专题04 导数及其应用（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

专题04 导数及其应用 目录 01 模拟基础练 2 题型一：求已知函数的极值或最值 2 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 4 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 5 题型四：求曲线上一点处的切线方程 7 题型五：利用导数判断或证明已知函数的单调性 8 02 重难创新练 10 题型一：求已知函数的极值或最值 1．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．是区间上的增函数 B．是区间上的减函数 C．1是的极大值点 D．4是的极小值点 2．关于函数，下列结论错误的是（    ） A．的解集是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 3．已知函数，下列说法不正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若0为的极大值点，则 C．的图象经过一个定点 D．若，则方程有三个不相等的实数根 4．如图所示为函数的导函数图象，则下列关于函数的说法正确的有（   ） ①单调减区间是；  ②和4都是极小值点； ③没有最大值； ④最多能有四个零点. A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 5．若函数存在极大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，给出下列4个图象： 其中，可以作为函数的大致图象的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（   ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值 8．已知函数. (1)若在处取得极大值，求的值； (2)求的零点个数. 9．已知集合，集合，且： (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 10．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知直线是曲线在点处的切线，求证：当时，直线与曲线相交于点，其中. 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 11．已知函数（且）在区间上是增函数，在区间上是减函数. (1)求的值； (2)求的取值范围. 12．已知函数，为函数的导函数 (1)若为函数的极值点，求实数的值； (2)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数的取值范围； (3)对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值. 13．已知函数且. （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 14．设函数. （Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围. 15．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由. 16．已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 17．已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方. 18．已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的取值范围； （2）讨论的零点个数． 19．已知函数. （1）若函数在处有极值，求的值； （2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值. 20．设函数，. （Ⅰ）当时,取得极值，求的值； （Ⅱ）若在内为增函数，求的取值范围． 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 21．已知，函数，为的导函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)记，讨论在区间上的零点个数． 22．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 23．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 24．已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)若函数在时取得极值，求的值； (3)在第（2）问的条件下，求证：函数有最小值. 25．已知函数在时取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)若有两个零点，求的值． 26．已知函数. (1)若曲线在处的切线为x轴，求a的值； (2)在（1）的条件下，判断函数的单调性； (3)，若是的极大值点，求a的取值范围. 27．已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 28．已知函数 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 29．设函数. (1)求的单调区间； (2)若，设，求证：不存在极大值. 30．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围. 题型四：求曲线上一点处的切线方程 31．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 32．已知函数（a为常数）. （1）当时，求过原点的切线方程； （2）讨论的单调区间和极值； （3）若，恒成立，求a的取值范围. 33．已知函数. （1）若，求过曲线上一点的切线方程； （2）若，在区间的最大值为，最小值为，求的最小值． 34．已知函数． （1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合； （2）证明：当时，函数有两个零点，且满足． 35．已知函数 （1）求的单调区间； （2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 36．已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若对所有都有，求实数的取值范围. 37．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间上有且仅有个零点. 38．已知函数，． (Ⅰ)当时，证明：； (Ⅱ)的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论． 39．已知函数 ． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时， （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）若在区间内单调递减，求的取值范围． 