数学（天津卷01）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

2025年高考第一次模拟考试 高三数学（天津专用）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 6．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．2和－2 B．2和0 C．2和－1 D．和 8．已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为（    ） A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 9．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，，，则 . 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 12．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若抛物线C的准线上一点满足，则的值为 . 13．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 ． 15．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 19．（本小题满分15分）已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，，证明：. 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（天津专用）01·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C A A A B B C D A 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．6 11．28 12．10 13． 14． 15． 3、 解答题：本题共6小题，共75分。 16．（本小题满分14分） 【解】（1）在中，由正弦定理，，， 可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或． 由已知，，互不相等，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； （2）由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：                    又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； （3）由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 18．（本小题满分15分） 【解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则， 四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为， 即，所以椭圆的方程为：. （2）设，联立直线与椭圆， 消去y可得， ，则，， 设PQ的中点为，则，所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以， 又，所以， 又，故即， 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为. 19．（本小题满分15分） 【解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 则，即有， 即，因此，，而，解得，又， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，当时，， 当时， ， ， 所以数列的前项和. （3）由（1）知，，则，有，，， 当时，，当时，，当时，， 即当时，不等式成立， 当时， ， 则， ， 综上得：，. 20．（本小题满分16分） 【解】（1）当时，，所以，得到， 又，所以在处的切线方程为． （2）由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． （3）因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明， 又因为，即证， 令， 即， 注意到， 因为， 则在上单调递减，所以在恒成立， 所以，即满足. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（天津卷）·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12． ____________________ 13． 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学（天津卷）·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13． 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 四、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 20．（16 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（天津卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 6．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．2和－2 B．2和0 C．2和－1 D．和 8．已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为（    ） A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 9．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，，，则 . 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 12．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若抛物线C的准线上一点满足，则的值为 . 13．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 ． 15．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 19．（本小题满分15分）已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，，证明：. 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（天津专用）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以．故选：C． 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，从而，故充分性成立， 若，则，但不一定成立，如取，故必要性不成立， 所以，“”是“”的充分而不必要条件．故选：A． 3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得．故选:A. 4．下列函数中，图象关于原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象关于原点对称，A正确； 对于B，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象关于轴对称，不关于原点对称，B错误； 对于C，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象不关于原点对称，C错误； 对于D，记，定义域为，关于原点对称， 而，故其图象关于轴对称，不关于原点对称，B错误；故选：A 5．已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，所以. 故选：B 6．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解析】m，n是两条直线，，是两个平面， 对于A，若，，，则由面面平行的判定定理得，故A错误； 对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确； 对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误； 对于D，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误． 故选：B. 7．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．2和－2 B．2和0 C．2和－1 D．和 【答案】C 【解析】由题知，得，即函数, 又∵，∴,即， ，故函数的最大值为2，最小值为－1.故选：. 8．已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为（    ） A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 【答案】D 【解析】由题意知a＝1，不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°， 过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，，所以， 代入双曲线方程得，解得b＝1， 所以双曲线的方程为x2－y2＝1， 故选：D. 9．如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长到，到，到， 且，，， 连接，，，得到三棱柱， 则． 延长，，则与相交于点．    因为，所以． 又， 所以，故． 故选：A. 第二部分（选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知a，，，则 . 【答案】6 【解析】，故，，得，，所以. 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 【答案】28 【解析】因为的展开式中二项式系数之和为256， 所以，故，即该二项式为 设其展开式的通项为，则， 当时，即，此时该项为 12．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若抛物线C的准线上一点满足，则的值为 . 【答案】10 【解析】由已知抛物线的准线为，所以，，抛物线方程为， 焦点为，因为直线过焦点，，可设其方程为， 因为，所以在以为直径的圆上，设点， 所以，两式相减得， 设的中点为，则，， 所以是以为直径的圆的圆心，由抛物线定义知，圆的半径为 ， 因为， 所以，解得， 所以， 13．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 【答案】 【解析】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率， 至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率， 所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率. 14．如图，在中，，，为上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵，又， ∴，∴， 又因为三点共线，则，即， ， 的面积为，     ∴， ∴， ∴的最小值为． 15．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，令，则， 因为为增函数，所以当该方程在时无实数根时， ，所以， ①时，时有一个解，所以时，有一个解， 当时，是递减的， 则， 所以时有一个解， 即当时，恰有两个互异的实数解； ②时，在时无解， 此时，即，解得或（舍去）， 所以方程在时有1个解， 即当时，方程只有一个实数解， ③时，在时无解， 则时，， 所以，该方程要在时有2个不等的实数解， 即函数在上有2个不同的零点， 所以，解得， 综上所述，的范围为， 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 【解】（1）在中，由正弦定理，，， 可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或． 由已知，，互不相等，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 【解】（1）由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； （2）由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：                    又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； （3）由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 【解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则， 四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为， 即，所以椭圆的方程为：. （2）设，联立直线与椭圆， 消去y可得， ，则，， 设PQ的中点为，则，所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以， 又，所以， 又，故即， 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为. 19．（本小题满分15分）已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，，证明：. 【解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 则，即有， 即，因此，，而，解得，又， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，当时，， 当时， ， ， 所以数列的前项和. （3）由（1）知，，则，有，，， 当时，，当时，，当时，， 即当时，不等式成立， 当时， ， 则， ， 综上得：，. 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 【解】（1）当时，，所以，得到， 又，所以在处的切线方程为． （2）由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． （3）因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明， 又因为，即证， 令， 即， 注意到， 因为， 则在上单调递减，所以在恒成立， 所以，即满足. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 学科网（北京）股份有限公司 $$