专题03 图形的相似（9大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题03 图形的相似 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 比例的性质与黄金分割 题型二 平行线分线段成比例 题型三 相似多边形 题型四 相似三角形的判定 题型五 相似三角形的性质 题型六 重心的相关性质 题型七 位似图形相关概念与计算 题型八 位似图形的相关作图 题型九 相似三角形的性质与判定综合压轴 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 比例的性质与黄金分割 ⭐技巧积累与运用 比例的性质：（1）基本性质：如果那么ad=bc； （1）合分比性质：如果那么； （2）等比性质：如果（b+d+……+n≠0），那么 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段，如果，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 (0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值). 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．， B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项调整成时，由于比例改变，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域?（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为6，那么的长度是 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 平行线分线段成比例 ⭐技巧积累与运用 平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等。 平行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度。 1．（24-25九年级上·山西运城·期中）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 相似多边形 ⭐技巧积累与运用 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）小明用放大镜观察一个正多边形，用放大镜看到的正多边形与原正多边形的边长比为．则下列说法不正确的是（    ） A．放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为 B．放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等 C．放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为 D．若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 3．（2024·广东校考二模）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 相似三角形的判定 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的。 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·期中）如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 4．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且．(1)证明：．(2)若，，求的长度． 相似三角形的性质及应用 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的性质1）对应角相等，对应边的比相等；2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则： (1)点燃的蜡烛的火焰高度是多少？(2)若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？                  2．（24-25九年级上·山西运城·期中）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 3．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 重心的相关性质 ⭐技巧积累与运用 ‌重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1‌。这意味着重心到三角形任一顶点的距离是重心到该顶点所对边的中点距离的两倍。‌ 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点是的重心，，则 ． 2．（23-24·四川·渠县九年级期末）如图，AD为△ABC的一条中线，G为△ABC的重心，GEAC交BC于点E，则BE：EC=______． 3．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____． 位似图形相关概念与计算 ⭐技巧积累与运用 1.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。 注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。 1．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B．点、点、点三点在同一直线上 C． D． 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 位似图形的相关作图 ⭐技巧积累与运用 作位似图形的步骤：第1步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第2步：作位似中心与各关键点连线； 第3步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第4步：顺次连接各对应点。 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为．(2)若点P在内部， 且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． (3)在图中找到点M，使得， 写出点M的坐标 ． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标．(2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标．(3)试说明和的面积的关系． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的．(2)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出． (3)设与的周长分别为、，则__________． 相似三角形的性质与判定综合压轴 ⭐技巧积累与运用 熟练掌握相似三角形的性质与判定和相似三角形的基本模型是解决综合压轴题的关键。 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）【问题呈现】(1)如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则________． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．①求的值；②延长交于点，交于点．若，，求的长． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立；(3)若，，求的长．           3．（24-25九年级上·山东济南·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（    ） A．一直变大 B．始终不变 C．一直变小 D．先变大后变小 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，，均在方格纸的格点上，在方格纸内另取格点，，连结，交线段于点．若要使点把线段分成的两条线段，则（   ） A．只有方法对 B．只有方法对 C．方法，都对 D．方法，都错 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）安溪雁塔，位于安溪县城凤城镇的东南面，是县级文物保护单位．如图是安溪雁塔及其部分示意图，已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C．D． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，以点O为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 9．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 10．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，，，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m．(1)直接写出的度数及的长；(2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 11．（24-25九年级上·上海·期中）在中，是边上的高，且满足 (1)证明：是直角三角形．(2)在线段的延长线有一动点E，连接，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．证明： 12．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置；(2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为；(3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）辅助线的功能为题目增加新的条件，使题目思路能够顺利进行下去．下面题目需要添加辅助线，请你解答填空．有一个，在它的三边上（或它（它们）的延长线上）相应地各取一点（如下图所示），如果三点共线，那么 ．    2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C．（1）若，，则 ； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下 3．（23-24九年级下·广东·期中）如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究：(1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 7．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． (1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； (3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 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3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为6，那么的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 依题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：依题意得，，即，解得，，故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象和系数的关系，根据常数m满足且m是1和9的比例中项，可以求得m的值，再根据，即可求得k的值，从而可以写出该一次函数的解析式． 【详解】解：∵常数m是1和9的比例中项，∴，∵，∴， ∵，∴，，， ∴，∴当时，，当时，，则， ∴该一次函数的解析式为或，故答案为：或． 平行线分线段成比例 ⭐技巧积累与运用 平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等。 平行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度。 1．（24-25九年级上·山西运城·期中）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如图，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，则， ∵，∴，即，解得：，故选：D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵，∴，故A不合题意； ∵，∴，故B不合题意；∵，∴，故C不合题意； ∵，不能判断与平行，故D符合题意．故选：D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，即可得出是的中位线，由中位线定理即可得出 ，由平行线分线段成比例即可得出，即可得出点F是的中点，进而可得出． 【详解】解：取的中点H，连接，∵，∴是的中位线，∴，∴， ∵点E是的中点，∴．∴点F是的中点，∴， ∴，故答案为：2． 相似多边形 ⭐技巧积累与运用 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）小明用放大镜观察一个正多边形，用放大镜看到的正多边形与原正多边形的边长比为．则下列说法不正确的是（    ） A．放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为 B．放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等 C．放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为 D．若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键是相似多边形对应边的比相等、面积的比等于相似比的平方，根据以上知识逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为，故原说法错误，本选项符合题意； B. 放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等，故原说法正确，本选项不符合题意； C. 放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为，故原说法正确，本选项不符合题意； D. 若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9，故原说法正确，本选项不符合题意； 故选：A 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点，∵，∴四边形是平行四边形，∴， 同理，四边形是平行四边形，∴，∵，∴， ∴，，∴，，∴， ∴，即同理可得，，∴， ∵，，∴， 同理，，∴，∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴，∴， ∴，且对应角都是，都相等，∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形，∴矩形，， ∴，∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组，故选：C ． 3．（2024·广东校考二模）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【解析】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1;在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 相似三角形的判定 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 注意：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的。 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2）如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， A、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； B、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； C、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·期中）如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理即可求解； 【详解】解：由图可知：， 若，或，则根据“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似‌”可判定，故B、C正确，不符合题意； 若，即，则根据“如果两个三角形的两边对应成比例，并且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似‌” 可判定，故D正确，不符合题意； 不可判定，故A错误，不符合题意；故选：A． 