重难点06 函数的零点-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

重难点06：函数的零点 一、知识点梳理 1.判断函数存在零点 判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点． 2.判断函数零点个数 （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3.已知函数有零点求参数的取值范围 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解． 4.解决函数零点应用问题的步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 5.隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围. 基本步骤： 第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围； 第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式； 第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 下面我们通过实例来分析. 6.隐零点常见类型 1.隐零点代换 2.隐零点同构 实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如： 3.隐零点的估计 二、题型精刷精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知函数，． (1)若，证明：； (2)若，求a的取值范围； (3)若，记，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)答案见解析. 【详解】（1）由题设且，则， 所以在上递减，故，得证； （2）由解析式，易知时恒成立， 当，只需恒成立， 令且，则， 令，则，即在上递增， 所以，故，即在上递增，且， 对于，，则， 故在上递增，且时， 综上，，即. （3）由题设，且定义域为，显然， 令，且， 只需研究与在上的交点情况， 若，则在上递减，在上递增，且时， 而，即在上递减，且， 又，则，在处的图象递减趋势比的图象平缓， 故与在上有且仅有一个交点， 此时，在有两个零点； 若，在恒成立，而恒成立， 故与在上无交点， 此时，在有一个零点； 综上，时有两个零点；时有一个零点. 2．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求曲线与曲线的交点个数. 【答案】(1)(2)交点个数为1 【详解】（1）由，则， ，则， 所以切线方程为，即； （2）令，故， 令，， 令， ， 当时，，，， ∴，∴在上为减函数，即在上为减函数， 又，， ∴在上有唯一的零点，设为，即， ∴在上为增函数，在上为减函数， 又， ， ， ∴在上有且只有一个零点，在上无零点， 所以曲线与曲线的交点个数为1. 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)求函数的零点个数. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)答案见解析 【详解】（1）由函数求导得：， 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程是. （2）函数的定义域为，由（1）知，， 因为，则当时，，，， 所以，有，函数在上递减， 当时，，，，则有，函数在上递增， 所以，当时，函数取得极小值， 所以，当时，函数存在极小值. （3）函数的定义域为，， 显然是函数的零点， 当时，函数的零点即为方程的解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， ，， 所以，有，在，上都递减， 令，， 当时，，当时，， 所以，在上递增，在上递减，， 所以，，恒有，当且仅当时取“=”， 所以，当时，，当时，， 所以，在上单调递减，取值集合为， 在上递减，取值集合为， 所以，当或时，方程有唯一解， 当或时，此方程无解， 所以，当或时，函数有一个零点， 当或时，函数有两个零点. 4．已知函数. (1)当时； （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求零点的个数； (2)当时，直接写出a的一个值，使得不是的极值点，并证明. 【答案】(1)（ⅰ）;（ⅱ）在有2个零点;(2),证明见下文 【详解】（1）当时，， （ⅰ），，， 切线方程：，所以； （ⅱ），当，，所以，即在单调递减. 令，， 当时，，所以在单调递减，即在单调递减；又因为，所以，当时，即在单调递增； 因此：在单调递增，在单调递减. 当时，，；，因为在单调递增，所以，根据零点存在定理，在有唯一零点； 令，， 当时，，单调递增，且， 当 时，，单调递减； 所以，即，所以， 所以，又因为在单调递减，根据零点存在定理在有唯一零点. 综上，在有2个零点. （2）当时，不是的极值点，证明如下： 当时，， ， 令，， 令， 因为，所以， 所以在单调递增， 又因为，所以，当时，，即单调递减； 当时，，，即单调递增； 再因为，所以，即，所以在单调递增，所以在无极值点； 综上，当时，不是的极值点 5．已知函数，其中． (1)若在处取得极小值，求的值； (2)当时，求在区间上的最大值； (3)证明：有且只有一个极值点． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）由， 因为在处取得极小值,所以，即，解得， 检验：当时，，由二次函数的性质可得： 在上单调递减，在上单调递增，满足题意，所以． （2）当时，，．                                 令，则， 因为，所以， 即在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增，即的最大值为． （3）由， 当时，，由二次函数的单调性可得： 在上单调递减，在上单调递增，所以恰有一个极值点；                                     当时，设， 则． 因为，且， 所以，即在上单调递增．                 因为，， 所以存在，使， 根据在上单调递增， 可知当时，，所以在上单调递减， 可知当时，，所以在上单调递增， 即恰有一个极值点． 综上所述，当时，有且只有一个极值点． 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）当时，，则， 所以， 故在点处的切线方程为 （2）， 当时，则，令则，令则， 故在单调递增，在单调递减， 故当，取极小值也是最小值， 则， 又当且， 故要使函数有两个零点，只需要，解得； 当时，则，令则，令则， 故在单调递增，在单调递减， 故当，取极小值也是最小值，则， 又当且， 故要使函数有两个零点，只需要，解得； 综上可得或. 7．已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析(2) 【详解】（1）当时，. ①.所以. 所以曲线在点处的切线方程为. ②由①知，且. 当时，因为，所以； 当时，因为，所以. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为. 所以函数恰有一个零点. （2）由得. 设，则. 所以是上的减函数. 因为， 所以存在唯一. 所以与的情况如下： + 0 - 极大 所以在区间上的最大值是 . 当时，因为，所以. 所以. 所以，符合题意. 当时，因为，所以. 所以，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 8．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由，得，因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， ①当时，，不符合题意. ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为. 所以； （3）当时，，在区间上单调递增， 所以f（x）至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意； 若，则， 由（2）可知，只需，即，解得， 即a的取值范围为. 9．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）当时，，，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数的定义域为，所以此时函数无极值. 