专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析（9大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 5 05 核心精讲·题型突破 11 题型一：直接利用单调性 11 题型二：引入媒介值 13 题型三：含变量问题 15 题型四：构造函数 18 题型五：数形结合 23 题型六：特殊值法、估算法 27 题型七：放缩法 30 题型八：同构法 35 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 40 指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升． 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 指对幂比较大小 掌握指对幂大小比较的方法与技巧 2024年北京卷第9题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2022年新高考I卷第7题，5分 2022年天津卷第5题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2021年II卷第7题，5分 2021年天津卷第5题，5分 预测2025年高考趋势，指对幂比较大小或以小题压轴，预计： （1）以选择、填空题型呈现，侧重综合推理。 （2）构造灵活函数比较大小将成为考查热点。 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 2．（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 5．（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故. 故选：D. 6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故 ，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 8．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 9．（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， ，， . 故选：D. 10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即. 故选：C. 11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 题型一：直接利用单调性 【典例1-1】设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A 【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数. ∵，，故， ∵，，故， ，故， ∴. 故选：B. 利用指对幂函数的单调性判断 【变式1-1】已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 所以， 又，所以，又因为函数在上单调递减， 所以，因为， 所以，综上，. 故选：C. 【变式1-2】已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三角函数线可得：不等式， 则， 又函数为增函数，为减函数， 则， 所以， 综上所述：， 故选D． 1．（2024·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以， 故选：D 2．已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法判断 【答案】A 【解析】函数在上单调递增，且，则由，得， 又，所以. 故选：A 题型二：引入媒介值 【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，则. 故选：A 【典例2-2】三个数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， 所以最大， 因为，所以， 因为，所以，则，所以， 即. 故选：B 寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． 【变式2-1】已知，，，比较，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知， . 故选：B 【变式2-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，， 所以，所以. 故选：A. 1．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，而， 则，又， 所以. 故选：D 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，，， 因为，且在定义域内单调递增， 可得，所以． 故选：D. 3．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，， 所以. 故选：B 题型三：含变量问题 【典例3-1】[新考法]若，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以函数在上单调递增． 因为，所以，即． 同理，由函数在上单调递增，得，即． 因为，所以． 因为，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以． 方法二： 由，令，， 则，，，． 因为，所以． 故选：B． 【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 对变量取特殊值代入或者构造函数 【变式3-1】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A中，因为，可得，又因为，所以， 可得，解得，所以A不正确； 对于B中，由，则，则， 当且仅当，即时，等号成立，因为所以，所以B正确， 对于C中，由函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，则，即， 当且仅当时，等号成立， 因为时，因为，可得， 所以，即，所以C正确； 对于D中，由，所以，可得，所以D正确. 故选：BCD. 【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 则 因为，所以，则， 因为，所以． 故选：A． 1．（多选题）若，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以，则， 又由于，所以，，，则，故B正确； 因为，所以，故C正确； 当，，时，可，故A错误； 当，，时，，故D错误. 故选：BC. 2．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项中，因为，故在R上单调递减，故， 因为在上单调递增，故，综上，，A正确； B选项中，由于，而已知，所以B不正确； C选项中，， 设，则， 设， 则， 所以在上递增，这样，故C正确； D选项中，取，，则，， 又，故，所以D错误. 故选：AC. 题型四：构造函数 【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。 “形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若函数单调递增，则；若函数单调递减，”判断． “数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数． 【变式4-1】[新考法]设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 所以， 因为，，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又因为， 又，，所以，所以在上单调递增， 又，，所以存在使得，所以最大， 因为，所以， ，， 又， . 故选：B． 【变式4-2】已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 则当时单调递减， 故 故进而， 设 由于函数和均为定义域内的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 因此， 故， 故， 因此， 故选：B 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在内单调递增， 则，即， 又因为在内单调递增， 则，，可得； 令，则，， 构建， 则， 可知在上递减，则，即； 综上所述：. 