重难点04 导数的恒成立、存在性问题-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

重难点04：导数的恒成立、存在性问题 一、知识点梳理 1.利用导数研究不等式恒成立问题的总方针： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），；（2），； （3），；（4），. 3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 4.恒成立与有解问题解法洛必达法则 一、问题指引 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。 二、方法详解 法则1：若函数 和满足下列条件：(1) 及； (2)在点的去心邻域内， 与 可导且； (3)， 那么 =。 法则2：若函数 和满足下列条件：(1) 及； (2)，和在与上可导，且； (3)， 那么 =。 法则3：若函数 和满足下列条件：(1) 及； (2)在点的去心邻域内， 与 可导且； (3)， 那么 =。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。 2.洛必达法则可处理，，，，，，型。 3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 总结： 1.不等式恒成立或能成立题目。能分离参数成或 ，归结为求的某个最值(或其极限值)问题。常规方法不易求得最值或其极限值(往往多次求导后仍为超越结构)。可考虑在某个端点或断点处应用洛必达法则求最值(或极限值)。 2.使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。 5.端点效应问题 含参函数恒成立问题中的求解参数范围问题端点效应问题 （1）：什么是端点效应呢？ 恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题：“对于任意的 ，都有 恒成立”（ 中包含参数 ） 这里的端点，往往是使结论成立的临界条件，因此，如果能利用好这两个值，能为我们的解题提供不少便利．比如对于上述的命题，我们就应该观察和的取值． 这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应． （2）：端点效应的三层心法 端点效应的核心思想是：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求． 根据端点处所满足的条件不同，我们将端点效应分为如下三层心法： 第一层心法----利用原函数：若端点处函数值和包含参数，则根据恒成立条件在端点处也成立. 故，解此不等式组即可缩小参数的范围 注意： 由，只是得到了关于参数范围的一个必要条件，接下来还需进行最 值的讨论才能确定参数的精确范围．端点效应的核心价值在于：将参数范围缩小至一个较小的区间，可以大大简化接下来的讨论过程． 第二层心法----利用一阶导：若端点处函数值恰为，即或，则此时有或 注意：①或这个结论并不能直接在解题中使用，虽然这个结论是对的，且大多数时候往往就是题目的答案，选择题完全没有问题，大题需要侧面证明一下． ② 对于此类端点效应型问题，在讨论时要牢记一点不能分参，因为分参之后会出现 或型的极限，这是我们无法处理的，一旦需要处理只能求助洛必达法则． ③ 在接下来的分类讨论中，我们要确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立． 第三层-----利用二阶导：若端点处函数值和导数值均为0，即或 则此时或. 注意：①或不能直接在解题中使用，但我们可以由此猜出答案． ② 同样的，不能分参，依然要采用整体分析的分析方法． ③ 在分类讨论中，同样要明确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立． 作为端点效应的终极大法，第二层心法的升级版，修炼起来自然有一定难度．与第二层心法最大的不同是，我们需要求二阶导数，对二阶导数找到恰当的分点作分类讨论，并在每种情况下判断恒成立条件是否成立. 二、题型精刷精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知函数，． (1)若，证明：； (2)若，求a的取值范围； (3)若，记，讨论函数的零点个数． 2．已知在处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)证明：仅有一个极值点，且． (3)若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由． 3．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 4．已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. + 0 - 极大 5．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 6．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，求函数的最小值； (3)若，求实数的值. 7．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围. 8．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间； (3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：） 9．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由. (3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 10．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由. 11．已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围. 12．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 13．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 14．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 15．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，曲线在轴的上方，求实数a的取值范围． 16．已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； (3)直接写出a的一个取值范围，使得恒成立． 17．设函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； (2)求的单调区间； (3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 18．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 19．设函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 20．已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：曲线在点处的切线不经过原点； （Ⅲ）设整数使得对恒成立，求整数的最大值. 21．已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若求证：当时，； （3）若对任意的实数恒成立，求的最大值. 22．已知函数，其中． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值． (2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围． (3)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 23．已知函数. （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 24．已知函数，设. （Ⅰ）求的极小值； （Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围. 25．