精品解析：辽宁省鞍山市普通高中2025届高三上学期第三次月考数学（A）试题

2024—2025学年度上学期月考 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：高考范围（除了概率与统计） 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，复数，则复数z的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以复数的共轭复数还是2. 故选：A. 2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得或， 经检验或时两直线平行． 故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“” 故选：A 3. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（　　） A 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n 【答案】B 【解析】 【详解】解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2（－），所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. 【考查意图】向量线性运算及共线定理. 4. 设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程． 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆的切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. 5. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答. 【详解】依题意，，则， 所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍. 故选：B 6. 定义在上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则函数（ ）. A. 在区间 上是增函数，在区间 是减函数 B. 在区间 上是增函数，在区间 是增函数 C. 在区间 上是减函数，在区间 是减函数 D. 在区间 上是减函数，在区间 是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的对称性和周期性，再判断函数的单调性. 【详解】，关于直线对称， 在区间上是减函数，在区间上是增函数， 又是偶函数，， ， 是周期为2的函数，在区间也是增函数. 故选：B 7. 圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ） A. B. 15cm C. D. 20cm 【答案】B 【解析】 【分析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积, 水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为,列出方程即可得到答案. 【详解】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积. 设玻璃球半径为，即圆柱形玻璃杯的底面半径为 则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为 若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为 所以，解得 故选：B 8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得. 故选：B 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 曲线关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据最小正周期的计算公式，可判定A正确；根据，可判定B错误；根据三角函数的最值，可判定C正确；根据三号函数的对称性，可判定D正确. 【详解】由题意，函数， 对于A，由于的最小正周期，故正确； 对于B，由于，故错误； 对于C，由于，故正确； 对于D，的对称轴为得，当时，， 即关于直线对称，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的最大值为6 C. 的周长为10 D. 存在点P，使得为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程确定a、b、c，即可判断选项A、B、C；当点P在短轴端点时有，判断与是否相等，即可判断选项D. 【详解】由椭圆C：，可得，，则， 对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确； 对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确； 对于选项C，的周长为，故C错误； 对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确． 故选：ABD 11. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得. 【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，，则，D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题，共92分） 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，若，，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由等比的定义结合其性质得出的值. 【详解】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q. 由， ，得，， 所以. 当时，，则； 当时，，则.综上，的值为或. 故答案为：或 13. 若a，b，c，d为实数，且，定义函数，现将的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数的图像，则的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知式子化简，按要求进行变换，即可得到的解析式. 【详解】由题意，， a，b，c，d为实数，且， 在中， ∵的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数 ∴， ∴的解析式为：. 故答案为：. 14. 如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可得平面，则就是与平面所成的角，根据题中条件求解即可. 【详解】∵平面，∴平面． 连接，如图所示，则是在平面上的射影， ∴就是与平面所成的角． 设，则， ∵，∴， ∵，是的中点，∴， ∴， ∵平面，平面，∴， ∴， ∴， ∴与平面所成角的余弦值为 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角B； （2）若的面积为，BC边上的高，求，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 所以，即 由余弦定理可得， 因为，所以 【小问2详解】 由（1）知，，因为BC边上的高，所以， 在中，由正弦定理可得， 即. 因为的面积为， 所以，解得. 在中,由余弦定理,得 ，则 所以的值为，的值为. 16. 如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 【分析】(1)根据已知条件，先证明平面，即可证明； (2)求解二面角，可以建立空间直角坐标系，转化为向量来处理. 【详解】(1)证明：由题意得，，， ，，垂直于底面， ，，，， 可得，所以，故. 由，，，，，得. 又，由，得，所以， 故. 又，因此平面， 因为平面，故. (2)如图，以的中点为坐标原点，分别以射线，为，轴的正半轴， 过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 由题意知各点坐标如下： ，，， ，， 因此，， ，. 设平面的法向量， 所以，即，则； 同理可得，平面的一个法向量， ， 故二面角的余弦值为. 【点睛】求解二面角常用向量法，利用公式(，分别为两平面的法向量)进行求解，注意与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且． （1）求的方程； （2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得的值，进而可得出双曲线的方程； （2）分两种情况讨论：直线轴、直线的斜率存在，在第一种情况下，直接与点的横坐标之积；在第二种情况下，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出，求出点、的横坐标，结合可证得结论成立. 【小问1详解】 解：易知点、、，，， 所以，，解得，，则， 所以，双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：分以下两种情况讨论： ①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即， 设点、， 联立可得， 则，可得，则， 不妨点、分别为直线与直线、的交点， 联立可得，联立可得， 此时，. 综上所述，点与点的横坐标之积为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18. 已知函数，． （1）求曲线在处切线的斜率； （2）求函数的极大值； （3）设，当时，求函数的零点个数．并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得极值； （3）先讨论时，函数的零点个数，再讨论时，利用零点定义将已知转化为讨论函数与的交点个数，研究函数的单调性及最值即可得解. 【小问1详解】 由，知，即切点 求导，则切线的斜率 所以曲线在处切线的斜率为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导， 令，得 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 故当时，函数取得极大值 所以函数的极大值为 【小问3详解】 函数，求导， 当时，，故函数在上单调递增， 又，，所以方程在有且仅有一个根， 即函数在有一个零点. 当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数， 即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数， 求导，令，得或 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 又，，又，所以函数与没有交点， 即函数在上无零点. 综上可知，当时，求函数的零点个数为个. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法： （1）利用导数研究函数的极（最）值，转换为函数的图像与x轴的交点问题，应用分类讨论思想，在含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）参数分离，即由分离参变量，得到，转化为研究与直线的图像的交点问题. 19. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 【答案】（1）5 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论. 小问1详解】 由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列前项和； 【小问2详解】 由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得： 【小问3详解】 要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以， 所以，所以成立 【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期月考 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：高考范围（除了概率与统计） 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，复数，则复数z的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（　　） A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n 4. 设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 6. 定义在上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则函数（ ）. A. 在区间 上是增函数，在区间 是减函数 B. 在区间 上是增函数，在区间 是增函数 C. 在区间 上是减函数，在区间 是减函数 D. 在区间 上是减函数，在区间 是增函数 7. 圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ） A. B. 15cm C. D. 20cm 8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 曲线关于直线对称 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的最大值为6 C. 的周长为10 D. 存在点P，使得为等边三角形 11. 函数满足，则正确的是（ ） A B. C. D. 第II卷（非选择题，共92分） 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，若，，则的值为______. 13. 若a，b，c，d为实数，且，定义函数，现将的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数的图像，则的解析式为______. 14. 如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为_____． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角B； （2）若的面积为，BC边上的高，求，的值． 16. 如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，. （1）求证：； （2）求二面角余弦值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且． （1）求方程； （2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值． 18 已知函数，． （1）求曲线在处切线的斜率； （2）求函数的极大值； （3）设，当时，求函数的零点个数．并说明理由． 19. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$