40．已知函数． （Ⅰ）当时，求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）当时，求证：过点恰有2条直线与曲线相切． 题型五：利用导数判断或证明已知函数的单调性 41．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证： 当时，. 42．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 43．已知函数，曲线在点处的切线为，记． (1)当时，求切线的方程； (2)在（1）的条件下，求函数的零点并证明； (3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 44．设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求a的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求证：． 45．已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 46．已知函数，. (1)证明：； (2)求函数的单调区间. 47．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的取值范围． 48．已知函数，． (1)求证：，恒成立； (2)若存在极值，求a的取值范围； (3)若时，成立，求a的取值范围． 49．已知，函数，为的导函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论在区间上的零点个数； (3)比较与的大小，并说明理由. 50．已知函数，是常数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明函数的图象在直线的下方； (3)讨论函数零点的个数. 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，直线与曲线相切于两点，其中．若当时，，则函数在上的极大值点个数为（    ）    A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在，使得是偶函数 B．存在，使得在上单调递减 C．存在，使得在处取极大值 D．存在，使得的最小值是 6．已知，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知，且的图象的对称中心是，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（    ） A．一定大于 B．一定小于 C．等于 D．与的大小关系不确定 9．已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，给出下列结论: ①的零点是0； ②时，； ③若直线与曲线总有两个不同交点，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 导数及其应用 目录 01 模拟基础练 2 题型一：求已知函数的极值或最值 2 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 11 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 21 题型四：求曲线上一点处的切线方程 31 题型五：利用导数判断或证明已知函数的单调性 42 02 重难创新练 57 题型一：求已知函数的极值或最值 1．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．是区间上的增函数 B．是区间上的减函数 C．1是的极大值点 D．4是的极小值点 【答案】D 【详解】由图可知：当时，， 当时，， 故在、上单调递减，在、上单调递增， 故A错误，B错误，C错误，D正确. 故选：D. 2．关于函数，下列结论错误的是（    ） A．的解集是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值 【答案】C 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，解得，即的解集是，A正确； 对于BCD，，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因此是极小值，是极大值，B正确； 显然当时，恒成立，当时，，， 而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确. 故选：C 3．已知函数，下列说法不正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若0为的极大值点，则 C．的图象经过一个定点 D．若，则方程有三个不相等的实数根 【答案】D 【详解】对于A，当时，， 则， 当且仅当时，， 所以函数在R上单调递增，故A正确； 对于B，，令解得或， 因为0为的极大值点， 所以，且在附近先增后减，故，所以，故B正确； 对于C，由，当时，， 即函数经过定点，故C正确； 对于D，由，令解得或， 当时，，所以当或时，， 当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， 又时，，，， 当时，与有3个交点，即方程有三个不相等的实根， 当即时，方程只有2个不等实根， 故不能保证方程有三个不相等的实根，故D错误. 故选：D. 4．如图所示为函数的导函数图象，则下列关于函数的说法正确的有（   ） ①单调减区间是；  ②和4都是极小值点； ③没有最大值； ④最多能有四个零点. A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】观察图象知，当或时，，当或时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上不单调，①错误； 和4都是极小值点，②正确； 函数在取得极大值， 当不小于函数在上的所有函数值时，函数有最大值，③错误； 当，，且函数函数在上的图象都与轴相交时， 函数在上各有1个零点，共有4个零点， 因此最多能有四个零点，④正确， 所以关于函数的说法正确的有②④. 故选：C 5．若函数存在极大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 又， 当时为常数函数，不存在极值，故舍去， 当时，令，解得，则当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，不存在极大值，不符合题意； 当时，令，解得，则当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，符合题意； 综上可得. 故选：A 6．已知函数，给出下列4个图象： 其中，可以作为函数的大致图象的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意知，定义域为， 当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①； 当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②； 当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减， 当时，，且此时，所以可对应③， 当时，，此时，所以可对应④. 