专题04 导数及其应用（讲义）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

专题04 导数及其应用 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 9 05 核心精讲·题型突破 11 题型一：求已知函数的极值或最值 11 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 13 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 15 题型四：求曲线上一点处的切线方程 17 重难点突破：利用导数判断或证明已知函数的单调性 18 有关导数的北京高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 导数小题 熟练掌握导数的切线、极值、最值问题 2021年北京卷第15题，5分 预测2025年高考，导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题 导数大题 掌握恒成立、单调性及证明不等式 2024年北京卷第20题，15分 2023年北京卷第20题，15分 2022年北京卷第20题，15分 2021年北京卷第19题，15分 2020年北京卷第19题，15分 2019年北京卷第19题，15分 1.导数运算问题 技巧总结 ①几个常用函数的导数 (c为常数) ②基本初等函数的导数公式 ③简单函数导数的运算法则 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 ④复合函数的导数 定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作 求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 简称：由外到内依次求导 2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： 技巧总结 （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． ①在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ②过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 3.有关可导函数单调性问题 技巧总结 ①．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增；单调递减；单调递减. ②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． 4讨论单调区间问题 技巧总结 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 5.函数的极值 技巧总结 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 6.函数的最值 技巧总结 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 7.函数恒成立问题 技巧总结 恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 8.函数零点问题 技巧总结 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 9.导数证明不等式问题 技巧总结 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 7．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 题型一：求已知函数的极值或最值 【典例1-1】设函数，若函数在处取得极小值8. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； (3)证明：曲线是中心对称图形. 【典例1-2】如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一般地，设函数在点及其附近有定义 （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作 用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域②求导数③求方程的根④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值 求函数最值的的基本步骤 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下 （1）求函数在内的导数（2）求方程在内的根（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值 【变式1-1】若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1-2】已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 【变式1-3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】已知函数，则下列命题不正确的是（   ） A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数a，使为增函数 D．存在实数a，使为减函数 1．设函数的极值点为，且，则可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，下列叙述中不正确的一项是（    ） A．在上单调递增 B．无极值点 C．有唯一零点 D．曲线只有一条斜率为0的切线 5．实数在上的极大值点为（    ） A． B． C． D． 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 【典例2-1】已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围. 【典例2-2】已知函数. (1)若，求的极值； (2)直接写出一个值使在区间上单调递减. 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意 ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意 【变式2-1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【变式2-2】如果在区间上是单调函数，那么实数m的取值范围为 . 【变式2-3】已知函数在区间上存在增区间，则的取值范围是 . 【变式2-4】设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】若函数在区间内为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若在上单调递增，则a的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 【典例3-1】设函数．其中． (1)求函数的单调区间； (2)当时．对于，不等式恒成立，求的取值范围． 综上所述：的取值范围为． 【典例3-2】已知函数 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间） （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分） （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论） （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负） （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点） （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段） 含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间） （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分） （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根 （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系） （5）导数图像定区间 【变式3-1】设函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，判断的单调性． 【变式3-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：时，成立.参考数据. 则，可得，即当时，成立 【变式3-3】已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在极小值，求的取值范围. 【变式3-4】已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【变式3-5】已知函数（）在处取得极小值. (1)求a的值，并求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 1．已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； 2．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当有且仅有一个零点时，请直接写出的取值范围. 3．已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 题型四：求曲线上一点处的切线方程 【典例4-1】设函数，直线是曲线在点处的切线. (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. 【典例4-2】已知函数. 