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为； （3）令，则， 当时，， 所以时，函数无零点； 当时，由，得，所以， 则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    又，由图可知，所以函数的图象只有个交点， 即当时，函数只有个零点； 综上所述，若，函数有个零点． 10．已知函数，. (1)当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析(2) 【详解】（1）若，则，. ①在处，，. 所以曲线在处的切线方程为. ②令，， 在区间上，，则在区间上是减函数. 又， 所以在上有唯一零点. 列表得： + - 极大值 所以在上有唯一极大值点. （2），令，则. ①若，则，在上是增函数. 因为，，所以恰有一个零点. 令，得.代入，得，解得. 所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意. ②若，此时的定义域为. 当时，，在区间上是减函数； 当时，，在区间上是增函数. 所以. 又， 由题意，当，即时，无零点，符合题意. 综上，的取值范围是. 11．已知． (1)当时，判断函数零点的个数； (2)求证：； (3)若在恒成立，求的最小值． 【答案】(1)一个零点(2)证明见解析(3) 【详解】（1）当时，，在R上单调递增，，只有一个零点； （2）设，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，. （3）解法一：当时，由（2）得，恒成立． 当时，设． 在上单增，，， 由零点存在性定理，存在使得， 所以在上递减，，不等式不恒成立，所以的最小值为． 解法二：设． ①当时，，在单增，，在恒成立． ②当时，设． 递增，，， 由零点存在性定理，存在使得， 所以在上递减，，不等式不恒成立，所以的最小值为． 12．设函数． (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：． (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②证明见解；(2). 【详解】（1）解：①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程，即. ②令， 则， 当，可得，在单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，． （2）解：由函数，可得， 令， 当时，，即，在区间上单调递增， 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图象开口向上，且对称轴为， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即，在区间上单调递减， 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 综上可得，设使得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 13．设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最大值并记为，求的最小值； (3)当时，求零点的个数. 【答案】(1)(2)取得最小值(3)2个 【详解】（1），，， 所以函数在处的切线方程是； （2），， 当时，，所以函数在单调递减，函数没有最大值，故舍去； 当时，，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， ，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，. （3）当时，， ，得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得最大值，， 当时，，所以时，必存在一个零点， 当时，，所以时，必存在一个零点，综上可知，函数零点个数是2个. 14．已知函数． (1)当时，求曲线的斜率为1的切线方程； (2)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，所以．令，解得． 因为，所以切点坐标为．故切线方程为． （2）因为，所以 令，解得．当时，由，得， 所以，则在定义域上是增函数． 故至多有一个零点，不合题意，舍去． 当时，随变化和的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，取得最大值． 若时，，此时至多有一个零点； 若时，，又， 由零点存在性定理可得在区间和区间上各有一个零点， 所以函数恰有两个不同的零点，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 15．已知函数 （1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值； （2）当0＜a＜1时，求零点的个数. 【答案】（1）1；（2）两个 【详解】解：(1)定义域为，， 由已知，得，解得， 当时，， 所以， 所以减区间为，增区间为， 所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意，所以 (2)令，由，得 所以，， 所以减区间为，增区间为， 所以函数在时取得极小值，其极小值为， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点， 因为，， 令，得，又因为，所以， 所以当时，， 根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点， 所以，当时，有两个零点. 16．设函数，其中． （Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值； （Ⅱ）若，证明：当时，； （Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）． 【详解】（Ⅰ）函数为偶函数，所以，即，                   整理得对任意的恒成立，； （Ⅱ）当时，，则， ，则，，， 所以，函数在上单调递增， 当时，； （Ⅲ）由，得，设函数，，                       则，令，得． 随着变化，与的变化情况如下表所示： 极大值 所以，函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，，，且，如下图所示：    所以，当时，方程在区间内有两个不同解， 因此，所求实数的取值范围为． 17．已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）判断曲线与是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在；存在2条公切线 【详解】解：（1）的定义域又 所以在点处的切线方程为：. （2）设，， ↑ 极大值 ↓ 设则在上恒成立 综上 （3）曲线与存在公切线，且有2条，理由如下： 由（2）知曲线与无公共点， 设分别切曲线与于，则 ， 若，即曲线与有公切线，则 令， 则曲线与有公切线，当且仅当有零点， ， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减 ， 所以存在，使得 且当时，单调递增， 当时，单调递减 ， 又 所以在内各存在有一个零点 故曲线与存在2条公切线. 18．已知函数. (I)当a=-1时， ①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； ②求函数f(x)的最小值； (II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点. 【答案】（1）切线方程；；（2）证明见解析 【详解】(I)当时， ①函数，，，即， 曲线在点处的切线方程为. ②令，得，令，得， 所以在上单增，在单减, 函数的最小值为. (II) 当时，曲线与有且只有一个交点. 等价于有且只有一个零点.， 当时，， ，则， 当时，， ，则， 在上单增， 又， ， 由零点存在性定理得有唯一零点，即曲线与有且只有一个交点. 19．已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）判断函数的零点个数. 