专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析（9大题型）（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析 目录 01 模拟基础练 2 题型一：直接利用单调性 2 题型二：引入媒介值 3 题型三：含变量问题 5 题型四：构造函数 6 题型五：数形结合 7 题型六：特殊值法、估算法 9 题型七：放缩法 12 题型八：同构法 16 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 17 02 重难创新练 19 题型一：直接利用单调性 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】指数函数，为减函数， ∴， ∵幂函数为增函数， ∴， ∴， ∵对数函数为减函数， ∴，即， ∴. 故选：A. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】指数函数在上单调递减， 因为，所以，即； 幂函数在上单调递增， 因为，所以，即，即， 综上：， 故选：D. 3．已知是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A、C，因为，所以，故A，C错误； 对于B、D，由题意知，因为函数是增函数，所以，即， 结合基本不等式，， 因为是增函数，所以，故D正确，B错误； 故选：D. 题型二：引入媒介值 4．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，所以， 又，所以； 又因为函数在上单调递增，所以， 所以. 综上，. 故选：C 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 因为在上单调递增，则， 则，显然， 则， 则，即，结合知. 故选：B. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，， 而， 所以在定义域内单调递减， 故，则错误； ，故错误； 由在第一象限内单调递增，知，故错误； 因为在定义域内单调递减，即，故正确. 故选：. 7．若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得，，， 又，所以. , 所以. 故选:D． 题型三：含变量问题 8．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】令，则，，， 所以，B错误； （注意等号不成立），故，A正确； （注意等号不成立），则，C正确， 由，令且， 则， 由， 因为，故， 综上，，即在上单调递减， 所以，故恒成立，即，D正确. 故选：ACD 9．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由正实数a，b，c，以及，可得， 又，所以． 所以，又，所以， 即，等价于， 构造函数， ， 当时， 故在上递增，从而． 又取时，原式为同样成立， 故CD不正确， 故选：AB 题型四：构造函数 10．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此； 令，求导得，当时，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此， 所以. 故选：C 11．三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 又，所以，即，所以. 故选：D 题型五：数形结合 12．（2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可变形为：，可变形为：，可变形为：， 令，，，，且， 可知分别为函数与，，的交点横坐标， 当时，单调递增且，， ，，这三个函数全部单调递减，且，，，， 由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大， 由图象可知，下降速度最慢，所以最大， ，，时，，所以交点， 故选：B 13．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，由，故， 由与在上单调递增，故在上单调递增， 又，，故，故B错误； 令， 由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点， 由，故， 又， ，故，故C错误； 有，故A错误；，故D正确. 故选：D. 14．（2024·高三·江苏苏州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即，故， 因为，所以， 又，由得，即， 令，， 则，当时，， 故在上单调递减， 所以，所以， 故， 综上，. 故选：D 题型六：特殊值法、估算法 15．（2024·四川眉山·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， 则，，下面比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小，而， 则，所以. 故选：B. 16．（多选题）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，令，其中， 则，所以，函数在上单调递增， 所以，，即，A对； 对于B选项，令，其中， 则，令，则， 所以，函数在上为增函数， 则，故函数在上为增函数， 所以，，即，B对； 对于C选项，因为，则， 所以，，C错； 对于D选项，令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 令，其中， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上单调递增， 又因为，所以，，即， 所以，，即，故，D对. 故选：ABD. 17．若都不为零的实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取，满足，但，A错误； 当，满足，但，B错误； 因为，所以，所以，C正确； 当或时，无意义，故D错误． 故选：C 18．已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，a、b、c是正实数， 所以， 因为，所以， 对于A，若，则，满足题意； 对于B，若，则，满足题意； 对于C，若，则，满足题意； 对于D，若，则，不满足题意． 故选：D． 题型七：放缩法 19．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得 因 ， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 20．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以， 而， 令， 则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 即，所以， , 令， 则， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以， 综上所述，. 故选：A. 21．（2024·广东·二模）已知，，，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以要比较与0的大小关系，只需比较的大小关系， 同理要比较的大小关系只需比较的大小关系， 我们构造函数， 则， 这意味着在是减函数， 从而， 所以，即. 故选：D. 22．（2024·全国·模拟预测）已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， ，而， 所以，得， 令，则， 所以在上递减， 因为当时，，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：C 23．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：因为在上单调递增， 且，可得，故A错误； 对于选项BC：令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 即，且，可得，故B错误； 因为，则，即， 且，可得，故C错误； 对于选项C：因为表示点与坐标原点之间连线的斜率， 结合图象可知：，故D正确； 故选：D. 24．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，求导得，即函数在上单调递减， 则，即，因此； 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即，因此， 所以. 故选：B 题型八：同构法 25．（2024·高三·浙江·开学考试）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 函数是正实数集的上的增函数， 因为，因此，显然， 因此选项A不正确； 当时，， 函数是正实数集的上的增函数， 因为，因此，显然， 因此选项B不正确； 因为，所以 由， 构造函数，显然该函数单调递增， 由，因此选项C不正确，选项D正确， 故选：D 26．（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得 因，则有即（*） 设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：. 故选：B. 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 27．