重难点03 常考函数的综合问题-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

重难点03：常考函数的综合问题 一、知识点梳理 1.常规函数单调性 ①：定义法使用前提：一般函数类型 解题步骤： 第一步：取值定大小：设任意，且； 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：定符号，得出结论. 注意：同向递增，异向递减 ②导数法 使用前提：较复杂的函数类型 解题步骤： 第一步：求函数的定义域和导函数的解析式； 第二步：在定义域范围内解不等式或； 第三步：得出函数的增减区间.斜率 ③：复合函数分析法 使用前提：简单的复合函数类型 解题步骤： 第一步：先求函数的定义域； 第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性； 第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间. 剖析：若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 口诀：同则增，异则减(同增异减). ④：图象法 使用前提：图像比较容易画出的函数类型（利用图象专题破解） 解题步骤： 第一步：通过题目条件画出函数图像； 第二步：从图像中读出函数的单调区间. ⑤：抽象函数的单调性（正规解法） 使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性. 解题步骤： 第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且； 第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. ⑥：抽象函数具体化 使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数的内容延伸和实例化. 解题步骤： 第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型； 常见函数模型包括： Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或 Ⅴ：若，可认为函数为正切函数； Ⅵ：若，可认为是余弦函数. Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或 第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性. ⑦：结论法(函数性质法) 使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数. 解题步骤： 第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的. 第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性. 常见的结论(函数性质)包括： (1)与单调性相同.(为常数) (2)当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性 (3)当恒不等于零时，与其有相反的单调性. (4)当、在上都是增(减)函数时，则在上是增(减)函数. (5)当、在上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，在上是增(减)函数；当、在上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，在上是减(增)函数. (6)设为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域上也是严格增(减)函数. (7)奇(或偶)函数的单调性： 由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性. (8)周期函数的单调性： 若是周期为的函数，且在单调递增或单调递减，则在上单调递增或单调递减. ⑧：零点法 使用前提：利用函数单调性的定义作差变形之后需要确定函数单调区间的端点. 解题步骤： 第一步：取值定大小：设任意，且； 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：利用零点法确定函数单调区间的端点. 第四步：定符号，得出结论. 2.常见函数奇偶性： ①：基本方法判定函数的奇偶性 使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解. 解题步骤： 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步: 得出结论. ②：利用函数的奇偶性求函数的解析式 使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式. 解题步骤： 第一步：首先设出所求区间的自变量； 第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围； 第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式. ③：分段函数的奇偶性 使用前提：所给函数的解析式为分段函数，需要判定函数的奇偶性 秒杀：口诀：奇函数定奇变偶、偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负. 定义在上任意的函数都可以唯一表示成一个奇函数和一个偶函数之和，当以分段函数形式出现奇偶性时，则函数一定满足： Ⅰ：奇函数 Ⅱ：偶函数 若不容易拆分出奇函数和偶函数之和时，则直接采用 Ⅰ：奇函数 Ⅱ：偶函数 解题步骤： 解题模板1：利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步：得出结论. 解题模板2： 第一步： 确定函数的定义域 第二步： 写出形式的分段函数 第三步： 确定函数的奇偶性 ④：用求商法判断函数的奇偶性 使用前提：与的关系不容易确定的函数奇偶性的判定. 解题步骤： 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则利用比值关系或来判断；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步：得出结论. ⑤：根据函数奇偶性的规律判定 使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断； 第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性. 