数学（新八省通用01）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新八省通用）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C B D C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．8 13． 14． 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由题意可知：平面∥平面， 且平面平面，平面平面， 所以. （2）由题意可知：，平面， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量， 则， 令，则， 可得为平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则， 令，则， 可得为平面的一个法向量； 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．（本小题满分15分） 【解】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件． 由题意知，， 所以 ． （2）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4． ，， ， ， ， 故的分布列是 0 1 2 3 4 ． 18．（本小题满分17分） 【解】（1）设椭圆的标准方程为：， ， 椭圆的标准方程为：. （2）方法一：点差法： 设，则①， 又在椭圆上，则，， 两式相减得：， 即：②， 由①②得，. 而. 方法二：椭圆方程代换： 设，直线， ①， ②， 又，即③， 由①②③得，； 方法三：联立方程： 设，直线， ①， 联立方程得，， ②， 由①②得，，则. 又， . （3）设，先求椭圆在点处的切线的方程. 方法一：根据判别式求解 椭圆在点处的切线，设， 联立方程得，， ， ， ， . ，即. 同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点.    方法二：导数的几何意义： . 当点在时，. ，则切线斜率， ， 即.当点在时，同理可得. ，同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）因为，由变换的定义， 得. 所以. （2）对于数列， 所以. 因为数列为数列，所以. 对于数列，令， 则对于数列中相邻的两项， 若，则；若，则. 记中有且个，则有个1， 则. 因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同， 所以不存在符合题意的数列. （3）首先证明. 对于数列，有， ， . 因为， ， 所以，故. 其次，由数列为数列可知，，解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次. 则数列中的个数为时，符合题意的数列都有个， 所以数列的个数为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新八省通用）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 5．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A．2 B． C． D． 6．展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知点为函数和图象的交点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的部分图象如图所示，则（    ）    A．的最小正周期为 B．的图象可由的图象向右平移个单位得到 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 11．已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．，，成等差数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为 13．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 ． 14．定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 17．（本小题满分15分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. (1)求该选手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 18．（本小题满分17分）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； (3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 19．（本小题满分17分）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列， (1)若数列，写出，并求. (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由. (3)若数列满足，求数列的个数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新八省通用）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 5．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A．2 B． C． D． 6．展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知点为函数和图象的交点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的部分图象如图所示，则（    ）    A．的最小正周期为 B．的图象可由的图象向右平移个单位得到 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 11．已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．，，成等差数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为 13．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 ． 14．定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 17．（本小题满分15分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. (1)求该选手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 18．（本小题满分17分）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； (3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 19．（本小题满分17分）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列， (1)若数列，写出，并求. (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由. (3)若数列满足，求数列的个数. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新八省通用）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选D. 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选D. 3．若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为， 则有，解得.故选：C. 4．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, 另解：.故选：B 5．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，令圆锥的高为，底面圆的半径为，则圆柱的高， 所以，根据侧面积相等有，即， 综上，圆柱体积，圆锥体积， 所以，故选D 6．展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个. 所以，总的选取方法数目就是. 每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数. 故选：C. 7．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又，即，则， 所以， 故，故选D 8．已知点为函数和图象的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知方程，即的根为. 因为，所以，所以，且为方程的根. 令，则，所以在上单调递增. 又，所以，即，所以. 故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的部分图象如图所示，则（    ）    A．的最小正周期为 B．的图象可由的图象向右平移个单位得到 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】由图可知，，周期，则，故A正确； 由，得，即， 解得，，即，； 因为，所以，则； 对于B，的图象向右平移个单位得 ，故B正确； 对于C，由，得，根据正弦函数的图象可知， 和，即和是函数的两个极值点，故C错误； 对于D，由，得，则，此时，则在区间上的最大值为，故D正确； 故选：ABD 10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 【答案】ACD 【解析】A：当时，因为，所以，故A正确； B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点） 当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为， 代入双曲线方程为，解得，此时弦长为， 由于不一定等于，故B错误； C：若满足的直线恰有一条， 由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交， 所以， 此时，故C正确； D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交， 所以，所以， 又，所以，故D正确； 故选：ACD. 11．已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．，，成等差数列 D． 【答案】ACD 【解析】函数的定义域为R，由为偶函数，得，则， 由为奇函数，得，则， 于是，即， 对于A，，是周期为4的周期函数，A正确； 对于B，由，得的图象关于点对称，B错误； 对于C，，由，得， 因此，，成等差数列，C正确； 对于D，，因此 ，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为 【答案】8 【解析】田径队运动员的总人数是，要得到14人的样本，占总体的比例为， 于是应该在男运动员中随机抽取(名)， 13．如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 ． 【答案】 【解析】由题意，， 则，则或， 当时，由于，则， 又，所以，不符合题意； 当时，由于，则，又， 在中，由正弦定理得，， 则，解得. 14．定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，， 所以曲线（其中）的曲率 ， 所以， 由，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.    (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解】（1）由题意可知：平面∥平面， 且平面平面，平面平面， 所以. （2）由题意可知：，平面， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量， 则， 令，则， 可得为平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则， 令，则， 可得为平面的一个法向量； 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【解】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 17．（本小题满分15分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. (1)求该选手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 【解】（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件． 由题意知，， 所以 ． （2）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4． ，， ， ， ， 故的分布列是 0 1 2 3 4 ． 18．（本小题满分17分）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； (3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 【解】（1）设椭圆的标准方程为：， ， 椭圆的标准方程为：. （2）方法一：点差法： 设，则①， 又在椭圆上，则，， 两式相减得：， 即：②， 由①②得，. 而. 方法二：椭圆方程代换： 设，直线， ①， ②， 又，即③， 由①②③得，； 方法三：联立方程： 设，直线， ①， 联立方程得，， ②， 由①②得，，则. 又， . （3）设，先求椭圆在点处的切线的方程. 方法一：根据判别式求解 椭圆在点处的切线，设， 联立方程得，， ， ， ， . ，即. 同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点.    方法二：导数的几何意义： . 当点在时，. ，则切线斜率， ， 即.当点在时，同理可得. ，同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 19．（本小题满分17分）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列， (1)若数列，写出，并求. (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由. (3)若数列满足，求数列的个数. 【解】（1）因为，由变换的定义， 得. 所以. （2）对于数列， 所以. 因为数列为数列，所以. 对于数列，令， 则对于数列中相邻的两项， 若，则；若，则. 记中有且个，则有个1， 则. 因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同， 所以不存在符合题意的数列. （3）首先证明. 对于数列，有， ， . 因为， ， 所以，故. 其次，由数列为数列可知，，解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次. 则数列中的个数为时，符合题意的数列都有个， 所以数列的个数为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$