故选：C. 2．若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然，即，而， 设，求导得在上单调递增， 则，即当时，，因此； 设，求导得， 令，， 则函数，即在上单调递增，， 即函数在上单调递增，于是，则当时，， 从而，而，即有， 所以. 故选：A 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以； 因为函数单调递增，，所以，即，则，所以； 构造函数，则， 令，则， 显然在上单调递增，所以， 故在上单调递增，所以，所以在上单调递增， 从而，故有，整理得， 所以，故． 故选：B 题型五：数形结合 【典例5-1】函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即， 令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以. 故选：. 【典例5-2】实数满足，，，则，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，令，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 由条件可知， 且，，，故有， 如下图所示，作出函数简图，可知，由， 故选：D 转化为两函数图象交点的横坐标 【变式5-1】[新考法]已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：C. 【变式5-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，画出的图象， 故为下凸函数， 当时， 所以，． 设，画出图象， 故为上凸函数，当时， 所以， 同一坐标系内画出和的图象， 又在R上单调递减，故，所以． 设，则，在上单调递减， 所以时， 所以，， 所以，同理可得，， 相加得，， 所以． 故选：A 1．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，易知， 设直线l：，作出，，直线l图象， 如图：当时，，， 当时，，， 所以不可能成立， 故选: 2．已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（     ） ①；②；③；④. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【解析】如图所示，设，的中点为， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确； 则，即， 即，故③正确，④错误. 故选：B. 题型六：特殊值法、估算法 【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知、是函数图象上不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意不妨设，因为是增函数，所以，即． ， 则，即，A正确，B错误； 取，，则，，，C错误． 取，，则，，，D错误． 故选：A. 【典例6-2】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又，故不能确定， 反例为：，，此时，，A错误， 因为，所以，又函数为增函数， 所以，故，B正确， 当时，，C错误， 当时，，D错误. 故选：B. 估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。 【变式6-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，． 令，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，则，故排除A，B． 因为，，， 所以，所以， 所以． 故选：D． 【变式6-2】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得， 令函数，易知在上单调递增， 由可得，即可得； 对于A，由，可得，故，故A正确； 对于B，分别取，，则故B错误； 对于D，分别取，，，故D错误； 对于C，因为，，则 ，故C正确. 故选：AC． 1．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以， ，则，， 所以，所以. 故选：A. 2．已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数性质知，由指数函数性质知， 由指数函数性质知，所以． 故选：A． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， ， ， ， . 故选：D. 题型七：放缩法 【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为， 所以，即， 所以，且， 所以， 又因为， 所以， 综上，， 故选：D. 【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可构造函数， 则，令，解得， 因此可得当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 可知在处取得极小值，也是最小值，所以， 即，故，即 当时，有，所以，可得； 令， 则， 故在上单调递增， 可得，即， 取，则，所以，可得； 综上可得，. 故选：A 放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。 【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 【变式7-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造，， 则对恒成立，则在单调递增， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 则，； 下面比较b和c的大小： 设，，， 设，，， 易知在上单调递增，则， 所以在上单调递减，， 即在上恒成立，则在上单调递减， 由，则，即，则， 综上所述， 故选：D. 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，， ， ，等号取不到， ， ， ， ， 令， ∵，∴单调递减，且， ，可得 于是 ， ， 故选：A. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因， 故，即； 又， 故，即. 故有即. 故选：A. 3．设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则， 所以在上单调递增， 从而，即，， 所以，， 从而当时，， ， 所以. 故选：B. 题型八：同构法 【典例8-1】[新考法]已知，且，则（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 【答案】C 【解析】令，则， 当时，，， 故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故零点，使得， 所以. 故选：C 【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，大小不确定 【答案】B 【解析】由可知，， 移项可得， 即， 当时，，此时，即，故A错，B对， 当时，，此时，即，故A错，B对， 当时，，此时，即，故C，D错， 故选：B. 同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。 【变式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，当时，，因为，所以A错误； C选项，，由，得， 令，则， ，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，当时，， 因为，由，得，即，所以，选项C正确； B选项，由C知，则，即，所以B错误； D选项，因为，所以，得，D错误. 故选：C. 【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（    ） A．，使 B．，使 C．，有 D．，有 【答案】ABC 【解析】由 得， 令，则分别在和上单调递增， 令，则分别在和上单调递增， 当时，的值域为，当时，的值域为， 所以存在，使得； 同理可得，存在，使得， 因此，使，故选项A正确． 令，则方程 可化为， 由换底公式可得， 显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确． 当时，因为，所以． 又在上单调递增，所以． 因为， 令，则在上单调递增． 