充分性成立； 当，时，， 则关于的一元二次方程无实根，故必要性不成立； 故“关于的一元二次方程有两个不相等的正根”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 6. 已知一容器中有A，B两种菌，为A菌的个数，为B菌的个数，且在任何时刻A，B两种菌的个数均满足.若分别用和来表示A菌、B菌个数的指标，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以，即. 因为，所以，则. 故选：D. 7. 函数的递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，则， 解得，即的定义域为. 设，则. 因为在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增. 故选：A. 8. 已知，则函数有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值6 D. 最小值8 【答案】B 【解析】 【分析】先把化成，再结合基本不等式求和的最大值，过程中要注意的取值范围. 【详解】因为. 因为，所以，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，则函数有最大值. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断A选项的真假；结合不等式的性质，可判断B选项的真假；结合对数函数的单调性，可判断C选项的真假；利用反例，可说明D选项是错误的. 【详解】因为是上的增函数，且，所以，则A正确. 因为，所以. 因为，所以，则B正确. 因为是上的增函数，且，所以，则C正确. 当，时，，. 因为，所以，则D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 是上的增函数 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 的值域是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数函数的性质判断A；由判断B；利用奇函数的定义判断C；由判断D. 【详解】因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数，则A正确. 因为，，所以， 所以的图象不关于直线对称，则B错误. 由题意令，其定义域为， 所以， 所以是奇函数，即是奇函数，则C正确. 因为，所以D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值是 D. m越大，的值越大 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出的大致图象，结合图象逐项判断. 【详解】解：画出的大致图象，如图所示： 由图可知，则A错误. 因为，所以，， 所以，，则B正确. 因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，则C正确. 由图可知，则在上单调递减. 因为m越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买吨.若每次的运费为5000元，一年的储存费用为元，则每次购买________吨原材料，总费用（运费和储存费之和）最低，且最低的总费用为_________万元. 【答案】 ①. 10 ②. 10 【解析】 【分析】由题意可得出函数解析式，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得总费用：，， ∴（元）， 当且仅当，即时，等号成立. 即每次购买10吨原材料，总费用最低，且最低的总费用为10万元． 故答案为：10；10. 13. 已知函数的定义域是，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知在上恒成立，分与两种情况求解即可. 【详解】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数（，且）的值域为，则的最大值是________ 【答案】4 【解析】 【分析】分两种情况讨论，结合单调性求出指数型函数与二次函数的值域，进而得到不等式，解出即可. 【详解】当时，则在上单调递减，此时， 而开口向下，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以； 当时， 则在上单调递增，此时， 而开口向下，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减， 此时， 所以要使值域为，则， 解得：，则的最大值是4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，用表示. 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质计算； （2）根据对数的运算性质及换底公式求解. 【详解】（1） . （2）因，，所以，， 则 . 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义在上的奇函数的概念，可得和时，函数的解析式. （2）解不等式组或可得不等式的解集. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，，则. 因为是奇函数，所以. 故（或）. 【小问2详解】 不等式等价于或， 解得或. 故不等式的解集是. 17. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1）5 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据得，再由，结合基本不等式求最小值，注意要分析等号成立的条件. （2）由得，再根据“1”的应用，，结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 因，，且，所以，所以， 则. 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 则，即， 故的最小值是5. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即， 故的最小值是9. 18. 已知是指数函数，函数. （1）求的值； （2）判断的单调性并用定义法证明你的结论； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的概念求解； （2）利用单调性的定义判断并证明； （3）利用对数函数的单调性及的单调性求解不等式. 【小问1详解】 由题意可得 解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 则，则是上的减函数，证明如下： 设任意的，且， 则. 因为，所以，所以， 又， 所以，即， 则是上的减函数. 【小问3详解】 因为是上的减函数， 所以不等式等价于不等式. 令，得，解得. 由（2）可知是上的减函数，则， 解得，即原不等式的解集为. 19. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且在上的值域为（是常数），则称为比例精灵函数，为比例精灵值. （1）判断是否是比例精灵函数.若是，求出比例精灵值；若不是，请说明理由. （2）若是比例精灵值为1的比例精灵函数，求满足条件的区间. （3）若定义在上的函数是比例精灵值为2的比例精灵函数，求的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据比例精灵函数的定义及一次函数的性质求解； （2）根据比例精灵函数的定义及的单调性求解； （3）根据解析式可判断在上是增函数，由比例精灵函数的定义把问题转化为“关于的方程在内有两个不同的实根”，设，然后利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 假设是比例精灵函数，则存在区间，使得的值域为. 因为是上的增函数，所以解得， 则不存在区间，使得的值域为，即假设不成立， 故不是比例精灵函数. 【小问2详解】 因为是比例精灵值为1的比例精灵函数， 则存在区间，使得的值域为. 因为在和上单调递增， 所以是上的增函数. 所以 解得即所求区间为. 【小问3详解】 设， 因为和在上都是增函数， 所以在上是增函数. 因为在是增函数，所以在上是增函数. 因为是比例精灵值为2的比例精灵函数， 所以存在，使得的值域为， 即 所以关于的方程在内有两个不同的实根， 则关于的方程在内有两个不同的实根， 即关于的方程在内有两个不同的实根. 设，则. 设. 因为，所以. 因为，，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，解得， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$