常见的结论包括： (1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数. (2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数. 常见基本函数的奇偶性： (1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数. (2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数. (3)反比例函数是奇函数. (4)指数函数(且)是非奇非偶函数 (5)对数函数(且，)是非奇非偶函数. (6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数. (7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数. 特殊函数的奇偶性： 奇函数：两指两对 ⑴， ⑵函数 ⑶， ⑷函数，函数 ⑸函数 考点：形如①已知奇函数，则 ②已知奇函数，则 偶函数： ⑴函数 ⑵函数 ⑶函数类型的一切函数. ⑥：判定抽象函数的奇偶性 使用前提：所给的函数没有解析式，需要利用所给的条件判定函数的奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向； Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或 Ⅴ：若，可认为函数为正切函数； Ⅵ：若，可认为是余弦函数. Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或 第二步：利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出与的关系； 第三步：得出结论. 3.函数单调性与奇偶性综合求不等式范围问题： 结论1：奇函数单调性不改变，若函数为定义在上的奇函数时 ①若时，为单调递增，则时，为也为单调递增，即. ②若时，为单调递减，则时，为也为单调递减，即. 结论2：奇函数单调性不改变，若定义在上函数关于点对称时 ①若时，为单调递增，则时，为也为单调递增，即. ②若时，为单调递减，则时，为也为单调递减，即. 结论3：偶函数单调性改变，若函数为定义在上的偶函数时 ①若时，为单调递增，则时，为单调递减， 即，. ②若时，为单调递减，则时，为单调递增， 即，. 结论4：偶函数单调性改变，若定义在上函数关于直线对称时 ①若时，为单调递增，则时，为单调递减， 即，. ②若时，为单调递减，则时，为单调递增， 即，. 二、题型精刷精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果. 【详解】当时，，所以，由图可知A错误； 由偶函数定义，得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错误； 当时，，由图可知D错误； 由奇函数定义可知函数为奇函数，当时， 当时，，选项C均符合图像特征，故C正确； 故选：C. 2．设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造新函数，研究新函数的性质，根据性质从而得出关于的不等式，再借助分离变量法求解不等恒成立问题. 【详解】解：设，即， 因为， 所以，所以， 由，所以函数为偶函数， 当时，为单调递增函数， 当时，为单调递减函数， 因为在上恒成立，所以， 根据函数的奇偶性与单调性得，， 又因为，所以，即， 即，又因为函数在上单调递增， 所以当时，，又因为函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 又时，，所以，所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．已知函数，下列命题正确的是（    ） ①是奇函数； ②方程有且仅有1个实数根； ③在上是增函数； ④如果对任意，都有，那么的最大值为2. A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，令，可得，再结合零点存在性定理分析判断，对于③,对函数求导后利用导数判断，对于④,问题转化为恒成立，构造函数，求导后分析判断. 【详解】对于①，因为的定义域为， 且，所以是奇函数，所以①正确， 对于②，令， 因为，所以方程所以有一个根为0， 因为，， 所以方程在至少有一个根，所以②错误， 对于③，由，得， 所以在上是增函数，所以③正确， 对于④，若对任意，都有，即恒成立， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 因为，所以取不到等号，所以， 若，则恒成立，所以在上递增， 所以，即恒成立， 若，则存在使， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以在上，有不合题意， 综上，，所以的最大值为2，所以④正确， 故选：B 4．已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．函数的最小正周期为2 【答案】D 【分析】根据得到，所以的周期为4，根据得到关于对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据求出时函数解析式；D选项，根据的最小正周期，得到的最小正周期. 【详解】因为，所以，故， 所以的周期为4， 又，所以，故关于对称， 又时，，故画出的图象如下：    A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误； B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误； C选项，当时，，则，C错误； D选项，由图象可知的最小正周期为4， 又，故的最小正周期为2，D正确. 故选：D 5．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，再判断选项AC的奇偶性，排除AC，判断选项B的单调性，排除B，判断选项D的奇偶性和单调性确定结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由，所以函数为奇函数， 因为函数为上的增函数，函数为上的减函数， 所以函数为上的增函数， 对于A，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，， 因为，所以函数不是奇函数，A错误； 对于B，设，则， 故函数不是其定义域上的增函数，B错误； 对于C，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数，C错误； 对于D，设，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数， 又函数为上的增函数，D正确； 故选：D. 6．