求在点处的切线方程； 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 【变式4-1】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 【变式4-2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由. 【变式4-3】已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 1．曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； 3．已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若对于恒成立，求的最大值. 4．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)当时，求证：； (3)讨论函数（且为常数）零点的个数. 5．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：当，曲线的切线不经过点； 重难点突破：利用导数判断或证明已知函数的单调性 【典例5-1】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最小值； (3)若，当时，求证：． 【典例5-2】已知函数． (1)求曲线过点的切线方程； (2)当时，求证：存在实数，使得． 【典例5-3】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）. 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导 （1）如果恒有，则函数在内单调递增 （2）如果恒有，则函数在内单调递减 （3）如果恒有，则函数在内为常数函数 【变式5-1】已知函数. (1)求证：当时，； (2)当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 【变式5-2】已知函数（）． (1)若在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，求证：． 【变式5-3】已知函数. (1)比较与0.33的大小，并加以证明； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：当时，. 1．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，证明：当时，. 2．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)过原点是否存在曲线的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由. 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程为，求； (2)求的单调区间； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 4．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求证：当时，有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 导数及其应用 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 9 05 核心精讲·题型突破 18 题型一：求已知函数的极值或最值 18 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 26 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 31 题型四：求曲线上一点处的切线方程 41 重难点突破：利用导数判断或证明已知函数的单调性 48 有关导数的北京高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 导数小题 熟练掌握导数的切线、极值、最值问题 2021年北京卷第15题，5分 预测2025年高考，导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题 导数大题 掌握恒成立、单调性及证明不等式 2024年北京卷第20题，15分 2023年北京卷第20题，15分 2022年北京卷第20题，15分 2021年北京卷第19题，15分 2020年北京卷第19题，15分 2019年北京卷第19题，15分 1.导数运算问题 技巧总结 ①几个常用函数的导数 (c为常数) ②基本初等函数的导数公式 ③简单函数导数的运算法则 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 ④复合函数的导数 定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作 求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 简称：由外到内依次求导 2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： 技巧总结 （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． ①在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ②过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 3.有关可导函数单调性问题 技巧总结 ①．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增；单调递减；单调递减. ②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． 4讨论单调区间问题 技巧总结 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 5.函数的极值 技巧总结 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 6.函数的最值 技巧总结 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 7.函数恒成立问题 技巧总结 恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 8.函数零点问题 技巧总结 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 9.导数证明不等式问题 技巧总结 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明见解析(3)2 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得，所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为，又，∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令，则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴，∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 7．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程为：，即. （Ⅱ）[方法一]：导数法 显然，因为在点处的切线方程为：， 令，得，令，得，所以， 不妨设时，结果一样， 则，所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值，也是最小值为. [方法二]【最优解】：换元加导数法   ． 因为为偶函数，不妨设，，令，则． 令，则面积为，只需求出的最小值． ． 因为，所以令，得． 随着a的变化，的变化情况如下表： a 0 减 极小值 增 所以． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法 同方法二，只需求出的最小值． 令， 当且仅当，即时取等号．所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到 ,下同方法一. 题型一：求已知函数的极值或最值 【典例1-1】设函数，若函数在处取得极小值8. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； (3)证明：曲线是中心对称图形. 【答案】(1)，.(2)，最小值为8，，最大值为24.(3)证明见解析 【详解】（1）， 由题意函数在处取得极小值8得， 解得，.此时， 当或时，，当时，， 故为的极小值点，故，满足条件. （2）由（1）分析列表得： x 0 2 3 - 0 + 24 单调递减 8 单调递增 15 所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24. （3）曲线的对称中心为，证明如下： 设点为曲线上任意一点，则点关于(0，24)的对称点为， 因为在图象上， 所以.又. 所以点也在的图象上. 所以曲线是中心对称图形. 【典例1-2】如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立，所以或, 所以或. 故选：A. 一般地，设函数在点及其附近有定义 （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作 用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域②求导数③求方程的根④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值 求函数最值的的基本步骤 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下 （1）求函数在内的导数（2）求方程在内的根（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值 【变式1-1】若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】，设，， 当时，，单调递减，时，，单调递增， 所以， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，则没有最小值，① ③正确； 当时，，即， 设，由上面的研究可知， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 且当时，，且，时，， 所以此时方程有两个解，即有两个零点， 所以有两个极值点，②正确，所以正确答案是①②③. 