【答案】（1）（2）答案见解析（3）答案见解析 【详解】（1）， ， 设曲线在点，处的切线的斜率为， 则，又， 曲线在点，处的切线方程为：，即； （2）由（1）知，， 故当时，，所以在上单调递增； 当时，，；，，； 的递减区间为，递增区间为，； 当时，同理可得的递增区间为，递减区间为，； 综上所述，时，单调递增为，无递减区间； 当时，的递减区间为，递增区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为，； （3）当时，恒成立，所以无零点； 当时，由，得：，只有一个零点． 20．已知函数． （Ⅰ）求在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数在有3个零点． 【详解】解：（Ⅰ），，， 故在点，处的切线方程为，即； （Ⅱ）证明：，， ，故在递减， 又，， 由零点存在性定理，存在唯一一个零点，， 当时，递增；当时，递减， 故在只有唯一的一个极大值； （Ⅲ）函数在有3个零点． 21．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在递减，在，递增（2） 【详解】（1）当时，. ， 令，得，则，，变化情况： + - + 增 减 增 ∴在递减，在，递增； （2），， ，， 若在区间上有两个极值点， 则在有2个实数根，即在有2个实数根， 即和在有2个交点， 如图所示： 当直线过，斜率为， 当直线与曲线相切时，设切点为，由于，因此过点的切线方程为，切线过原点，则，，切线斜率为， 若和在有2个交点，则，即． 即在区间上有两个极值点时， 22．已知函数． （Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值； （Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围； （Ⅲ）当a=2时，若函数有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为．． 因为曲线在点处的切线与x轴平行， 所以，解得．此时，所以的值为． （Ⅱ）因为， ①若， 则当时，，所以； 当时，，所以． 所以在处取得极大值． ②若，则当时，， 所以．所以不是的极大值点． 综上可知，的取值范围为． （Ⅲ）当时，， ， 当时，函数，不可能3个零点； ①当时，令，解得：， 令，得，则在区间上单调递增； 令，解得：或，则在区间和上单调递减； 由于当时，恒成立，， ，则当时， 恒成立，所以函数最多只有两个零点，即不满足题意； ②当时，令，解得：， 令，得：或，则在区间和上单调递增； 令，解得：，则在区间上单调递减； 要使函数有3个零点，则 ，解得： 综上所述的取值范围为 ． 23．设函数，其中． （Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或 【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得， 即对于任意实数都成立，所以.   此时，则. 由，解得.                                当x变化时，与的变化情况如下表所示：     0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以在，上单调递减，在上单调递增.    所以有极小值，有极大值.          （Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.                                    对函数求导，得.                   由，解得，.                      当x变化时，与的变化情况如下表所示：     0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以在，上单调递减，在上单调递增.     又因为，，，， 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                            即当或时，函数在区间上有两个零点. 24．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）当时，求函数在上区间零点的个数. 【答案】（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）见解析 【详解】（1）当时，， ，,，切点，所以切线方程是. （2）， 令， 、及的变化情况如下 0 增 减 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）由（2）可知的最大值为,   （1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减. 由，故在区间上只有一个零点 . （2）当时，，，, 且 . 因为，所以，在区间上无零点. 综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点. 25．已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若在上有零点，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）时，，， ∴.故所求切线方程为，即. （2）依题意 ①当时，，在上单调递减，依题意，，解得故此时. ②当时，，在上单调递增，依题意，，即 此不等式无解.（注：亦可由得出，此时函数无零点） ③当时，若，，单调递增， ，，单调递减， 由时，. 故只需，即，又， 故此时 综上，所求的范围为. 26．已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求在区间上的最大值和最小值； （3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3） 【详解】试题分析：（1）由可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程； （2）由，可得，所以在区间上单调递增，从而可得最值； （3）当时，.设，，分析可知在区间上单调递减，且，，所以存在唯一的，使，即，结合函数单调性可得解. 试题解析： （1）当时，， 所以，. 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，， 所以． 当时，，， 所以. 所以在区间上单调递增． 因此在区间上的最大值为，最小值为. （3）当时，. 设，， 因为，,所以. 所以在区间上单调递减． 因为，， 所以存在唯一的，使，即. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为，，又因为方程在区间上有唯一解， 所以. 27．已知函数，，其中． (I)当时，求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)证明：在区间上恰有2个零点． 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 见解析． 解析：（Ⅰ）当时，，所以，故，又，故曲线在的切线方程为． （Ⅱ）． 当时，因为，故，所以在是单调增函数； 当时，，令，此方程有唯一解． 当时，，在上是单调增函数； 当时，，在上是单调减函数； 因为的图像是不间断的，所以在上是单调增函数，在上是单调减函数． 又，，而，故，根据零点存在定理和的单调性可知在存在一个零点，在上存在一个零点，故在上存在两个不同的零点． 28．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：函数有且仅有一个零点； （3）当时，写出函数的零点的个数．(只需写出结论) 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当时，有一个零点；当且时，有两个零点． 【详解】（1）因为函数 所以故， 曲线在处的切线方程为 （2）当时，令， 则故是上的增函数． 由，故当时，，当时，． 即当时，，当时，． 故在单调递减，在单调递增． 函数的最小值为 由，故有且仅有一个零点． （3）当时，有一个零点；当且时，有两个零点． 29．已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 解：（Ⅰ）函数的定义域为，. 由得或. 当时，在上恒成立， 所以的单调递减区间是，没有单调递增区间. 当时，的变化情况如下表： 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，的变化情况如下表： 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 所以在上有零点的必要条件是， 即，所以. 