函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【答案】B 【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可. 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 7．已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案． 【详解】，的定义域均为，且,， 所以为奇函数，为偶函数. 由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB. 当时，，排除C. 故选:D． 8．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，易知，， 所以，所以，错误； 对于B，因为，所以， 由知，错误； 对于C，，， 虽然，但是， 故对，不恒成立，错误； 对于D，函数， 则，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以， 所以， 即，所以，正确.故选：D 9．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式．再解不等式即可. 【详解】由得，即函数的定义域为． 因为， 所以为上的偶函数， 当时，， 因为函数在上单调递减,所以在上单调递减， 又都是在上单调递减， 根据单调性的性质，可知函数在上单调递减， 又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增， 又，所以，可得， 所以，且，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 10．已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有；②对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】对任意实数x，都有，故函数为奇函数； 对任意实数，当时，都有，即，即，，故函数单调递减. 对选项A：单调递增，不满足； 对选项B：单调递减，且函数为奇函数，满足； 对选项C：单调递增，不满足； 对选项D：不是奇函数，不满足. 故选：B 11．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解. 【详解】因为定义域为，， 所以为奇函数，且为上的增函数. 当时，，所以， 即“”是“”的充分条件， 当时，，由的单调性知， ，即， 所以“”是“”成立的必要条件. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 12．如图为函数在上的图像，则的解析式只可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可． 【详解】对于B.的定义域为R，且 ，故为偶函数； 对于D.的定义域为R，且 ，故为偶函数； 由图象，可知为奇函数，故排除B、D； 对于C.当时，由， 可知，则， 而，此时，故排除D； 故选：A. 13．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（    ） A．若，则函数为奇函数 B．若，则函数有最小值 C．若，则函数为增函数 D．若，则函数存在零点 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：取，满足，此时， 其定义域为，关于原点对称，且，此时为偶函数，故A错误； 对B：，令，故若存在最小值，则有最小值， 因为，故，根据对勾函数的单调性可知，有最小值，无最大值， 故当时，有最大值没有最小值，故B错误； 对C：当时，满足，又是单调减函数，是单调减函数， 故是单调减函数，故C错误； 对D：令，即，则，因为，故， 解得，故当，即为函数零点，故D正确. 故选：D. 14．设函数，则使得(1)成立的的取值范围是(    ) A． B．，， C． D．，， 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得为偶函数且在，上为增函数，据此可得(1)(1)，解可得的取值范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数，其定义域为， 有，即函数为偶函数， 当时，，函数和函数都是，上为增函数，则在，上为增函数， (1)(1)，解可得或， 即的取值范围为，，； 故选：. 15．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）＝0，则“不等式f（log4x）＞0的解集”是“{x|0＜x＜}”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分且必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合奇偶性，先解对数不等式，再根据包含关系判断充分性与必要性． 【详解】解：因为定义域为的偶函数在，上是增函数，且， ，即，即，即， 即，或， 解之得或， 或是的必要不充分条件， 故选：． 16．已知函数，则函数的奇偶性为（    ） A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数不是偶函数 D．是偶函数不是奇函数 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，化简函数的解析式，再利用奇偶性的定义求解即可. 【详解】由， 所以， 可得函数定义域为且，关于原点对称， 又因为， 所以函数是奇函数不是偶函数， 故选：C. 17．偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数,再根据得出的单调性,结合偶函数可得的奇偶性,再结合奇偶性与单调性求解即可. 【详解】构造函数,则. 故当时,有,为减函数. 又为偶函数,故也为偶函数,所以在时为增函数. 又,,即, 即,故,结合定义域解得或. 故选：C 18．