故选：D. 7．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（   ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值 【答案】D 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D. 8．已知函数. (1)若在处取得极大值，求的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1)(2)1 【详解】（1）的定义域为. 因为4是的极大值点， 所以，即，解得或 当时，当变化时，的变化情况如下表： 3 4 + 0 0 + 极大值 极小值 此时，4是的极小值点，不符合题意； 当时，当变化时，的变化情况如下表： 4 6 + 0 0 + 极大值 极小值 此时4是的极大值点，符合题意. 因此，此时. （2）①当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有一个零点， 因此的零点个数是1. ②当时，对任意，在上是增函数， 又，由零点存在定理知，有1个零点， 因此的零点个数是1. ③当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有1个零点， 因此的零点个数是1. 综上，当时，的零点个数是1. 9．已知集合，集合，且： (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)；(2)极小值1，无极大值. 【详解】（1）由，得，解得，则， 而，，于是， 解得，此时，符合题意， 所以. （2）由（1）知，的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 10．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知直线是曲线在点处的切线，求证：当时，直线与曲线相交于点，其中. 【答案】(1)极大值为1，没有极小值(2)(3)证明见解析 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 令时，， 则，，的关系为 0 0 单调递增 极大值 单调递减 所以，当时，取到极大值为1，没有极小值. （2）若，即恒成立， 设，则， ①当时，则恒成立，符合题意； ②当时，则，可知在上单调递增， 因为，所以不恒成立； ③当时，，，的关系为 0 单调递减 极小值 单调递增 可知的最小值为，则， 因为，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. （3）因为，，则， 即切点坐标为，切线斜率为， 可得的方程为，即， 联立方程，可得， 由题可知：当时，方程有小于的解， 设，其中，且，则， 设，则， 因为，，，的关系为 1 0 单调递减 ， 单调递增 可知的最小值，且， 可知，使， 当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递增；在内单调递减， 可知的最大值，且， 可知存在小于的零点， 所以当时，直线与曲线相交于点，其中，得证. 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 11．已知函数（且）在区间上是增函数，在区间上是减函数. (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 又在区间上是增函数，在区间上是减函数， ，． （2）解：，得， 由，得． 在区间上是增函数，在区间上是减函数， 则有，且． 12．已知函数，为函数的导函数 (1)若为函数的极值点，求实数的值； (2)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数的取值范围； (3)对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)或(2)(3) 【详解】（1）解：因为， 所以，因为为函数的极值点， 所以，解得或； 当时，，则， 所以，当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极小值，符合题意； 当时，，则， 所以，当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极小值，符合题意； 综上，或． （2）解： ， 因为，的单调增区间内有且只有两个整数， 所以，有且只有两个整数满足不等式，即有且只有两个整数满足不等式，显然， 当时，解得，即不等式的解集为， 所以，解得； 当时，解得，即不等式的解集为， 所以，解得； 综上可得 （3）解：因为， 令，则， 令，则或， 因为，所以，， 所以当，和，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以函数的极小值为， 又， 令，在上成立， 所以，当时，函数单调递增，故， 所以， 即当，时，， 又 其对应函数图像的对称轴为， 所以时，， 所以，故有， 所以，，， 因为，， 所以， 所以，即实数的最大值为. 13．已知函数且. （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）的单调递增区间是和，单调递减区间是； （3）. 【详解】解：（1）因为，所以， 当时，得， 解得． （2）， ，列表如下： ， 1 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是． （3）函数， 有， 因为函数在区间，上单调递增， 等价于在，上恒成立， 只要，解得， 所以的取值范围是：． 14．设函数. （Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ）当时，，， 设图象上任意一点，切线斜率为.      过点的切线方程为. 令，解得；令，解得.          切线与坐标轴围成的三角形面积为. 所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.    （Ⅱ）由题意，函数的定义域为. 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 即当，恒成立， 所以 因为当，，当且仅当时取等号. 所以当时， 所以.     所以的取值范围为. 15．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在实数，使得在单调递增，理由见解析. 【详解】解：（1）求导得， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）存在实数，使得在单调递增，理由如下： 由（1）得， 令，则， 故当时，在上恒成立， 故在上单调递增，由于， 故时，，单调递减， 时，，单调递增. 当时，令得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 由于， 所以当时，， 所以不可能使得在恒成立， 所以当时，均不能使得在具有单调性. 当时，， 此时时，单调递减，时，单调递增， 所以， 所以在恒成立，此时函数在单调递增. 故存在实数，使得在具有单调性. 16．