已知函数，其中. （1）若是函数的导函数的零点，求的单调区间； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04：导数的恒成立、存在性问题 一、知识点梳理 1.利用导数研究不等式恒成立问题的总方针： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），；（2），； （3），；（4），. 3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 4.恒成立与有解问题解法洛必达法则 一、问题指引 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。 二、方法详解 法则1：若函数 和满足下列条件：(1) 及； (2)在点的去心邻域内， 与 可导且； (3)， 那么 =。 法则2：若函数 和满足下列条件：(1) 及； (2)，和在与上可导，且； (3)， 那么 =。 法则3：若函数 和满足下列条件：(1) 及； (2)在点的去心邻域内， 与 可导且； (3)， 那么 =。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。 2.洛必达法则可处理，，，，，，型。 3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 总结： 1.不等式恒成立或能成立题目。能分离参数成或 ，归结为求的某个最值(或其极限值)问题。常规方法不易求得最值或其极限值(往往多次求导后仍为超越结构)。可考虑在某个端点或断点处应用洛必达法则求最值(或极限值)。 2.使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。 5.端点效应问题 含参函数恒成立问题中的求解参数范围问题端点效应问题 （1）：什么是端点效应呢？ 恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题：“对于任意的 ，都有 恒成立”（ 中包含参数 ） 这里的端点，往往是使结论成立的临界条件，因此，如果能利用好这两个值，能为我们的解题提供不少便利．比如对于上述的命题，我们就应该观察和的取值． 这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应． （2）：端点效应的三层心法 端点效应的核心思想是：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求． 根据端点处所满足的条件不同，我们将端点效应分为如下三层心法： 第一层心法----利用原函数：若端点处函数值和包含参数，则根据恒成立条件在端点处也成立. 故，解此不等式组即可缩小参数的范围 注意： 由，只是得到了关于参数范围的一个必要条件，接下来还需进行最 值的讨论才能确定参数的精确范围．端点效应的核心价值在于：将参数范围缩小至一个较小的区间，可以大大简化接下来的讨论过程． 第二层心法----利用一阶导：若端点处函数值恰为，即或，则此时有或 注意：①或这个结论并不能直接在解题中使用，虽然这个结论是对的，且大多数时候往往就是题目的答案，选择题完全没有问题，大题需要侧面证明一下． ② 对于此类端点效应型问题，在讨论时要牢记一点不能分参，因为分参之后会出现 或型的极限，这是我们无法处理的，一旦需要处理只能求助洛必达法则． ③ 在接下来的分类讨论中，我们要确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立． 第三层-----利用二阶导：若端点处函数值和导数值均为0，即或 则此时或. 注意：①或不能直接在解题中使用，但我们可以由此猜出答案． ② 同样的，不能分参，依然要采用整体分析的分析方法． ③ 在分类讨论中，同样要明确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立． 作为端点效应的终极大法，第二层心法的升级版，修炼起来自然有一定难度．与第二层心法最大的不同是，我们需要求二阶导数，对二阶导数找到恰当的分点作分类讨论，并在每种情况下判断恒成立条件是否成立. 二、题型精刷精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知函数，． (1)若，证明：； (2)若，求a的取值范围； (3)若，记，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)答案见解析. 【详解】（1）由题设且，则， 所以在上递减，故，得证； （2）由解析式，易知时恒成立， 当，只需恒成立， 令且，则， 令，则，即在上递增， 所以，故，即在上递增，且， 对于，，则， 故在上递增，且时， 综上，，即. （3）由题设，且定义域为，显然， 令，且， 只需研究与在上的交点情况， 若，则在上递减，在上递增，且时， 而，即在上递减，且， 又，则，在处的图象递减趋势比的图象平缓， 故与在上有且仅有一个交点， 此时，在有两个零点； 若，在恒成立，而恒成立， 故与在上无交点， 此时，在有一个零点； 综上，时有两个零点；时有一个零点. 2．已知在处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)证明：仅有一个极值点，且． (3)若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由． 【答案】(1)(2)证明见详解(3)不存在，理由见详解 【详解】（1）由题意，，则， 解得，又，可得切点为，代入，得. 所以实数. （2）由（1）得，则， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，，， 所以在上存在唯一零点，使得即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以仅存在一个极值点，， ， 又函数，，而， 所以在上单调递减，则，所以. （3）若存在，使得恒成立，即，对恒成立， 当时，当时，则，显然上式不成立； 当时，令，，则， 令，则在上恒成立， 所以即在上单调递增，又，， 所以存在，使得， 所以当时，，即单调递减，此时， 所以不恒成立， 故当时，不存在满足条件. 综上，不存在，使得恒成立. 3．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)单调递减区间为和，单调递增区间为； (3)． 【详解】（1）因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 4．已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析(2) 【详解】（1）当时，. ①.所以. 所以曲线在点处的切线方程为. ②由①知，且. 当时，因为，所以； 当时，因为，所以. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为. 所以函数恰有一个零点. （2）由得. 设，则. 所以是上的减函数. 因为， 所以存在唯一. 所以与的情况如下： + 0 - 极大 所以在区间上的最大值是 . 当时，因为，所以. 所以. 所以，符合题意. 当时，因为，所以. 所以，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 5．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由，得，因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， ①当时，，不符合题意. ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为. 所以； （3）当时，，在区间上单调递增， 所以f（x）至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意；若，则， 由（2）可知，只需，即，解得， 即a的取值范围为. 6．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，求函数的最小值； (3)若，求实数的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），则， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； （3）函数的定义域为，当时，，则，即， 即，由（2）得， 令，则，所以在上单调递增， 又当时，， 因为，所以， 此时不恒成立，故不符题意； 当时，若，则， 则，即，即， 由上可知函数在上单调递增， 所以， 所以，解得①， 若，则，即，即， 由上可知函数在上单调递增， 所以， 所以，解得②， 由①②可得， 综上所述，. 