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）在R上为减函数以及f（﹣1）＝1，结合对数函数的性质可得g（x）＝log2（x+3）的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数，设F（x）＝f（x）﹣g（x），易得F（x）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F（﹣1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）＝1﹣1＝0，进而可得F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减， 则f（x）在[0，+∞）上也是减函数， 则f（x）在R上为减函数， 又由f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝1， 又由g（x）＝log2（x+3），有x+3＞0，即x＞﹣3，函数的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数， 设F（x）＝f（x）﹣g（x），其定义域为（﹣3，+∞）， 分析易得F（x）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F（﹣1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）＝1﹣1＝0， F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1， 则f（x）≥g（x）⇒F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，即不等式的解集为（﹣3，﹣1]； 故选C． 19．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，，，则的值（　　） A．恒为正 B．恒为负 C．恒为0 D．无法确定 【答案】B 【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得结论． 【详解】定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减， 故函数f（x）在（﹣∞，0]上也单调递减，故f（x）在R上单调递减． 根据a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0， 可得a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a，∴f（a）＜f（﹣b），f（b）＜f（﹣c），f（c）＜f（﹣a）， ∴f（a）+f（b）+f（c）＜f（﹣b）+f（﹣c）+f（﹣a）＝﹣f（a）﹣f（b）﹣f（c）， ∴f（a）+f（b）+f（c）＜0， 故选B． 20．已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对函数求导，然后利用基本不等式证得，利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，在结合奇偶性以及单调性化简，得到关于的一元二次不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，知在R上单调递增， 且，即函数为奇函数， 故 ， 解得.故选D. 21．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性结合图像上的特殊点，用排除法解决 【详解】易得定义域为R， ，所以函数是偶函数，图像关于轴对称，排除A、D；当时，，排除B. 故选：C. 22．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 23．已知函数（R）是偶函数，其部分图象如图所示，则在上与函数的单调性相同的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：从图象可知，函数在上单调递减，所以在上与函数的单调性相同的是．选D． 24．下列函数是奇函数，并且在定义域上是增函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数和增函数的定义，结合函数的图象判断即可． 【详解】对于A，定义域为，在，上是增函数，但在定义域上不是增函数，故不正确； 对于B，定义域为，，所以是偶函数，故不正确； 对于C在定义域上有增有减，故不正确； 对于D，定义域为，函数的图象如图，可知是奇函数，在定义域上是增函数，故正确. 故选：D． 25．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时， ，给出下列命题 ①； ②函数在定义域上是周期为2的函数； ③直线与函数的图象有2个交点； ④函数的值域为. 其中正确的是 A．①，② B．②，③ C．①，④ D．①，②，③，④ 【答案】C 【详解】试题分析：由于当时，有，所以， 从而当时，有， 又 即； 再注意为定义在上的偶函数，所以可作出函数的图象如下： 对于① ，故①正确；排除B； 对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除A、D 对于③由图象可知直线与函数的图象只有1个交点，故③错误； 对于④由图象可知函数的值域为，故④正确. 故选C. 26．已知函数具有下列性质： ①当时，都有； ②在区间上，单调递增； ③是偶函数． 则 ；函数可能的一个解析式为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】令即可求出，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验证即可. 【详解】因为当时，都有， 令可得，解得， 不妨令，， 则，所以在上单调递增，满足②； 又，所以为偶函数，满足③； 当时， ，， 所以，满足①. 故答案为：；（答案不唯一） 27．已知偶函数的定义域为R，且当时，，则不等式的解为 ． 【答案】 【分析】先由偶函数的定义求出函数解析式，然后根据二次不等式的求解方法分类计算即可． 【详解】令，则时，， 对于不等式， 当时，等价于且，解之得， 当时，等价于，即，显然恒成立， 综上可知故答案为：. 28．定义域为R的满足对，有，且当时，，设函数对应曲线为C，则以下对于函数性质描述正确的是 . ①是奇函数； ②是偶函数； ③是周期函数； ④直线是曲线的一条对称轴． 【答案】②③④ 【分析】根据已知得到奇偶性求得周期即可进行判断. 【详解】解：由，可得函数的图像关于直线对称， 又，可知为偶函数， 又因为当时， 所以函数的图像对称轴是 由，得， 即，所以函数的周期为2， 故①错误，②③④正确．故答案为：②③④． 29．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论 ①函数是增函数； ②函数是奇函数； ③对于任意实数a，函数至少有一个零点； ④曲线不存在与直线垂直的切线． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】求出函数定义域，利用奇偶性定义判断函数奇偶性；求导研究函数单调性；数形结合求解零点问题；通过研究导函数的值域判断曲线不存在与直线垂直的切线． 