已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为．（2） 【详解】（1）当时，,则， 由，得或；时，得， 所以函数的增区间为和，减区间为 所以的极大值为，极小值为． （2）， 在区间上单调递增，即为在上恒成立， ①当时，，当时，； ②当时，由，可得或， 这与矛盾，不可取． 综合①②可知，的取值范围是． 17．已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方. 【答案】(1) .(2) .(3)证明见解析. 详解：解：（Ⅰ）求导，得，又因为 所以曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）设函数， 求导，得， 因为函数在区间上为单调函数， 所以在区间上，恒成立，或者恒成立， 又因为，且， 所以在区间，只能是恒成立，即恒成立. 又因为函数在区间上单调递减，， 所以. (Ⅲ）证明：设. 求导，得. 设，则（其中）. 所以当时，（即）为增函数. 又因为， 所以，存在唯一的，使得 且与在区间上的情况如下： - 0 + ↘ ↗ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 . 又因为，， 所以， 所以，即的图象在图象的下方. 18．已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的取值范围； （2）讨论的零点个数． 【答案】（1）；（2）当时，有且只有1个零点；当时，有3个零点． 【详解】（1）依题意：对于恒成立， 即恒成立． ∵当时，有（当且仅当时等号成立）． ∴，故的取值范围为． （2）（ⅰ）当时，由（1）知在上单调递增，故此时至多有一个零点． 又，∴当时，有且只有一个零点． （ⅱ）当时，先分析时函数的零点个数． 由（1）．记． 则．∴在上单调递增． ∵，∴． 又， 即．∴存在，使． ∴当时，有；当时，有． ∴在上有极小值，且． 以下先证对任意． 令，则，得时，时，． ∴． ∴成立，即．取， 则 ∵，∴． 即．在上存在零点， ∵在上单调递增，∴在上存在唯一零点． 另一方面，∵，∴是上的奇函数， ∴根据对称性知：在上也存在一个零点． 又，∴当时，函数有3个零点． 综上所述，当时，有且只有1个零点；当时，有个零点． 19．已知函数. （1）若函数在处有极值，求的值； （2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值. 【答案】（1）b＝－11 （2） 【详解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 于是，根据题设有， 解得或. 当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点； 当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点． 所以b＝－11. (2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立， 所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立． 因为x≥0， 所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0； ②当F(a)为增函数时，F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0， 即b≥(－3x2＋8x)max对任意x∈[0,2]都成立， 又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤， 所以当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥. 所以b的最小值为. 20．设函数，. （Ⅰ）当时,取得极值，求的值； （Ⅱ）若在内为增函数，求的取值范围． 【答案】（1）－；（2） 【详解】， （Ⅰ）由题意： 解得.经检验满足题意. （Ⅱ）方程的判别式, (1) 当, 即时，,在内恒成立, 此时为增函数； (2) 当, 即或时， 要使在内为增函数, 只需在内有即可, 设， 由得, 所以. 由(1) (2)可知,若在内为增函数，的取值范围是. 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 21．已知，函数，为的导函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)记，讨论在区间上的零点个数． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，其定义域为， ，令，得． 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减． 因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）令，则，． 因为，则，，则． 当时，则，故，从而在上单调递减； 而，故当时，，故在区间上无零点； 当时，令，则， 因为，则，从而，即在上单调递减； 而，，因此存在唯一的，使得， 并且当时，；当时，． 即当时，，当时，． 故当时，单调递增，当时，单调递减． 而，故；取， 当时，， 所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点． 综上所述，当时，在上有唯一的零点； 当时，在上没有零点． 22．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)(2)递增区间为，递减区间为. 【详解】（1）解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. （2）解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 23．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 【答案】(1)(2)在，单调递增，在单调递减(3)2个，理由见解析 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即. （2）解：由（1）知，可得， 令，即，解得或， 当，；当，；当，， 所以函数在，单调递增，在单调递减. （3）解：函数有2个极值点，理由如下： 由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增， 且，， 所以存在唯一，使； ②当时，函数在区间上单调递减， 且，， 所以存在唯一，使； ③当时，在区间上单调递增， 且，恒有，故该区间内无零点， 综上可得：当，；当，；当，， 所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点. 24．已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)若函数在时取得极值，求的值； (3)在第（2）问的条件下，求证：函数有最小值. 【答案】(1)和，单调减区间是(2)(3)证明见解析 【详解】（1）因为的定义域为， 当时，则，可得， 令，解得或；令，解得； 所以的单调增区间是和，单调减区间是. （2）由题意可得：， 若函数在时取得极值， 则，解得：， 当时，， 当或时，；当时，； 可知的单调增区间是和，单调减区间是， 则是的极大值点，符合题意， 综上所述：. （3）由（2）可知：， 当时，恒成立； 当时，由（2）可知：在上单调递增，在上单调递减， 所以的取得最小值； 综上所述：在处取得最小值，最小值为. 25．