精品解析：浙江省南太湖联盟2024-2025学年高一上学期第二次联考（12月）数学试题

2024学年第一学期“南太湖”联盟第二次联考 高一数学学科试题卷 命题学校：中山中学 审核学校：太湖高中 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若全集，则（ ） A. B. C. D. 2 若，则（ ） A. 1 B. 5 C. 8 D. 27 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在的奇函数满足①；②，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列四个函数中，定义域与值域相同的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B C. 若，则 D. 若，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为__________ 13. ，恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 已知，对正整数，如果满足：为整数，则称为“好数”，由区间内所有“好数”组成的集合记为，则集合__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2） 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 17. 如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中与发射的方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 18. 已知函数，. （1）判断函数奇偶性并证明； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若实数，满足，求的取值范围. 19. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； （2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. （3）若函数具有以下性质： ①定义域为， ②在其定义域内单调递增， ③，都有. 函数，求使不等式成立实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期“南太湖”联盟第二次联考 高一数学学科试题卷 命题学校：中山中学 审核学校：太湖高中 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 5 C. 8 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由内到外依次将自变量代入分段函数求值即可. 【详解】因为，，所以. 故选：C. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，即可判断满足充分性，再利用特值法，得到不满足必要性，即可得到答案. 【详解】因为，所以，满足充分性. 当时，满足，不满足，所以不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于，，，取特值即可判断；对于，利用作差法即可判断. 【详解】对于，令，，但，故错误； 对于，令，，但，故错误； 对于，令，，，， 所以，， 所以，故错误； 对于，， 又，所以，， 所以，即，故正确. 故选：. 5. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出在间阴影部分区域表示的角的范围，再写出终边落在阴影部分的区域内的任意角的集合. 【详解】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 6. 向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案． 【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件； 由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓， ∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A、C不满足条件，而B满足条件. 故选：B． 7. 已知定义在的奇函数满足①；②，且，则的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性与奇偶性的判定分析得在上单调递减，且为偶函数，从而将问题转化为，利用的单调性和奇偶性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，且， 不妨设，则， 所以，即， 令，则，故在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 则为偶函数， 因为，所以， 所以由，得，即， 所以，则，解得或. 故选：A 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为、与的图象的交点问题，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式，求出的取值范围，可判断A；根据时，有，可判断B；利用配方法，可判断C；利用对数函数的性质，可判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，则， 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为， 所以不存在使得，故A错误； 对于B，当时，可得，所以，，故B正确； 对于C，因为， 所以命题，为真命题，故C正确； 对于D，当时，，所以命题，为假命题，故D错误. 故选：BC. 10. 下列四个函数中，定义域与值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的性质，逐一分析各选项中对应函数的定义域与值域即可得解. 【详解】对于A，易得的定义域为， 而，则，即其值域也为，故A正确； 对于B，的定义域为，且，即值域为，故B错误； 对于C，易得的定义域为， 而，则其值域也为，故C正确； 对于D，，而， 显然当时，，则的值域必与不相同，故D错误； 故选：AC. 11. 关于函数，实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先将函数写成分段函数的形式，画出函数图象，数形结合可判断A；结合及基本不等式判断B；再结合的范围确定的范围，可判断C和D. 【详解】因为， 当时，则，当时，则， 所以的图象如下所示： 对于A，因为实数，满足，且， 即与的图象有两个交点，由图可知，故A正确； 对于B，因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，即，则， 所以，即，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，则，即，又，即， 所以，即， 又，所以，所以， 则， 又， 所以， 所以，即，故C错误； 对于D，由C选项知， 所以当时，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式即可得解. 【详解】因为扇形的半径为4，弧长为， 所以该扇形的圆心角为. 故答案为：. 13. ，恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将恒成立问题转化为求最小值问题，利用基本不等式求出，从而得到，求解即可. 【详解】因为，恒成立，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，对正整数，如果满足：为整数，则称为“好数”，由区间内所有“好数”组成的集合记为，则集合__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到即可求解. 【详解】因为，所以= =， 因为为整数， 所以区间内的“好数”为7,25,79. 所以集合， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2） 【答案】（1）4 （2）2 【解析】 【分析】（1）由指数运算性质化简求值； （2）由对数运算性质及指对互化化简求值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求出集合和，再根据交集的定义求解即可. （2）由条件可知，再分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 或， 当时，， 所以或； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或， 解得或， 综上实数的取值范围为或. 17. 如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中与发射的方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 【答案】（1）千米 （2）飞行物的横坐标不超过千米时，炮弹可以击中它 【解析】 【分析】（1）求炮的最大射程即求与横轴的交点，求出后利用基本不等式求解； （2）由一元二次方程根的判别式求解即可. 【小问1详解】 因为，令， 得，不合题意舍去，另一个根为， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以炮的最大射程为千米； 小问2详解】 飞行物的横坐标不超过千米时，炮弹可以击中它，理由如下： 因为飞行物的横坐标，即， 所以，即， 因为炮弹可以击中，所以关于的方程有正根， 所以，所以， 此时， 所以飞行物的横坐标不超过千米，炮弹可以击中它. 18. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若实数，满足，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）在上单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）利用定义证明单调性即可； （3）根据求出，的关系，代入转化为关于的表达式，利用换元法求值域即可. 【小问1详解】 由得，解得， 所以函数的定义域为， 又，所以奇函数； 【小问2详解】 的定义域为，对任意的，且， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 由（，）， 所以，即，整理得， 所以 ， 因为，令，则， 令，， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 19. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； （2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. （3）若函数具有以下性质： ①定义域为， ②在其定义域内单调递增， ③，都有. 函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据，然后换元，即可证明结论； （2）根据为奇函数，求出，，然后发现规律，即可求解； （3）根据，得到，然后将代入并整理得到，根据单调性列不等式组，求解的取值范围即可. 【小问1详解】 设， 由已知得，即， 设，所以， 所以，即； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 因为为奇函数，所以， 所以， 解得， 所以图象的对称中心为， 所以， 即，，， ， 所以 ； 【小问3详解】 因为，， 所以， 因为，都有，所以， 所以， 整理得，即， 因为函数的定义域为， 所以的定义域为， 因为在内单调递增，所以在内单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：对称性常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$