因为，所以， 从而，所以． 综上所述，，故选项C正确． 当时，因为，所以． 又在上单调递增，所以． 因为． 令，则在上单调递增， 因为，所以， 从而，所以． 综上所述，，故选项D错误． 故选：ABC． 1．若正数，，满足（为自然对数底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，显然在上单调递增， 又，，为正数，所以，即，所以， 令，则在上单调递增，又，即，所以， 综上可得. 故选：D 2．已知正数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，即，所以， 令，， 当时，，在单调递增， 所以，所以， 则有，所以； 由得，即， 所以， 因为，所以，即，故． 故选：A. 3．（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】等式，等号两边同除以， 可得， 所以， 所以， 所以， 构造函数，则， 显然，函数在定义域内是增函数， 所以，即． 而，而， 故，故，故D正确. 故选：AD． 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 【典例9-1】[新考法]若，则满足的大小关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以. 设， 在上单调递增， 所以，所以当时，， 则，即. 设， ， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以当时，，即， 所以， 而，所以，所以. 故选：A 【典例9-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用帕德逼近，得， ，，综上，． 故选：B 帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。 【变式9-1】已知，则（    ） 【答案】A 【解析】设，则，， ，计算得，故选A． 【变式9-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用帕德逼近可得， 综上，． 故选：B． 1．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ，故选B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 41 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 5 05 核心精讲·题型突破 6 题型一：直接利用单调性 6 题型二：引入媒介值 7 题型三：含变量问题 8 题型四：构造函数 9 题型五：数形结合 10 题型六：特殊值法、估算法 11 题型七：放缩法 12 题型八：同构法 13 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 14 指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升． 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 指对幂比较大小 掌握指对幂大小比较的方法与技巧 2024年北京卷第9题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2022年新高考I卷第7题，5分 2022年天津卷第5题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2021年II卷第7题，5分 2021年天津卷第5题，5分 预测2025年高考趋势，指对幂比较大小或以小题压轴，预计： （1）以选择、填空题型呈现，侧重综合推理。 （2）构造灵活函数比较大小将成为考查热点。 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 题型一：直接利用单调性 【典例1-1】设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 利用指对幂函数的单调性判断 【变式1-1】已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法判断 题型二：引入媒介值 【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】三个数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． 【变式2-1】已知，，，比较，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型三：含变量问题 【典例3-1】[新考法]若，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 对变量取特殊值代入或者构造函数 【变式3-1】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（多选题）若，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：构造函数 【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。 “形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若函数单调递增，则；若函数单调递减，”判断． “数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数． 【变式4-1】[新考法]设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（    ）. A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 题型五：数形结合 【典例5-1】函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】实数满足，，，则，，的大小为（    ） A． B． C． D． 转化为两函数图象交点的横坐标 【变式5-1】[新考法]已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（     ） ①；②；③；④. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 题型六：特殊值法、估算法 【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知、是函数图象上不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。 【变式6-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 1．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型七：放缩法 【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。 【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式7-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 题型八：同构法 【典例8-1】[新考法]已知，且，则（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，大小不确定 同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。 【变式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（    ） A．，使 B．，使 C．，有 D．，有 1．若正数，，满足（为自然对数底数），则（   ） A． B． C． D． 2．已知正数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 【典例9-1】[新考法]若，则满足的大小关系式是（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。 【变式9-1】已知，则（    ） 【变式9-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1．设，则（ ） A． B． C． D． ，则（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 14 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$