已知函数在时取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)若有两个零点，求的值． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是；(2)(3)或 【详解】（1）由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是. （3）因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或. 26．已知函数. (1)若曲线在处的切线为x轴，求a的值； (2)在（1）的条件下，判断函数的单调性； (3)，若是的极大值点，求a的取值范围. 【答案】(1)(2)上单调递减，上单调递增(3) 【详解】（1）由已知，则， 由于曲线在处的切线为x轴， 所以，所以； （2）当时，，令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又当时，恒成立，，， 所以当时，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （3）由已知， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又当时，恒成立，且， 当时，，即在上有且只有一个零点，设为， 当，即，解得， 此时若，解得，在上单调递减， 若，解得或，在上单调递增， 此时在处取极小值，不符合题意，舍去； 当，即，解得， 此时若，解得，在上单调递减， 若，解得或，在上单调递增， 此时在处取极大值，符合是的极大值点， 当时，即，解得， 此时恒成立，无极值点， 综上所述：a的取值范围为. 27．已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案见详解(2)答案见详解 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， （ⅰ）由题意可知：，解得， （ⅱ）此时，， 若，则，可得， 可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：的单调递减区间为，，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. （2）由（1）可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减，无极值点； 若，令，整理得， 构建，则， 若，则；若，则； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于1；当x趋近于时，趋近于； 作出的图象，如图所示： 且，可知： 当，则， 可知与有且仅有一个交点，可知有且仅有一个极值点； 当，则， 可知与没有交点，可知没有极值点； 综上所述：若，有0个极值点； 若，有且仅有1个极值点. 28．已知函数 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；(2)单调递增区间是，单调递减区间是. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为R，由（1）得， 由，得或，由，得， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 29．设函数. (1)求的单调区间； (2)若，设，求证：不存在极大值. 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【详解】（1）由题意知：定义域为，； ①当时，， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为； ②当时，令，解得，； 当时，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为. （2）当时，，则， 令，则， 令，解得：，， 当时，；当时，； ，即在，上单调递增，在上单调递减， ，，又， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，不存在极大值. 30．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析(2) 【详解】（1），当，得， 当时，时，，单调递增， 时，，单调递减， 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是， 时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 时，函数的增区间是，无减区间. （2）不等式，即， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在，使，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为，所以， 当时，，当时，， 不等式无整数解，即无整数解， 若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意， 若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以无整数解，符合题意， 当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意， 综上可知，. 题型四：求曲线上一点处的切线方程 31．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）， ∴切线斜率， ∴曲线在处的切线方程为， ∴即； （2）过点向曲线作切线，设切点为， 则， ∴切线方程， 即， ∴有三个不同实数根， 记，令或1， 则的变化情况如下表 0 1 + 0 - 0 + 极大 极小 当有极大值；有极小值. 因为过点可作曲线的三条切线， 则，即，解得， 所以的范围是. 32．已知函数（a为常数）. （1）当时，求过原点的切线方程； （2）讨论的单调区间和极值； （3）若，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【详解】（1）当时，，则， 设切点坐标为，∴，解得，∴， ∴过原点的切线方程； （2），∴， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ∴，无极大值； （3），恒成立，即在上恒成立， 当时，恒成立，当时，，设，， ∴恒成立，∴在上单调递减，∴， ∴，综上所述. 33．已知函数. （1）若，求过曲线上一点的切线方程； （2）若，在区间的最大值为，最小值为，求的最小值． 【答案】（1）或；（2）. 【详解】（1）当时，，所以． 设切点为，所以切线方程为. 因为切线过时，所以， 所以， 所以或.所求切线方程为或. （2）因为，，. 所以．令，得或． 所以，，为减函数，，，为增函数. ①当时，在上单调递减． 所以依题意，．， 所以. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，. 当时，， 所以，. 当时，所以，. 设，， 当时，，所以在单调递减. 又因为，， 所以 所以，当且仅当时，取得最小值. 