故选：D 【变式1-2】已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 【答案】D 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 【变式1-3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值；在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值；在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 【变式1-4】已知函数，则下列命题不正确的是（   ） A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数a，使为增函数 D．存在实数a，使为减函数 【答案】C 【详解】对于A，当时，， ， 令，则， 由得或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有唯一极小值，故A正确；     对于B，，因为，， 所以存在定直线始终与曲线相切，故B正确； 对于C，由B可知，不论为何值，恒成立，故不能为增函数， 故C错误； 对于D，当时，， 令，，令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，所以是单调递减函数，故D正确. 故选：C. 1．设函数的极值点为，且，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域是， ，在区间上单调递增， ，所以存在， 使得，且在区间上在单调递减， 在区间上在单调递增，所以是的极小值点， 所以. 故选：B 2．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，∴ ， 由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解 即和有两个交点， ， ∴当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 而 时， ， 时，； 大致图象如下： 若和有两个交点只需. 故选：A. 3．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根， 又，当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根， 则，解得，实数的取值范围是． 故选：D. 4．已知函数，下列叙述中不正确的一项是（    ） A．在上单调递增 B．无极值点 C．有唯一零点 D．曲线只有一条斜率为0的切线 【答案】D 【详解】由题意可知：的定义域为，且对任意恒成立， 可知在上单调递增，则无极值点，故AB正确； 因为，结合单调性可知有唯一零点0，故C正确； 令，即，解得， 且，即切点坐标为，可知切线方程为， 所以曲线的斜率为0的切线有无数条，故D不正确； 故选：D. 5．实数在上的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以为在上的极大值点. 故选：B 题型二：由函数在区间上的单调性求参数 【典例2-1】已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）当时，， 易知可得， 所以切线方程为. （2）易知 由函数在区间上为增函数，可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令 法一：令，得，的变化情况如下： 0 + 0 + 所以为上的增函数，最大值为.即的取值范围是. 法二： 当时，；当时，. 综上，当时，为上的增函数，最大值为. 即的取值范围是. 【典例2-2】已知函数. (1)若，求的极值； (2)直接写出一个值使在区间上单调递减. 【答案】(1)极大值为，极小值为.(2)（答案不唯一，即可） 【详解】（1）当时，，函数定义域为R， 则， 解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． （2）若在区间上单调递减，则在内恒成立， 可得在内恒成立，即，即的取值范围为， 所以的值可以为. 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意 ②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意 【变式2-1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】 ， 若在区间上单调递增， 则在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，则在区间上恒成立， ，，，则. 故答案为：. 【变式2-2】如果在区间上是单调函数，那么实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由已知，有， 因为在区间上是单调函数， 所以在区间上恒成立或恒成立， 即在区间上恒成立或在区间上恒成立， 所以或，所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-3】已知函数在区间上存在增区间，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在区间上存在增区间， 所以在上有解， 即不等式在上有解， 当，时，由可得，不满足要求，所以，解得， 所以的取值范围是.故答案为：. 【变式2-4】设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为函数在上单调递减，所以导函数在小于等于零恒成立， 分离参数可得恒成立在， 设，则， 令可得，所以在恒增，所以，即 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式2-5】若函数在区间内为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 因为函数在区间内为增函数， 所以对任意恒成立，即在上恒成立， 令，所以在上单调递减， 所以，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 1．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2．若在上单调递增，则a的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知在恒成立， ， 取，则，即为函数的一个单调区间，所以的最大值为。 故选：C 3．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，求导得， 由函数在上单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，因此在上恒成立， 而，当时，， ，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 【典例3-1】设函数．其中． (1)求函数的单调区间； (2)当时．对于，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【详解】（1）由， 可得， 令，可得，解得或，当时，， 若，，函数在上单调递增， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增； 当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，， 若，，函数在上单调递增， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增； 综上所述： 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 因为对于，不等式恒成立， 所以， 由成立，所以①成立， 故时，可得对于，不等式恒成立， 当时，对于，不等式恒成立， 若时，也有①恒成立，满足题设； 以下讨论且， 此时，只需， 即， 令，所以， 令，所以， 所以，即， 所以在上单调递增，又， 所以时，成立， 综上所述：的取值范围为． 【典例3-2】已知函数 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1)(2)答案见解析 【详解】（1）. 故的图象在点处的切线方程为. （2）. ①当时，令，解得，有 1 + 0 - 极大值 故单调递增区间为，单调递减区间为. ②当时，令，解得或. 当时， 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 故单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间. 当时， 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 单调递增区间为，单调递减区间为. 综上， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间） （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分） （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论） （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负） （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点） （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段） 含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间） （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分） （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根 （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系） （5）导数图像定区间 【变式3-1】设函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，判断的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值(2)答案见解析 【详解】（1）由已知，的定义域为，， 当时，令，得， 又，所以．