【详解】定义域为R，， 所以为奇函数，②正确； 恒成立，所以函数是增函数，①正确； 当时，恒成立，所以在上单调递减， 在上单调递增，且， 故当时，，此时无零点，③错误； ，且， 所以，故曲线不存在与直线垂直的切线．④正确. 故答案为：①②④ 30．已知函数，给出下列四个结论： ①是偶函数； ②有4个零点； ③的最小值为； ④的解集为. 其中，所有正确结论的序号为 . 【答案】①②④ 【分析】对于①：利用函数的奇偶性的定义直接判断；对于②：令，直接解得； 对于③：利用图像法直接判断；对于④：直接解不等式即可判断. 【详解】对于①：因为函数的定义域为，且，所以是偶函数.故①正确； 对于②：在，令，解得：，，，.所以有4个零点.故②正确； 对于③：因为是偶函数，所以只需研究的情况. 如图示，作出（）和的图像如图所示：    在上，有，所以，即的最小值大于.故③错误； 对于④：当时，可化为： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：的解集为.故④正确. 故答案为：①②④ 31．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是 ． 【答案】[0，9） 【分析】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），由此得出函数f（x）为奇函数，且在R上递增；对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；使不等式可以转化为一个无理不等式，解不等式即可求出满足条件的实数m的取值范围． 【详解】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x）， 所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数； ∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2）， 则[f（+）]2＝f（2+1）； 不等式⇔不等式f（2+1）＞f（m﹣2）， ∵f（x）在R单调递增，∴2+1＞m﹣2；∴m﹣2﹣3＜0； 解得0≤m＜9； 故答案为：[0，9）． 32．函数（其中为有理数集）被称为狄利克雷函数，关于函数有如下四个命题： ①；②函数是偶函数；③任何非有理数都有函数的周期； ④存在三个点，，，使得为等边三角形， 其中真命题的是 ． 【答案】②③④ 【分析】对于①：直接利用狄利克雷函数的定义验证； 对于②：直接利用偶函数的定义验证； 对于③：直接利用周期函数的定义验证； 对于④：取三个特殊点,进行验证. 【详解】对于①：等0或1，均为有理数，所以成立；故①不正确. 对于②：若x为有理数，则-x为有理数，所以， 若x为无理数，则-x为无理数，所以； 即函数是偶函数；故②正确. 对于③：任意非有理数，即为无理数，则取一个非零有理数T，所以为无理数，所以,即T为函数的一个周期；故③正确. 对于④：取可得： 所以当时,恰好为等边三角形；故④正确. 故答案为：②③④ 33．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是 ． ①如果，那么函数为奇函数； ②如果，那么为单调函数； ③如果，那么函数没有零点； ④如果那么函数的最小值为2． 【答案】②③ 【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论. 【详解】对①：当时，函数，此时为偶函数，故①错误. 对②：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果，那么为单调函数；故②正确. 对③：当时，函数， 当时，函数； 综上：如果，那么函数没有零点；故③正确. 对④：由，则， 当时，函数； 当时，函数； 故时，函数没有最小值；故④错误. 故答案为：②③ 34．已知函数给出下列结论： ①在上有最小值，无最大值； ②设则为偶函数； ③在上有两个零点. 其中正确结论的序号为 .（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】对函数进行求导，由导函数与函数的单调性，最值关系判断①；利用函数奇偶性的定义判断②；画出和在区间上的图像，结合函数零点与函数图像的交点的转换可判断③. 【详解】①，由于，所以，所以在上递减，所以在上有最小值，无最大值，故①正确. ②，依题意，由于，所以不是偶函数，故②错误. ③，令得，画出和在区间上的图像如下图所示，由图可知和在区间上的图像有两个交点，则在上有两个零点，故③正确. 故答案为：①③. 35．若奇函数定义域为,且,则= 【答案】 【分析】先根据的性质得出周期为4,再利用周期性与奇偶性将中的自变量转换,利用求解即可. 【详解】因为,故,故周期为4.又奇函数,故. 故答案为： 36．已知定义域为的奇函数，当时，． ①当时，的取值范围是 ； ②当函数的图像在直线的下方时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数在的值域，结合函数的奇偶性即可得到的值域； 然后根据函数的图像在直线的下方，列出不等式，求解即可. 【详解】当时，在上的值域为，且是定义域为的奇函数，故在上的值域为； 因为当时，， 设，则，即， 且是定义域为的奇函数，所以，即 当函数的图像在直线的下方时， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 则的取值范围是. 故答案为:(1).     (2). . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03：常考函数的综合问题 一、知识点梳理 1.常规函数单调性 ①：定义法使用前提：一般函数类型 解题步骤： 第一步：取值定大小：设任意，且； 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：定符号，得出结论. 注意：同向递增，异向递减 ②导数法 使用前提：较复杂的函数类型 解题步骤： 第一步：求函数的定义域和导函数的解析式； 第二步：在定义域范围内解不等式或； 第三步：得出函数的增减区间.斜率 ③：复合函数分析法 使用前提：简单的复合函数类型 解题步骤： 第一步：先求函数的定义域； 第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性； 第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间. 剖析：若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 口诀：同则增，异则减(同增异减). ④：图象法 使用前提：图像比较容易画出的函数类型（利用图象专题破解） 解题步骤： 第一步：通过题目条件画出函数图像； 第二步：从图像中读出函数的单调区间. ⑤：抽象函数的单调性（正规解法） 使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性. 