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据题意求得，，再根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，，∴， ∵，∴． 4．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且．(1)证明：．(2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，即可得出，结合，即可得证；（2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴． ∵，∴． （2）解：∵，∴． ∵，，，∴，∴（负值舍去）． 相似三角形的性质及应用 ⭐技巧积累与运用 相似三角形的性质1）对应角相等，对应边的比相等；2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像在光屏上且像距为，蜡烛火焰成倒立的像的高度为，则：                  (1)点燃的蜡烛的火焰高度是多少？(2)若将蜡烛沿着正对小孔的方向靠近小孔移动，光屏位置保持不变，则此时火焰星倒立的像的高度为多少？ 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用；（1）设火焰高度是，根据相似三角形性质，列出比例式，即可求解；（2）设火焰星倒立的像的高度为，根据题意列出比例式，即可求解． 【详解】（1）解：设火焰高度是，根据题意可得，， ∴∴，即解得：， 答：点燃的蜡烛的火焰高度是； （2）解：设火焰星倒立的像的高度为，同理可得 ∴，即解得：． 答：火焰星倒立的像的高度为． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 【答案】米 【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长． 【详解】解：根据题意可得：， 又，，， ，，根据题意可得：， 又，，， ，，， 解得：，经检验，是原分式方程的解， ，，纪念碑的高的长为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵，∴，∴ ∵，，即：，∴． 问题二：由反射特点可知，， ∵∴，，∴，， ∵，∴，∵，，，， ∴，解得，∴，解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差；（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 重心的相关性质 ⭐技巧积累与运用 ‌重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1‌。这意味着重心到三角形任一顶点的距离是重心到该顶点所对边的中点距离的两倍。‌ 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点是的重心，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键．由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到，，，作，交于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出，进而求解即可． 【详解】解：，，点是的重心， ，，，如图，作，交于点G， ，，，， ，，， 在中，由勾股定理得， ，，，，故答案为：12． 2．（23-24·四川·渠县九年级期末）如图，AD为△ABC的一条中线，G为△ABC的重心，GEAC交BC于点E，则BE：EC=______． 【答案】2 【分析】连接BG，延长BG交AC于H，根据重心的性质，得到BG：GH=2，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：连接BG，延长BG交AC于H，如图， ∵G是重心，∴BG：GH=2，∵GEAC，∴BE：EC=BG：GH=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．还考查了平行线分线段成比例的性质． 3．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____． 【答案】18 【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9， ∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18． 【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键． 位似图形相关概念与计算 ⭐技巧积累与运用 1.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。 注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。 1．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的位似中心，理解位似图形的相关概念是解题关键．根据位似变换的定义：对应点的连线交与一点，交点就是位似中心，即位似中心一定在对应点的连线上．据此即可获得答案． 【详解】解：如图，点在对应点和点所在直线上，即两个位似图形的位似中心是点．故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为，把缩小，， ∴点B的对应点的坐标为或，即或．故选：D． 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B．点、点、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，位似图形的性质：两个位似图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行．根据位似图形的性质判断即可． 【详解】解：以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到， 、点、点、点三点在同一条直线上、、， ∴；故选项A、B、D说法正确，不符合题意，选项C说法错误，符合题意；故选：C． 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键． 直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点， ∴和的相似比为，∴和的面积比为， ∵的面积为4，∴的面积是16．故选：D． 位似图形的相关作图 ⭐技巧积累与运用 作位似图形的步骤：第1步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第2步：作位似中心与各关键点连线； 第3步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第4步：顺次连接各对应点。 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为．(2)若点P在内部， 且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ． (3)在图中找到点M，使得， 写出点M的坐标 ． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】本题考查了作图位似变换，位似图形的性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以2得到点、、的坐标，然后描点即可；（2）每一个点纵坐标都乘以2得到得到内对应点，据此求点的坐标．（3）找到，的垂直平分线交点即为点，观察图形写出点M的坐标． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）解：每一个点纵坐标都乘以2得到得到内对应点， ∴按（1）变化后的对应点的坐标，故答案为：； （3）解：找到，的垂直平分线交点即为点，由图形可得，故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标．(2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标．(3)试说明和的面积的关系． 【答案】(1) (2)见解析，(3)与的面积比为 【分析】（1）根据图形写出坐标即可；（2）取 DE的中点 M，DF的中点 N，连结 MN，则就是以 D 为位似中心，的位似图形，且 与 的相似比为 ；（3）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，由图知，M、N两点的坐标分别为． （3）解：∵，， ∴．同理可求：，，∴， ∴，∴与的面积比为． 