当时，；当时，． 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值． （2）由已知，的定义域为，， 令， 则在上递减，在上递增，因此，有最小值． ①当时，，则，此时，函数在上单调递增； ②当时，令，可解得，或， 令，可得， 此时，函数在和上单调递增；上单调递减． 综上：时，在上单调递增； 时，在和上单调递增；上单调递减. 【变式3-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：时，成立.参考数据. 【答案】(1)(2)答案见详解(3)证明见详解 【详解】（1）解：当时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由题意可知：的定义域为，且， （i）当时，，当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增； （ⅱ）当时，令，则或， ①当，即时，，所以函数在上递增； ②当时，即时， 当时，，当和时，， 所以在上递减，在和上递增； ③当时，即时， 当时，，当和时，， 所以在上递减，在和上递增. （3）当时，由（2）可知：在上递减，在上递增， 则， 构建，则，当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，可得，即当时，成立 【变式3-3】已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在极小值，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 所以当时，取得最小值. （2）函数的导函数为. （1）当时，，在区间上单调递减，所以无极值. （2）当时，令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： x - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极小值. 综上，的取值范围为. 【变式3-4】已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，的单调递减区间(2) 【详解】（1）定义域为， ，设恒成立 所以在上是减函数，且 则当时，，即，则当时，，即， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间 （2）由（1）知，所以， 令，， 当时，，当时，， 所以在上的最小值为， 所以若关于的不等式有解，则， 即. 【变式3-5】已知函数（）在处取得极小值. (1)求a的值，并求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)最大值为，最小值为1. 【详解】（1）， 由题意得，解得，，定义域为R， ， 令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为， 此时函数在处取得极小值，满足题意； （2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 又，其中，故在区间上的最小值为1， 综上，在区间上的最大值为，最小值为1. 1．已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1；(2)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 令，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在处取得极大值，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1； （2）要证，即证， 因此设，则， 令，则， 因为，所以， 因此单调递减，且， 所以时，；当时，； 即时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值也是最大值，且， 故． 2．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当有且仅有一个零点时，请直接写出的取值范围. 【答案】(1)(2)单调增区间为和，单调减区间为(3) 【详解】（1）当时，，则， 因为，所以，所以在处的切线方程为：. （2）当时，， 所以，由，得或， 由，得，所以，的单调增区间为和，递减区间为. （3）由，可得， 令，其中，则， 令，则， 令，则，所以，函数在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得，即， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 因为函数在上单调递减， 当时，，则， 所以，对任意的，，即，所以，函数在上单调递增， 且当时，；当时，. 所以，对任意的，直线与函数的图象都有一个交点， 所以，当有且仅有一个零点时，的取值范围为. 3．已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)(2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； （2）由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 题型四：求曲线上一点处的切线方程 【典例4-1】设函数，直线是曲线在点处的切线. (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. 【答案】(1)单调递増区间为，单调递减区间为(2)证明见解析. 【详解】（1）当时，，显然的定义域为， ， 显然，当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递増； 所以，单调递増区间为，单调递减区间为. （2）由题可知，， 所以直线的斜率为， 假设直线过原点，则有， 因为，所以有， 令，得， 因为，所以， 所以在单调递增， 所以，故无解， 故假设直线过原点错误，所以直线不过原点. 【典例4-2】已知函数. 求在点处的切线方程； 【答案】 【详解】由，得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 【变式4-1】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为和； 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，且， 当时，，当或时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和. 【变式4-2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由. 【答案】(1)(2)不是，理由见解析 【详解】（1）由题意得：函数的定义域为， ， ，，在点处的切线方程为：， 即； （2）函数在定义域内不是单调函数．理由如下： ，令， ，在上单调递减， ，， 存在，使得， 当时，，从而，所以函数在上单调递增， 当时，，从而，所以函数在上单调递减， 故函数在定义域内不是单调函数. 【变式4-3】已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 【答案】(1)(2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以，得到， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 当时，令，即， 解得，，所以， 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时的单调递减区间为和，单调递增区间为， 当时，，易知时，，，， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，即， 解得，， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为， 若，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为. 1．曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，则， 当时，， 即切线斜率， 故选：A. 2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】 【详解】由，得且，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 3．已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若对于恒成立，求的最大值. 【答案】(1)(2)函数的极小值为，无极大值 【详解】（1）当时，，. 即曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，则； 令，则，即在上单调递增； 又易知，所以当时，，当时，； 即函数在上单调递减，在上单调递增； 即函数的极小值为，无极大值. 4．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)当时，求证：； (3)讨论函数（且为常数）零点的个数. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，，，∴， ∴切线的方程为：. （2）当时，要证，只需证， 令，则， 令，则， 由得，，由得，， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴， ∴在上为增函数， ∴，∴，即. 5．