解题步骤： 第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且； 第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性. ⑥：抽象函数具体化 使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数的内容延伸和实例化. 解题步骤： 第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型； 常见函数模型包括： Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或 Ⅴ：若，可认为函数为正切函数； Ⅵ：若，可认为是余弦函数. Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或 第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性. ⑦：结论法(函数性质法) 使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数. 解题步骤： 第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的. 第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性. 常见的结论(函数性质)包括： (1)与单调性相同.(为常数) (2)当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性 (3)当恒不等于零时，与其有相反的单调性. (4)当、在上都是增(减)函数时，则在上是增(减)函数. (5)当、在上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，在上是增(减)函数；当、在上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，在上是减(增)函数. (6)设为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域上也是严格增(减)函数. (7)奇(或偶)函数的单调性： 由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性. (8)周期函数的单调性： 若是周期为的函数，且在单调递增或单调递减，则在上单调递增或单调递减. ⑧：零点法 使用前提：利用函数单调性的定义作差变形之后需要确定函数单调区间的端点. 解题步骤： 第一步：取值定大小：设任意，且； 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：利用零点法确定函数单调区间的端点. 第四步：定符号，得出结论. 2.常见函数奇偶性： ①：基本方法判定函数的奇偶性 使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解. 解题步骤： 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步: 得出结论. ②：利用函数的奇偶性求函数的解析式 使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式. 解题步骤： 第一步：首先设出所求区间的自变量； 第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围； 第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式. ③：分段函数的奇偶性 使用前提：所给函数的解析式为分段函数，需要判定函数的奇偶性 秒杀：口诀：奇函数定奇变偶、偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负. 定义在上任意的函数都可以唯一表示成一个奇函数和一个偶函数之和，当以分段函数形式出现奇偶性时，则函数一定满足： Ⅰ：奇函数 Ⅱ：偶函数 若不容易拆分出奇函数和偶函数之和时，则直接采用 Ⅰ：奇函数 Ⅱ：偶函数 解题步骤： 解题模板1：利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步：得出结论. 解题模板2： 第一步： 确定函数的定义域 第二步： 写出形式的分段函数 第三步： 确定函数的奇偶性 ④：用求商法判断函数的奇偶性 使用前提：与的关系不容易确定的函数奇偶性的判定. 解题步骤： 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则利用比值关系或来判断；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步：得出结论. ⑤：根据函数奇偶性的规律判定 使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断； 第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性. 常见的结论包括： (1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数. (2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数. 常见基本函数的奇偶性： (1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数. (2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数. (3)反比例函数是奇函数. (4)指数函数(且)是非奇非偶函数 (5)对数函数(且，)是非奇非偶函数. (6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数. (7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数. 特殊函数的奇偶性： 奇函数：两指两对 ⑴， ⑵函数 ⑶， ⑷函数，函数 ⑸函数 考点：形如①已知奇函数，则 ②已知奇函数，则 偶函数： ⑴函数 ⑵函数 ⑶函数类型的一切函数. ⑥：判定抽象函数的奇偶性 使用前提：所给的函数没有解析式，需要利用所给的条件判定函数的奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向； Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)； Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或 Ⅴ：若，可认为函数为正切函数； Ⅵ：若，可认为是余弦函数. Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或 第二步：利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出与的关系； 第三步：得出结论. 3.函数单调性与奇偶性综合求不等式范围问题： 结论1：奇函数单调性不改变，若函数为定义在上的奇函数时 ①若时，为单调递增，则时，为也为单调递增，即. ②若时，为单调递减，则时，为也为单调递减，即. 结论2：奇函数单调性不改变，若定义在上函数关于点对称时 ①若时，为单调递增，则时，为也为单调递增，即. ②若时，为单调递减，则时，为也为单调递减，即. 结论3：偶函数单调性改变，若函数为定义在上的偶函数时 ①若时，为单调递增，则时，为单调递减， 即，. ②若时，为单调递减，则时，为单调递增， 即，. 结论4：偶函数单调性改变，若定义在上函数关于直线对称时 ①若时，为单调递增，则时，为单调递减， 即，. ②若时，为单调递减，则时，为单调递增， 即，. 二、题型精刷精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 2．设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，下列命题正确的是（    ） ①是奇函数； ②方程有且仅有1个实数根； ③在上是增函数； ④如果对任意，都有，那么的最大值为2. A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 4．已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．函数的最小正周期为2 5．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 6．函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 7．已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 9．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有；②对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．如图为函数在上的图像，则的解析式只可能是（    ）． A． B． C． D． 13．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（    ） A．若，则函数为奇函数 B．若，则函数有最小值 C．若，则函数为增函数 D．若，则函数存在零点 14．设函数，则使得(1)成立的的取值范围是(    ) A． B．，， C． D．，， 15．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）＝0，则“不等式f（log4x）＞0的解集”是“{x|0＜x＜}”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分且必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知函数，则函数的奇偶性为（    ） A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数不是偶函数 D．是偶函数不是奇函数 17．偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 19．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，，，则的值（　　） A．恒为正 B．恒为负 C．恒为0 D．无法确定 20．已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 21．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 22．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 23．已知函数（R）是偶函数，其部分图象如图所示，则在上与函数的单调性相同的是 A． B． C． D． 24．下列函数是奇函数，并且在定义域上是增函数的是（  ） A． B． C． D． 25．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时， ，给出下列命题 ①； ②函数在定义域上是周期为2的函数； ③直线与函数的图象有2个交点； ④函数的值域为. 其中正确的是 A．①，② B．②，③ C．①，④ D．①，②，③，④ 26．已知函数具有下列性质： ①当时，都有； ②在区间上，单调递增； ③是偶函数． 则 ；函数可能的一个解析式为 ． 27．已知偶函数的定义域为R，且当时，，则不等式的解为 ． 28．定义域为R的满足对，有，且当时，，设函数对应曲线为C，则以下对于函数性质描述正确的是 . ①是奇函数； ②是偶函数； ③是周期函数； ④直线是曲线的一条对称轴． 29．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论 ①函数是增函数；②函数是奇函数； ③对于任意实数a，函数至少有一个零点； ④曲线不存在与直线垂直的切线． 其中所有正确结论的序号是 ． 30．已知函数，给出下列四个结论： ①是偶函数；②有4个零点；③的最小值为； ④的解集为. 其中，所有正确结论的序号为 . 31．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是 ． 32．函数（其中为有理数集）被称为狄利克雷函数，关于函数有如下四个命题： ①；②函数是偶函数；③任何非有理数都有函数的周期； ④存在三个点，，，使得为等边三角形， 其中真命题的是 ． 33．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是 ． ①如果，那么函数为奇函数； ②如果，那么为单调函数； ③如果，那么函数没有零点； ④如果那么函数的最小值为2． 34．已知函数给出下列结论： ①在上有最小值，无最大值； ②设则为偶函数； ③在上有两个零点. 其中正确结论的序号为 .（写出所有正确结论的序号） 35．若奇函数定义域为,且,则= 36．已知定义域为的奇函数，当时，． ①当时，的取值范围是 ； ②当函数的图像在直线的下方时，的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$