【点睛】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，位似作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的．(2)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出． (3)设与的周长分别为、，则__________． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】本题考查了作图：位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，也考查了轴对称变换． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到. ，相似比为.即周长比为.故答案为： ． 相似三角形的性质与判定综合压轴 ⭐技巧积累与运用 熟练掌握相似三角形的性质与判定和相似三角形的基本模型是解决综合压轴题的关键。 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）【问题呈现】(1)如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则________． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．①求的值；②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)①；② 【分析】(1)证明，从而得出结论；(2)证明，进而得出结果； (3)①先证明，再证得，进而得出结果；②根据题意求出，利用勾股定理求出，，，进而求出，在①的基础上得出，进而，证明，推出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，∴， ∴，∴，∴，∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形，∴，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：①∵，设， ∴．∴， ， ∴，∴，∴； ②由①得：，，，则，∴， ∵，∴，在中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立；(3)若，，求的长．           【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，邻补角的定义得到，于是得到，证明，根据全等三角形的性质即可的结论； （2）证得，根据相似三角形的性质得到，即； （3）过点D，E分别作，垂足分别为H，G，利用含30度的直角三角形及勾股定理求出，进而得到，证明，得到，即可求出，进而得出结果． 【详解】（1）证明：∵是中线， ∴是的角平分线，∴， ∵， ∴，∴， 在与中，，∴，∴； （2）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，即； （3）解：如图2，过点D，E分别作，，垂足分别为H，G， ∵，，由（2）知，∴， ∵， ∴， ∵，，∴， ∴，,∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形， 得到，，再证明，即可求出的值；（3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值；（4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形，，，， ，，，， 在和中，，，； （2）解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形，， ，，四边形是矩形， ，，， ，，，， 又，，； （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，，， ，， ，， ，，，， 又，； （4）解：如图，连接、，由折叠的性质可知，，，，， ，，即， 在和中，，，， 同（2）理可得：，即，， 作点关于的对称点，连接、、， ，，，， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ，有最小值为，的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．故选：D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（    ） A．一直变大 B．始终不变 C．一直变小 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，，均在方格纸的格点上，在方格纸内另取格点，，连结，交线段于点．若要使点把线段分成的两条线段，则（   ） A．只有方法对 B．只有方法对 C．方法，都对 D．方法，都错 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：方法，连接，，由网格可知，，，∴，∴； 方法，连接，，由网格可知，，， ∴，∴；综上可知：方法，都对，故选：． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）安溪雁塔，位于安溪县城凤城镇的东南面，是县级文物保护单位．如图是安溪雁塔及其部分示意图，已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，代数式求值，倒数等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理可得，然后求得，进而可得，再求倒数即可得出答案． 【详解】解：，， ，，，故选：． 5．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目告诉的值，可以过点作的平行线，得到的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到，可以求出的值．过点作的平行线，得到的中点，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图：过点作交于，是边上的中线，， ，．．故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由与的对应边不成比例，可知与不相似，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，，，，故A不符合题意； 如图2，，，，故B不符合题意； 如图3，，，，，，， ，，故C不符合题意； 如图4，与的对应边不成比例，与不相似，故D符合题意，故选：D． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，以点O为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，，证明，据相似三角形的性质得到，判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到， ∴，，，故选项A、C、D说法正确，不符合题意； ∵，∴，∴，∴，故选项B说法错误，故选：B． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，点P是的黄金分割点，且，设，则，则，即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】由题意知，点P是的黄金分割点，且，设，则， ∴，∴，化简得：，故答案为：． 9．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比(2) 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可；（2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案．本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质；故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设，则，，， ． 10．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，，，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长；(2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）通过，即可求得，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求解的度数；（2）过点作于点H，过点E作于点I，由，求得，则，根据直角三角形的性质得到，故当时，风叶转动时点到地面的最小距离为； 【详解】（1）解：如图， 由题意得，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴； （2）解：过点作于点H，过点E作于点I， 在中，由勾股定理得；同理可证明：， ∴，∴，∴，由题意得，，而，∴， ∵在中，，∴， ∴当时，风叶转动时点到地面的最小距离为， 答：风叶转动时点到地面的最小距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·上海·期中）在中，是边上的高，且满足 (1)证明：是直角三角形．