模块二 函数与导数（测试）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

绝密★本科目考试启用前 模块二 函数与导数（测试） （北京专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，则实数（   ） A．1 B．-1 C． D．0或1 3．若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．存在最大值 B．的解集为 C．在上单调递减 D．对任意，有 5．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 7．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 9．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 10．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增 C．存在实数，使得 D．有最小值 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知，若，则 . 12．已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是 ． 13．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 14．已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 15．若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数： ①；     ②；   ③；    ④． 其中与原点关联的所有函数为 （填上所有正确答案的序号）． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知函数. （1）若，点为曲线上的一个动点，求以点为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数在上为单调增函数，试求的取值范围. 17．（14分）已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，都有成立． 18．（13分）已知函数R）． （Ⅰ）求函数的定义域，并讨论函数的单调性； （Ⅱ）问是否存在实数，使得函数在区间上取得最小值3？请说明由． 19．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，证明：在上单调递增； (3)判断与的大小关系，并加以证明． 20．（15分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 21．（15分）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间； (3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★本科目考试启用前 模块二 函数与导数（测试） （北京专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使得函数有意义，则，解得，故定义域为. 故选：C. 2．已知函数，，则实数（   ） A．1 B．-1 C． D．0或1 【答案】A 【详解】令，则，由，得， 于是， 由，得，，所以. 故选：A 3．若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故选：D. 4．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．存在最大值 B．的解集为 C．在上单调递减 D．对任意，有 【答案】D 【详解】如图所示，函数在处函数没有最大值，故A错误， 对于B，的解集为，故B错误； 对于C，函数在单调递增，在和单调递减，故C错误； 对于D，如图所示，函数为非奇非偶函数， 故对任意的，有，故D正确. 故选：D. 5．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵是偶函数， ∴，即， ∴，即，故选项B正确. 由得的对称轴为直线， 由在单调递增得在上单调递减， ∴，，的正负不确定，选项A，C，D错误. 故选：B. 6．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 又函数在上单调递增， 所以，所以函数在存在零点. 故选：B. 7．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为，则的最小值为. 故选：B 8．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 9．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 10．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增 C．存在实数，使得 D．有最小值 【答案】C 【详解】由得，令， 则函数可以看作为函数与函数的复合函数， 因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致， ， 由得，列表如下： 0 由表知，在上单调递减，在上单调递增， 在时，取得极小值（最小值）， 所以在上单调递增，即B正确； 在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知，若，则 . 【答案】或 【详解】因为且， 所以或，解得或. 故答案为：或 12．已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解析式为. 函数的定义域为，所以函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 因为，，所以， 又，在区间内有零点， 所以为假命题.故答案为：（答案不唯一）. 13．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【答案】(答案不唯一) 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 14．已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【详解】当时，，显然函数的最小值为，故①正确； 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，由可得， 此时，时，，在上单调递减，所以， 与最小值为矛盾， 若时，的对称轴方程为，当时， 即时，，若，则与矛盾， 当时，在上单调递减，无最小值， 综上，当时，函数的最小值不为，故②错误； 由②知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有2个零点，故③正确； 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 综上时，有且只有1个零点，而在上至多有2个零点， 所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误. 故答案为：①③ 15．若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数： ①；     ②；   ③；    ④． 其中与原点关联的所有函数为 （填上所有正确答案的序号）． 【答案】①②④ 【详解】设，则， 由题意可知，即，即， 所以，又， 所以，即共线，亦即三点共线， 也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联. 对于①，易知函数经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数； 对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点， 即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数； 对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在上有1个交点， 即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数； 对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在上有2个交点， 即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数； 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知函数. （1）若，点为曲线上的一个动点，求以点为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数在上为单调增函数，试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）因为函数，所以， 因为，所以，设，所以， 所以当时，切线斜率最小，最小值为，此时切线过点， 所以过点切线方程为，即． （2）因为，函数在上为单调增函数， 所以对任意的，恒有， 所以，即， 因为，当且仅当时“”号成立， 所以． 17．（14分）已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，都有成立． 【答案】（1）最小值为0；（2）证明见解析； 【详解】试题分析：（1）根据导数可得出函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性即可知函数在区间上的最小值为；（2）由（1）可知，的最小值为，对求导，根据单调性知，的最大值为，因此对任意，都有成立． 试题解析：（Ⅰ）由，可得．当单调递减，当 单调递增．所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知． 由，可得．所以当单调递增， 当单调递减．所以函数在时取得最大值， 又，可知，所以对任意，都有成立． 18．（13分）已知函数R）． （Ⅰ）求函数的定义域，并讨论函数的单调性； （Ⅱ）问是否存在实数，使得函数在区间上取得最小值3？请说明由． 【答案】（I）定义域为，单调区间见解析；（II）存在实数，使得在区间上取得最小值3. 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，且． 当时，，，函数在上是增函数； 当时，令，得．在区间上，函数在上是减函数； 在区间上，函数在上是增函数． 综上所述：当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数，在上是增函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （1）若，则在区间上，函数在上是增函数， 此时，取最小值， 由，得； （2）若则在区间上，函数在上是减函数， 此时，取最小值， 由，得； （3）若， 则在区间上，函数在上是减函数， 在区间上，函数在上是增函数， 此时，取最小值， 由，得； 综上所述，存在实数，使得在区间上取得最小值3． 19．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，证明：在上单调递增； (3)判断与的大小关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）,所以，．             所以曲线在点处的切线方程为． （2）由题设，． 所以．             当时，因为，所以．                     所以在上单调递增． （3）． 证明如下：     设．则．         由（2）知在上单调递增，所以．                         所以，即在上单调递增．         所以，即． 20．（15分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)单调递减区间为和，单调递增区间为； (3)． 【详解】（1）因为，所以． 所以．所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 21．（15分）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间； (3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：） 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1），，又，， 故的图象在点处的切线方程为，即. （2），又，， 则时，当，，单调递增；当，，单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减； 时，当，，在单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减. 综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为； 当，的单调减区间为，单调增区间为； 当，的单调减区间为，没有单调增区间； 当，的单调减区间为，单调增区间为. （3）若对任意，都有，则在上的最大值； 由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减， 故； 令，则， 故在单调递增，又，则； 故当时，， 也即当时，对任意，都有. 故的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$