7．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析(2) 【详解】（1），当，得， 当时，时，，单调递增， 时，，单调递减， 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是， 时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 时，函数的增区间是，无减区间. （2）不等式，即， 设，， 设，，所以单调递增，且，， 所以存在，使，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为，所以， 当时，，当时，， 不等式无整数解，即无整数解， 若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意， 若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以无整数解，符合题意， 当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意， 综上可知，. 8．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间； (3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：） 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1），，又，， 故的图象在点处的切线方程为，即. （2），又，， 则时，当，，单调递增；当，，单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减； 时，当，，在单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减. 综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为； 当，的单调减区间为，单调增区间为； 当，的单调减区间为，没有单调增区间； 当，的单调减区间为，单调增区间为. （3）若对任意，都有，则在上的最大值； 由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减， 故； 令，则， 故在单调递增，又，则； 故当时，， 也即当时，对任意，都有. 故的最大值为. 9．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由. (3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，则，， 故，所以曲线在点处的切线方程为 （2）由（1）知， 函数在处取得极小值，所以 ，此时，所以， 设，则 因在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 即 在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，满足题意， 故， （3）因为，则，， 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 此时单调递增，从而，不符合题意； 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 对应单调递减，从而，符合题意； 当时，，， 设，在上恒为正， 所以在上单调递增， 所以在上，在上单调递增， 从而，不合题意；综上，的范围是 10．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由. 【答案】(1)(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）因为， 所以，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令， 则，当时，，在上单调递增. 因为，， 所以，使得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又，，所以. （3）满足条件的的最大整数值为. 理由如下：不等式恒成立等价于恒成立. 令，当时，，所以恒成立. 当时，令，，， 与的情况如下： 1 所以， 当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，所以的值域为， 因为，所以的最小值小于且大于. 所以的最大整数值为. 11．已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）由题设，且，则， 所以，，故在处的切线方程为. （2）由且， 当时，即在定义域上递减； 当时，在上，递减，在上，递增， 综上，时递减；时在上递减，上递增. （3）由（2），时递减且值域为，显然存在； 时，的极小值为， 当，即时，在上递减，上递增，只需，可得； 当，即时，在上递增，则恒成立，满足题设； 综上，a的取值范围为. 12．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值是，无极大值.(2) 【详解】（1）当时，，的定义域为， ，则. 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值且为，无极大值. （2）对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，，所以， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则. 实数a的取值范围为：. 13．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；(2). 【详解】（1）因为，所以． 当时，与的变化情况如表所示： 0 单调递增 单调递减 所以当时，函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为． （2）当时，，所以函数为偶函数． 所以当时，函数的单调递增区间为，， 函数的单调递减区间为，, 所以函数的最大值为． 设，则当时，． 对任意，存在，使得成立，等价于． 当时，函数在区间上的最大值为，不合题意． 当时，函数在区间上的最大值为， 则，解得或，所以． 当时，函数在区间上的最大值为，则，解得， 所以.综上所述，的取值范围是． 14．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)的单增区间为，单减区间为； (3) 【详解】（1），当时，，，，， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）易得定义域为，当时，，令，或， 当或时，单调递减；当或时，单调递增； 故的单增区间为，单减区间为； （3）“，即”是“当时，恒成立”的必要条件. 当，时，，令， 由（2）知，在单调递减，在单调递增，故， 即，所以的取值范围是. 15．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，曲线在轴的上方，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ；(2). 【详解】（1）当时，，∴，∴， ∴曲线在点处的切线方程为 ； （2）∵函数， 当时，由有，故曲线在轴的上方， 当时，， 由可得或（舍去）， ∴当时，单调递减，当时，单调递增， 当即时，所以在上单调递增， 则，即曲线在轴的上方， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 由时，曲线在轴的上方， ∴，解得， 所以；综上，实数a的取值范围为. 16．已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； (3)直接写出a的一个取值范围，使得恒成立． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1；(2)证明见解析；(3)答案不唯一，见解析. 