(2)在线段的延长线有一动点E，连接，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．证明： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．（1）根据，得到，结合，得到，进而得到，进而推出，即可得证；（2）证明，得到，证明，得到，进而推出，证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，∴， ∴，即：，∴是直角三角形； （2）连接， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴∴． 12．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置；(2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为；(3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)． 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了位似的性质．连接、、，、、的交点就是位似中心；连接、、，分别取、、的中点、、，连接、、得到，即为所求；因为与的位似比为，点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为． 【详解】（1）解：如下图所示，连接、、，、、的交点就是位似中心； （2）解：如下图所示，连接、、，分别取、、的中点、、， 连接、、得到，即为所求； （3）解：与的位似比为，点的坐标为， 则点在上的对应点的坐标为． 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）辅助线的功能为题目增加新的条件，使题目思路能够顺利进行下去．下面题目需要添加辅助线，请你解答填空．有一个，在它的三边上（或它（它们）的延长线上）相应地各取一点（如下图所示），如果三点共线，那么 ．    【答案】1 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 如图所示，过点C作交于点J，首先证明出，，得到，，然后等量代换求解即可；如图所示，过点C作交于点E，首先证明出，，得到，，然后等量代换求解即可． 【详解】如图所示，过点C作交于点J      ∴，∴，∴； 如图所示，过点C作交于点E ∴，∴，∴．故答案为：1． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C．（1）若，，则 ； （2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下 【答案】 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加平行线构造相似三角形是解题的关键．①过点A作平行线交延长线于点H，得到，根据对应边成比例即可已知条件即可求解；过点G作交于点P，得到，，根据对应边成比例即可已知条件即可求解． 【详解】解：①过点A作平行线交延长线于点H， ∴，∴，， ∵，∴，∵，∴设，则， ∴，故答案为：； ②过点G作交于点P，∴，，∴， ∵，∴，∴，∵，设，则， 解得：，∴，故答案为：． 3．（23-24九年级下·广东·期中）如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 【答案】12或16或21 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是分类讨论． 先根据等边三角形的性质得，再分和两种情况求出答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形，，， 当时，，即，解得：或； 当时，时，即，解得：． ∴或16或21．故答案为：12或16或21． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 【答案】或（） 【分析】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，根据位似图形的性质求出，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=，∵轴，轴，∴，∴∴， ∵，∴， ∴，∴ ∴∴的面积； ∵，∴，∴，∴的面积； 同理可得，的面积；…… 则的面积为，故答案为：或（）． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】[初步感知]解：∵为矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，由题意知，， ∴，解得，，∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，，∴，∵四边形是平行四边形， ∴，∴，， ∴，由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）；∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，∴，，∴，∴， 设，则，同理，， ∴，即，解得，， ∴，， ∵，∴，解得，，∴， 由勾股定理得，，∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，同理，，， 设，则，同理，， ∴，即，解得，， ∴，， ∵，∴，解得，，∴， 由勾股定理得，，∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵，∴，∴， 设，则，， 同理，，∴，即，解得，， ∴，，， ∵，∴，解得，∴， 由勾股定理得，，∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究：(1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．（1）证明，即可得出结论；（2）作平分，证明，推出，等积法证明，进行求解即可；（3）在上截取，连接，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴； （2）作平分，则：，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵平分，∴点到距离相等，设点到距离均为，∴， 又∵（同高三角形的面积比等于底边比），∴，∴， ∴，即：，∴； （3）在上截取，连接，则：， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，，∴，∴的最小值为5． 7．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． (1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； (3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)(2)正确，理由见解析(3)，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形的判定及性质、外角的性质等知识点，解答本题的关键在于根据图形正确的画出辅助线，利用相关的性质定理求证三角形全等．（1）如图，过点D作于点G，于点H，证明，得四边形的面积和正方形的面积相等，进而可以解决问题． （2）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出． （3）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出，则对应边成比例，即，由点F放在的中点， 可得，变形即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点G，于点H，． 在中，，四边形是矩形． 点D放在的中点处，，，是的垂直平分线． 四边形是正方形．． ， ，． ，． ，，． 点D放在的中点处，，点G，H是的中点． 是的中位线．． ，，， ．正方形的面积为∶ 四边形的面积为． （2）正确，理由是：∵在中，，，∴． ∵，∴，又∵，∴， 又∵，∴（两角对应相等的两个三角形相似）． （3），理由是：∵在中，，，∴． ∵，∴，又∵，∴， 又∵，∴（两角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴ 点F放在的中点 ，∴，即： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$