34．已知函数． （1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合； （2）证明：当时，函数有两个零点，且满足． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）设公切线l与函数的切点为，则公切线l的斜率，公切线l的方程为：，将原点坐标代入，得，解得，公切线l的方程为：， 将它与联立，整理得． 令，对之求导得：，令，解得． 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 由于直线l与函数相切，即只有一个公共点， 故实数a的取值集合为． （2）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．，即时函数的一个零点． 对求导得：，令，解得．当时，单调递增； 当时，单调递减．当时，取最小值，，，必定存在使得二次函数， 即．因此在区间上必定存在的一个零点． 练上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上． 下面证明． 由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上． 不妨设则，下面证明即可． 令，对之求导得， 故在定义域内单调递减，，即． 35．已知函数 （1）求的单调区间； （2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，，单调减区间为；（2）三条切线，理由见解析；（3） 【详解】（1）， 得，或；得，； 所以的单调增区间为，；单调减区间为； （2）过点可做的三条切线；理由如下： 设切点坐标为，所以切线斜率 所以过切点的切线方程为：， 切线过点，代入得， 化简得， 方程有三个解，，，，即三个切点横坐标， 所以过点可做的三条切线. （3）设， ①时，因为，，所以显然对任意恒成立； ②时，若，则不成立， 所以不合题意. ③时，时，显然成立， 只需考虑时情况；转化为对任意恒成立 令（），则， ， 当时，，单调减； 当时，，单调增； 所以， 所以. 综上所述，的取值范围. 36．已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若对所有都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）当时， ；当时，；当时， ； （3）. 【详解】（1），当时， 因此函数在点处的切线方程为: . （2）令 令在单调递增； 令在单调递减. （i）当即时，在区间单调递增，因此； （ii）当即时，在区间单调递减，单调递增，因此； （iii）当即时，在区间单调递减，因此； （3）对所有都有，即； （i）当即时，在区间单调递增，因此； ，综上：； （ii）当即时，在区间单调递减，单调递增，因此，即，综上： 因此：. 37．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间上有且仅有个零点. 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1），则，，. 因此，函数在点处的切线方程为，即. （2）当时，，此时，， 所以，函数在区间上没有零点； 又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点. ，构造函数，则， 当时，， 所以，函数在区间上单调递增， ，， 由零点存在定理知，存在，使得， 当时，，当时，. 所以，函数在处取得极小值，则， 又，所以， 由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点. 综上可得，函数在上有且仅有两个零点. 38．已知函数，． (Ⅰ)当时，证明：； (Ⅱ)的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条，证明见解析 【详解】（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x， h′（x）1，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增； 可得h（x）在x＝1处取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0； 设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x， l′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，l′（x）＞0，l（x）递增； 可得l（x）＞l（0）＝1＞0， 综上可得当x＞0时，g（x）＜x＜f（x）； （Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2，证明如下： 设公切线与g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切点分别为（m，lnm），（n，en），m≠n， ∵g′（x），f′（x）＝ex， 可得，化简得（m﹣1）lnm＝m+1， 当m＝1时，（m﹣1）lnm＝m+1不成立； 当m≠1时，（m﹣1）lnm＝m+1化为lnm， 由lnx1，即lnx﹣1． 分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象， 由图象可知：y＝lnx﹣1和y的函数图象有两个交点， 可得方程lnm有两个实根， 则曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条． 39．已知函数 ． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时， （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）若在区间内单调递减，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）递增区间为，单调递减区间为和，（ⅱ） 【详解】（Ⅰ）当时，， 所以 所以曲线在点 处的切线方程为 即； （Ⅱ）时， （ⅰ）函数，定义域为 ， 所以，令 ，得 ①时，在 和， ；在， ． ②所以的单调递增区间为 和，单调递减区间为； ③当 时，在， ；在和 ， ． 所以 的单调递增区间为，单调递减区间为和； （ⅱ）由 在区间 内单调递减， ①时，，有，所以 ； ②当时，在 递减，符合题意 综上的取值范围是 40．已知函数． （Ⅰ）当时，求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）当时，求证：过点恰有2条直线与曲线相切． 【答案】（I）.（Ⅱ）见解析. 【详解】（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝x3﹣3x2，f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）． 当x∈[0，2]时，f'（x）≤0， 所以f（x）在区间[0，2]上单调递减． 所以f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）＝﹣4． （Ⅱ）设过点P（1，f（1））的曲线y＝f（x）的切线切点为（x0，y0），f'（x）＝3x2﹣2ax，f（1）＝1﹣a， 所以 所以． 