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：当，曲线的切线不经过点； 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析； 【详解】（1）当时，，的定义域为. ， 令，解得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，. 设曲线的切点为， 则切线方程为， 假设切线过原点，则有， 整理得：. 令，则. 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意，，所以方程无解. 综上可知，曲线在点的切线不过原点. 重难点突破：利用导数判断或证明已知函数的单调性 【典例5-1】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最小值； (3)若，当时，求证：． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为， 当时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数，此时； 当时，令，解得， ①当，即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数，所以当时，； ②当，即时，与的情况如下： 负 0 正 减 极小值 增函数 所以当时，； ③当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是减函数，所以当时，， 综上 （3）设， 所以，因为， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，所以， 所以. 【典例5-2】已知函数． (1)求曲线过点的切线方程； (2)当时，求证：存在实数，使得． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【详解】（1）当时，则过点的切线不存在； 当时，据题意，函数，则， 设切点，则， 所以过点的切线方程为， 代入得，所以， 所以曲线过点的切线方程为， 即， 综上可得当时切线不存在，当时切线方程为． （2）当时，显然有，即存在实数使， 当，时，若，则，解可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 则函数有极小值， 设，则， 所以当时，，函数为增函数， 当时，，函数为减函数，即有极大值， 则当时，故，综上，若，存在实数使． 【典例5-3】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）. 【答案】(1)极小值为，无极大值(2)(3)证明见解析 【详解】（1）当时，，从而. 故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 从而有唯一的极值点，且是极小值点，对应极小值为，无极大值. （2）由，知. 若，则. 而对有，所以在上递减. 故，从而对不成立，不满足条件； 若，则对有，所以在上递增. 从而对任意，有，满足条件. 综上，的取值范围是. （3）据（2）的结果，当时对有，故对有. 此即，所以对任意的，在中取就有. 回到原题. 若在区间上存在唯一零点，根据（2）的结果，首先有. 此时对有，对有. 所以，在上递减，在上递增. 而，故上的零点满足. 由于，而对任意的，都有，取，就有，从而. 所以. 假设，由及有，所以. 由在上递增，且，即可从，推知. 但这与是的零点矛盾，所以. 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导 （1）如果恒有，则函数在内单调递增 （2）如果恒有，则函数在内单调递减 （3）如果恒有，则函数在内为常数函数 【变式5-1】已知函数. (1)求证：当时，； (2)当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）令， . 由得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即； （2）当时，由（1）知，满足题意. 令，则. 当时，若，， 则在上是减函数. 所以时，，不合题意. 当时，，则在上是减函数，所以，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围. 【变式5-2】已知函数（）． (1)若在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【详解】（1）由已知得， 设，，因为在区间上单调递减， 所以时，恒成立．因为时，， 所以在区间上单调递减， 所以的最大值为，即．当时，符合题意． 所以． （2）当时，，， 则． 设，则， 所以在区间上单调递减． 因为，， 所以，使得， 即． 当变化时，，，的变化如下表： ＋ 0 － ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 所以的最大值为． 因为，所以，， 所以，故． 【变式5-3】已知函数. (1)比较与0.33的大小，并加以证明； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)，证明见详解(2)(3)证明见详解 【详解】（1）设，则， 令，即，， 因为时，，则单调递减，时，，则单调递增， 所以在处取最小值，， 所以，则， 即. （2）因为，所以， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以在处取最小值，， 若恒成立，即恒成立，即， 所以实数的取值范围为. （3）当时，要证，即证明， 即证明，即证明， 因为，当时，， 所以在上单调递增，设，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增，则，即， 所以，即. 1．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，证明：当时，. 【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 则，，则， 即曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，恒成立，故在上单调递减； 当时，若，则，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； （3）令， ，令，则， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增， 则，即. 2．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)过原点是否存在曲线的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)极大值为，无极小值(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析 【详解】（1）， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，无极小值； （2）令，，则， 由，则，故在上恒成立， 故在上单调递增，则， 即当时，； （3）不存在，理由如下： 假设曲线存在过原点的切线，且切点坐标为， 由，则该切线斜率为， 即该切线方程为， 即有，整理得， ，该方程无解， 故过原点不存在曲线的切线. 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程为，求； (2)求的单调区间； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 【答案】(1)2(2)答案见解析(3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，所以，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 又切线方程为，所以； （2）函数的定义域为，， 当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 与在区间上的情况如下： 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上可得：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）知： ①当时，在上单调递增，所以至多有一个实根，不符合题意. ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 若，则，所以至多有一个实根，不符合题意. 若，即，解得， 又，且在上单调递减，所以在上有唯一零点； 因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为， 所以在上的唯一零点就是. 方法一：所以，，所以， 所以“”等价于“”，即. 由（2）知，当时，的最小值为. 又因为，所以.所以. 方法二： “”等价于“”.又， 所以.因为在上单调递减，所以“”等价于“”， 即，因为，令，则， . 即等价于，即.所以 “”等价于“”. 令，，所以， 当时，，所以 在上单调递增， 所以，而，所以成立，所以. 4．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求证：当时，有. 【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为(3)证明见解析 【详解】（1）由可得， 根据切线方程可得其斜率为，因此，解得； 又，所以可得. （2）由（1）可知， 所以可得，易知其定义域为； 则，令，解得； 所以当时，；当时，； 因此的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）证明：令函数， 可得，令， 因此可得恒成立，所以在上单调递增， 可得，即恒成立， 所以在上单调递增，可得， 即，所以； 因此当时，有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 34 / 34 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$