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，， 设，， 则， 其中， 令，则， 当时，，∴在上单调递减，， ∴当时，，， 在上单调递增， ∴，即，∴有. 对于与，， 将泰勒展开，得， ， ∴. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. 28．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， 综上，． 故选：B 29．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， . 综上，． 故选：A 1．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，， 则，，， 而，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，，即. 故选：B. 2．设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，且， 构造函数，可得， 当时，，单调递减， 又由，故，即. 选选：C. 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 又， 因为函数，在上单调递减，且， 又因为， 所以，所以，即，所以， ，即． 故选：C 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值，则，， 故． 故选：D 5．（2024·高三·四川·期中）已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，令，则， 由，故为偶函数， 当时，在上递增， ， 因为， 且， 所以， 所以， 所以, 所以 即. 故选：C 6．（2024·高三·山东淄博·期中）设， ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据，可得， 由是上的增函数，可得，即． 因为，是上的增函数， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，可得． 综上所述，， 故选：D． 7．（2024·高三·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在定义域内单调递减， 可得，即； 因为在定义域内单调递增， 可得，即； 且在定义域内单调递减， 可得，即； 综上所述：. 故选：B. 8． 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，且， 由函数在上为减函数，， 则， 又函数在上为减函数，则， 又函数在上为增函数，则， 因此可得. 故选：C. 9．（2024·高三·重庆·期中）已知实数，且，若函数在上存在零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，易得在上单调递增， 则需，与矛盾，故舍去， 当时，易得在上单调递减， 则需，，故A正确； 由，则，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 10．（多选题）下面比较大小正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据题意可构造函数，则， 由于函数在上单调递增，且， 从而，当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 又，， 所以，，， 即，，，， 故，选项A错； ，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D错. 故选：BC. 11．（多选题）（2024·湖北·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，， ， 令，， 则，在上单调递减， 所以，即，故正确； 因为，所以， 令，， 则，在上单调递减，所以， 即，故正确， 因为，，所以，故正确. 故选：. 12．（多选题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】， 设， 所以， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以时，， 所以，即， 所以，所以,A正确； 令， 则， 当时，，函数在单调递增， 所以， 即，,B错误； 令， 则 , 单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以单调递减, , 即，,C正确； 令， 则， 所以在上单调递减， 所以， 即，,D正确. 故选：ACD. 13．（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由，得， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以 ，所以B错误， 对于C，因为，所以 ，所以C正确， 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：ACD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析 目录 01 模拟基础练 2 题型一：直接利用单调性 2 题型二：引入媒介值 2 题型三：含变量问题 2 题型四：构造函数 3 题型五：数形结合 3 题型六：特殊值法、估算法 3 题型七：放缩法 4 题型八：同构法 5 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 5 02 重难创新练 6 题型一：直接利用单调性 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：引入媒介值 4．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：含变量问题 8．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则一定有（    ） A． B． C． D． 题型四：构造函数 10．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 11．三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型五：数形结合 12．（2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·高三·江苏苏州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 题型六：特殊值法、估算法 15．（2024·四川眉山·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 16．（多选题）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．若都不为零的实数满足，则（    ） A． B． C． D． 18．已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 题型七：放缩法 19．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·广东·二模）已知，，，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·全国·模拟预测）已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 23．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 24．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型八：同构法 25．（2024·高三·浙江·开学考试）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（    ） A． B． C． D． 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 27．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 28．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 29．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·高三·四川·期中）已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·山东淄博·期中）设， ，，则（　　） A． B． C． D． 7．（2024·高三·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8． 若，则（ ） A． B． C． D． 9．（2024·高三·重庆·期中）已知实数，且，若函数在上存在零点，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）下面比较大小正确的有（     ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·湖北·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）设，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$