令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a， 则g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a）， 令g'（x）＝0得x＝1或， 因为a＞3，所以． x （﹣∞，1） 1 g′（x） + 0 ﹣ 0 + g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴g（x）的极大值为g（1）＝0，g（x）的极小值为， 所以g（x）在上有且只有一个零点x＝1． 因为g（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0， 所以g（x）在上有且只有一个零点． 所以g（x）在R上有且只有两个零点． 即方程有且只有两个不相等实根， 所以过点P（1，f（1））恰有2条直线与曲线y＝f（x）相切． 题型五：利用导数判断或证明已知函数的单调性 41．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证： 当时，. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 则曲线在点处的切线方程. （2）令，， 则， 令，解得， 易知当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 即，即时，； 42．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【答案】(1)(2)见解析(3)证明见解析 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）当时，，即证明不等式， 设，，， 设，，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 43．已知函数，曲线在点处的切线为，记． (1)当时，求切线的方程； (2)在（1）的条件下，求函数的零点并证明； (3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 【答案】(1)(2)函数有唯一零点，证明过程见解析(3)2 【详解】（1）当时，，而，所以， 从而切线方程为，也就是. （2）由题意， 所以， 令，则， 当时，，， 所以，即， 所以当时，单调递减，， 当时，，， 所以，即， 所以当时，单调递增，， 综上，恒成立，也就是恒成立， 所以在上单调递增，又因为，故函数有唯一零点， 且当时，，当时，； 因此当时，，当时，，故； （3）对个实数，定义和分别为中最大的一个和最小的一个. 现在，，故， 令，再对求导一次得到. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故函数在上递减，在上递增. 由于曲线在处的切线斜率为， 故该切线的方程为，从而. 现在我们有，故. 首先我们有，，故. 已证函数在上递减，在上递增，下面我们分情况讨论： 当时： 由于， 故， 同时由在上递增，知，而， 故在上必存在一个零点，记该零点为， 则有，且，从而. 由于函数在上递减，在上递增，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 这表明在上递减，在和上各自递增. 由于在上递增，故在上至多有一个零点，而. 同时，当时，有 故， 这表明当时，有 . 故必有一个零点，且. 已证在上至多有一个零点，这就说明在上恰有一个零点. 然后，当时，由于在上递减，在上递增，故. 而，这说明在上恰有一个零点. 根据以上的讨论，知恰有2个零点； 当时： 由于， 故， 同时由在上递减，知，而， 故在上必存在一个零点，记该零点为， 则有，且，从而. 由于函数在上递减，在上递增，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 这表明在上递减，在和上各自递增. 由于在上递增，故在上至多有一个零点， 而. 同时，当时，有： 故， 设，则当时， 故在上递增，所以当时，即. 所以当时，有： 这表明当时， 有，， 从而 . 故必有一个零点，且. 已证在上至多有一个零点，这就说明在上恰有一个零点. 然后，当时，由于在上递减，在上递增， 故. 而，这说明在上恰有一个零点. 根据以上的讨论，知恰有2个零点. 综上，无论哪种情况，都恰有2个零点，从而零点个数为2. 44．设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求a的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求证：． 【答案】(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为(3)证明见解析 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 因为．所以，解得. （2）因为，的定义域为， ，令，得， 与在区间上的情况如下： x 0 - 0 + 递减 极小 递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）证明：由（2）得，在时，取得最小值1，所以恒成立， 所以在为增函数，又因为， 当时，，所以； 当时，，所以， 当时，， 综上，. 45．已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)时，单调递减区间为，单调递增区间为; (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，， 故在处的切线斜率为，而， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意得，则， 令，即， 令，即， 时，单调递减区间为,单调递增区间为. （3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而， 即在上恒成立，故在上单调递增， 设，则， 因为，则，故， 所以在上单调递增，而， 则，即，而， 故，即. 46．已知函数，. (1)证明：； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析 【详解】（1）证明：已知，函数定义域为， 要证，即证， 不妨设，函数定义域为，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值， 则； （2）已知，函数定义域为， 可得， 令，解得或， 若，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 若，，单调递增； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 综上，当时，的减区间为，增区间为； 若时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为,无减区间； 当时，的增区间为，，减区间为. 47．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1），故， 又，故有， 即，故切线方程为； （2）令， 则， 由，故，故在上单调递减， 所以，即当时，； （3）当时，， 由（2）知，当时，， 所以当时，对恒成立； 当时，令，， 当时，因为，所以，在上单调递增， ，不合题意， 当时，得， 当时，，时，， 所以在上单调递增，则时，，不合题意， 综上，的取值范围是. 