【详解】（1）当时，，则， 令，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在处取得极大值，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1； （2）要证，即证， 因此设，则， 令，则， 因为，所以，因此单调递减，且，所以时，；当 时，；即时，；当 时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值也是最大值，且，故. （3）要证，即证， 也即是，即证， 令，则， 当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；所以，故， 令，则 令，则，，则 所以和时，，则单调递增，时，，则单调递减，且，，， 因此时，，即，所以单调递减， 时，，即，所以单调递增， 所以，即 因此当时，恒成立. 17．设函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； (2)求的单调区间； (3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 【答案】(1)(2)答案见解析(3)最大值为2 【详解】（1）由已知条件得，在点处的切线斜率为， 即， （2）的定义域为, ， 若，则，则在上单调递增； 若，由得，由得， 则单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由得， 整理得， 当时，，即 令，则. 令，由（2）知，函数在上单调递增， 其中，， ∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即， ∴在上，在上， ∴在上，在上， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为， 又∵，∴，即， ∴，且为整数， ∴的最大值. 18．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：当时，函数，定义域为， 又，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）解：若在上恒成立， 即在上恒成立， 可令，， 则，，， 令，可解得， 当时，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，， 又，所以恒成立， 即时，在上恒成立， 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时，，又，，即， 不满足恒成立，故舍去，综上可知：实数的取值范围是. 19．设函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数，其最小值为0． 【详解】解：（1）函数的定义域为， 函数的导数， 当时，在上单调递增，在上单调递减 当时，在上单调递增． 当时，在上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是． （2）当时，，， 由于是单调递增函数，且在上有唯一零点（记为m），则函数在处取得极小值，也是最小值，其中． 将代入，得． 又，于是，即， 于是符合题意的整数，其最小值为0． 20．已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：曲线在点处的切线不经过原点； （Ⅲ）设整数使得对恒成立，求整数的最大值. 【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）2. 【详解】（Ⅰ）函数的导数为，由得， 由，得，所以在上单调递增， 由，得，所以在上单调递减. 所以的单调减区间为，增区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线在点处的切线为，其中， 假设在点处的切线经过原点. 则有，即， 整理得与矛盾， 则曲线在点处的切线不经过原点； （Ⅲ）对恒成立等价于当时，恒成立. 令，则.由，得， 随着变化，，的变化情况如下表所示： ﹣ 0 + 极小值 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为， 令，则. 当时，因为的最小值为， 所以恒成立，符合题意； 当时.由，得函数，在上单调递减，所以， 故此时的最小值，不符合题意， 所以整数的最大值是2. 21．已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若求证：当时，； （3）若对任意的实数恒成立，求的最大值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【详解】（1）当时，， 则，由，所以切线方程为：. （2）当时，， 当时，设. 则 当时，单调递增；注意到； 所以，当时，，结论成立.所以当时，. （3）由（2）可知，当时， 在上恒成立； 所以，当时，命题（3）结论不成立，所以以后遇到需要对分类讨论的情形，我们就默认为. 等价于 设函数 则 设，则， 当注意到，所以，；令，解得； 所以，当时，单调递减； 当时，单调递增；所以，. 由于恒成立，所以. 所以对任意的实数恒成立，的最大值是. 22．已知函数，其中． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值． (2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围． (3)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)2；(2)；(3). 【详解】(1)函数定义域为， ， 依题意：，解得； (2)由(1)知，， 令，则， 时，时，即在上递减，在上递增，时， 即，所以a的取值范围是； (3)，， 令，则， 令，则 令，则，即在(0，1]上递减，而， 存在有，时，即，时，即， 于是在上递增，在上递减，而，则时， 时，则在(0，1]上递增，，即， 所以a的取值范围是 23．已知函数. （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 【答案】（Ⅰ）极大值1，无极小值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 【详解】（Ⅰ）因为，定义域，所以.令，解得. 随x的变化，和的情况如下： x 0 0 增 极大值 减 由表可知函数在时取得极大值，无极小值； （Ⅱ）证明：令（）， . 由得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即； （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意. 令，. 当时，若，，则在上是减函数. 所以时，，不合题意. 当时，，则在上是减函数，所以，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围. 24．已知函数，设. （Ⅰ）求的极小值； （Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ），， 由题意可知，所以， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，为； （Ⅱ）由（Ⅰ）得. 当时，， 所以函数在上单调递增，所以， 即当时，在恒成立； 当时，， 又， 又由于在上单调递增，在上单调递减. 所以在上一定存在使得， 当时，，当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在存在，使得， 所以当时，在上不恒成立 综上所述，实数的取值范围为. 25．已知函数，其中. （1）若是函数的导函数的零点，求的单调区间； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为；（2） 【详解】（1）函数，其中；∴， 又是函数的导函数的零点，∴，解得， ∴，∴，且在上是单调减函数，， ∴时，，单调递增；时，，单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2），； ①时，在上恒成立， 则是单调递减函数，且，∴恒成立，符合题意； ②当时，是上的单调减函数，且； 若，即，则在上单调递减，且，满足题意； 若，即，则易知存在，使得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴时，存在，则不恒成立，不符合题意； 综上可知，实数的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$