而，所以. 若，在上是减函数，，在上没有零点. 若，，在上是增函数，在上是减函数， 所以在上有零点等价于， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 30．已知函数，其中. （1）求函数的零点个数； （2）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）由， 得 令，得，或. 所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，. （2）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减， 所以，函数无极值. ②当时，，的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以，时，的极小值为. 又时，， 所以，当时，恒成立. 所以，为的最小值. 故是函数存在最小值的充分条件. ③当时，，的变化情况如下表： 2 5 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因为当时，，又， 所以，当时，函数也存在最小值. 所以，不是函数存在最小值的必要条件. 综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06：函数的零点 一、知识点梳理 1.判断函数存在零点 判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点． 2.判断函数零点个数 （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3.已知函数有零点求参数的取值范围 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解． 4.解决函数零点应用问题的步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 5.隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围. 基本步骤： 第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围； 第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式； 第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 下面我们通过实例来分析. 6.隐零点常见类型 1.隐零点代换 2.隐零点同构 实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如： 3.隐零点的估计 二、题型精刷精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知函数，． (1)若，证明：； (2)若，求a的取值范围； (3)若，记，讨论函数的零点个数． 2．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求曲线与曲线的交点个数. 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)求函数的零点个数. 4．已知函数. (1)当时； （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求零点的个数； (2)当时，直接写出a的一个值，使得不是的极值点，并证明. 5．已知函数，其中． (1)若在处取得极小值，求的值； (2)当时，求在区间上的最大值； (3)证明：有且只有一个极值点． 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 7．已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 8．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 9．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 10．已知函数，. (1)当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 11．已知． (1)当时，判断函数零点的个数； (2)求证：； (3)若在恒成立，求的最小值． 12．设函数． (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：． (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围． 13．设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最大值并记为，求的最小值； (3)当时，求零点的个数. 14．已知函数． (1)当时，求曲线的斜率为1的切线方程； (2)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围． 15．已知函数 （1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值； （2）当0＜a＜1时，求零点的个数. 16．设函数，其中． （Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值； （Ⅱ）若，证明：当时，； （Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围． 17．已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）判断曲线与是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由. ↑ 极大值 ↓ 18．已知函数. (I)当a=-1时， ①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； ②求函数f(x)的最小值； (II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点. 19．已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）判断函数的零点个数. 20．已知函数． （Ⅰ）求在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数． 21．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围. 22．已知函数． （Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值； （Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围； （Ⅲ）当a=2时，若函数有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论） 23．设函数，其中． （Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 24．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）当时，求函数在上区间零点的个数. 25．已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若在上有零点，求的取值范围. 26．已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求在区间上的最大值和最小值； （3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围. 27．已知函数，，其中． (I)当时，求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)证明：在区间上恰有2个零点． 28．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：函数有且仅有一个零点； （3）当时，写出函数的零点的个数．(只需写出结论) 29．已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围. 30．已知函数，其中. （1）求函数的零点个数； （2）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$