48．已知函数，． (1)求证：，恒成立； (2)若存在极值，求a的取值范围； (3)若时，成立，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：设，求导可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故，恒成立. （2）由，则其定义域为，求导可得， 由题意，函数单调递增，则导函数存在零点，即有解， 易知的取值范围为. （3）由（2）可知， 当时，，在上单调递增，则， 令，求导可得， 当时，，单调递增，则此时，即，不符合题意； 当时，，在上单调递增，则，符合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 由（1）可知，则在上单调递增，所以， 令，则，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 在上，，即在上恒成立， 所以函数在上单调递增，则，即， 综上所述，. 49．已知，函数，为的导函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论在区间上的零点个数； (3)比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)答案见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）当时，，其定义域为， ，令，得. 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减. 因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令， 则，. 因为，则，，则. 当时，则， 故，从而在上单调递减； 而，故当时，， 故在区间上无零点；即在区间上无零点； 当时，令，则， 因为，则， 从而，即在上单调递减； 而，，因此存在唯一的，使得， 并且当时，；当时，. 即当时，，当时，. 故当时，单调递增，当时，单调递减.而，故； 取，当时，， 所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点. 综上所述，当时，在上有唯一的零点； 当时，在上没有零点. （3） 理由如下： [解法一]由（2）可得，当时，在上恒成立. 即当时，，. 以下证明不等式：当时，有. 令，则，故在上单调递减， 则，即，，即有， 而，故，. 取，则有. [解法二]显然，故， 以下证明不等式：当时，有. 令，则令，得. 故当时，，从而在上单调递增； 当时，，从而在上单调递减. 故是的极大值点，并且是最大值点， 故，即，. 取，则，故， 故，从而 50．已知函数，是常数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明函数的图象在直线的下方； (3)讨论函数零点的个数. 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以函数在点处的切线的方程为， 即. （2）证明：令，其中； ，令得. 当时，，为增函数；当时，，为减函数； 所以有最大值，即时，， 所以函数的图象在直线的下方. （3）令，即， 由（1）知，当时，直线与曲线相切于点， 此时只有一个零点； 作图象，直线恒过. 当时，直线与的图象有且只有一个交点，即只有一个零点； 当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点； 当时，直线与的图象没有交点，即无零点. 综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点. 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数为指数函数，不具备奇偶性，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 由于为偶函数，故B错误； 对于C，函数，由正切函数的性质可知为奇函数， 且在单调递增，故C错误； 对于D，函数的定义域为， 由，故函数为奇函数， 因为， 所以函数在单调递增，故D正确. 故选：D. 2．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：定义域为， ， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，当时，， 即的解集为. 故选：B. 3．如图所示，直线与曲线相切于两点，其中．若当时，，则函数在上的极大值点个数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    根据图象，可分别作出斜率为的另外三条切线：，切点分别为， 如图所示：当时，；当时，； 设，则， 在上单调递增，在上单调递减， 有，和三个极大值点. 故选：D. 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】求导可得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 故选：B. 5．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在，使得是偶函数 B．存在，使得在上单调递减 C．存在，使得在处取极大值 D．存在，使得的最小值是 【答案】D 【详解】依题意，. A选项，若是偶函数，则， 则当，时，不满足，A选项错误. B选项，若在上单调递减，则，与题意矛盾，B选项错误. C选项，若在处取极大值，则存在，使得在区间上，单调递增， 与“”矛盾，所以C选项错误. D选项，设，画出图象如下图所示， 由图可知，满足，且是的最小值，所以D选项正确. 故选：D 6．已知，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. 故选：C 7．已知，且的图象的对称中心是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，则，所以函数图象的对称中心是， 依题意，，，求导得， 所以. 故选：B 8．函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（    ） A．一定大于 B．一定小于 C．等于 D．与的大小关系不确定 【答案】A 【详解】令函数，则； 根据题意可得； 又因为， 因此近似代替值，近似代替值一定大于. 故选：A 9．已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知. 故选：D 10．已知函数，给出下列结论: ①的零点是0； ②时，； ③若直线与曲线总有两个不同交点，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【详解】解：令，解得，所以的零点是0， 因为时，，所以时，， ，当时，，递减； 当时，，递增； 又，则的大致图象，如图所示：    若直线与曲线总有两个不同交点，则的取值范围是， 所有正确结论的序号是①②   故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 7 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$