模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）（测试）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

绝密★本科目考试启用前 模块一 集合、常用逻辑用语、不等式、复数（测试） （北京专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，，所以. 故选：D 2．若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由，可得， 所以，故， 故选：C 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．若关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】关于的不等式的解集为，则， 关于的不等式可化为， 即，解得或． 故选：C． 5．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（   ） A．2080 B．20 C． D．400 【答案】B 【详解】依题意，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当最小时，的值为20. 故选：B 6．已知命题，；命题若，则，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，，命题为真命题，则为假命题； 若，，则，命题为假命题，则为真命题； 为假命题，为真命题，为假命题，为假命题. 故选：B. 7．若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】一元二次不等式的解集为， 即为的两实数根， 故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 故选：D 8．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意，函数的值恒大于零， 设，即在上恒成立， 因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 所以 ，解得或， 即的取值范围是. 故选：A 9．已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当命题为真命题，即，使成立，得到，即， 当命题为真命题，即对，恒成立，得到， 即， 所以当命题和命题同时为真命题时，有，即， 又命题和命题至多有一个为真命题，所以或， 故选：D. 10．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得：集合的“长度”为， 集合的 “长度”为. 因为它们都是的子集，要使“长度”最小， 集合、应该在的两端. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的 “长度”为：. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的“长度”为：. 综上可知，“长度”的最小值为. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知，集合，且，则 . 【答案】 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 12．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题设，为假命题，故为真命题， 又在上递增，则，只需即可， 所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是. 故答案为：（答案不唯一） 13．若x，，且，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】由且可得， 所以， 当且仅当即时取等号， 故答案为：9. 14．已知复数对应的点到原点的距离是，则实数 ． 【答案】 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以即，解得， 故答案为： 15．为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为 .    【答案】50 【详解】依题意，设，得， 图书馆精品阅读区面积为 ， 当且仅当时，等号成立，此时，，解得. 故答案为：50. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知复数为虚数单位． (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值． (3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，所以． （2）因为为实数， 所以，解得． （3）因为且， 所以， 因为在复平面上对应的点在第一象限， 所以，解得，故 17．（14分）设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2)； 【详解】（1）由对任意，都有可知， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以实数的取值范围． （2）由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，，因此或，解得， 所以实数的取值范围为； 18．（13分）已知二次函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若对一切实数都成立，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)最大值为，最小值为(2)(3)答案见解析 【详解】（1）因为， 当时，则为的对称轴， 所以，， 函数在区间上的最大值为，最小值为. （2）因为对一切实数都成立，即恒成立， 即恒成立，所以，解得，即. （3）依题意，即，当时，解得或； 当时，即，解得；当时，解得或； 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．（15分）一公司垄断了S市某商品的生产与销售市场.已经调研发现，在一个销售周期内该商品的销量由定价x（单位：百元）决定（正常定价范围为300至700元），函数关系近似为（单位：万件）.公司根据调研结果先决定售价再进行等同于预期销量的生产.将销量×售价称为“销售额”（记作B）；已知每件商品的生产成本为200元，每个生产周期需要投入的固定成本约为1200万元，以上两项构成总成本（记作C）.定义“净收益”（记作）为：净收益=销售额-总成本. (1)请用函数表示净收益是如何决定的 (2)在正常定价范围内，公司如何制定销售策略能使净收益最大？并求出最大净收益 (3)公司现有机会额外投入420万元租用高科技生产设备，使本销售周期内的商品生产成本减半.公司是否应选择租用高科技设备？为什么？ 【答案】(1)，(2)定价600元时净收益最大，400万元 (3)租用高科技设备是值得的，理由见解析 【详解】（1），； （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以在时取到最大值，经检验，在正常定价范围内， 因此，定价600元时净收益最大，净收益最大值为400万元； （3）若租用高科技设备，则净收益变为 ， 当且仅当，即时等号成立， 在时取到最大值，经检验，在正常定价范围内， 因此最大净收益为万元，高于不租用高科技设备的最大净收益， 因此租用高科技设备是值得的. 20．（15分）已知集合. (1)若，证明； (2)当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； (3)若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）时，， 解之得或，即{或}， 显然，证毕； （2）由上知时，{或}， 若“”是“”的充分不必要条件，则是A的真子集， 所以若，显然符合题意，此时，即； 若，要符合题意需，此时，舍去； 或，此时； 综上； （3）要符合题意需，此时，舍去； 若， 要符合题意需，此时； 综上： 21．（15分）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 【答案】(1)或或或(2)(3) 【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集， 故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:， 令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设， 则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)， 且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ， 其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设， 则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★本科目考试启用前 模块一 集合、常用逻辑用语、不等式、复数（测试） （北京专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 5．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（   ） A．2080 B．20 C． D．400 6．已知命题，；命题若，则，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 7．若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 8．对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知，集合，且，则 . 12．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 13．若x，，且，则的最小值为 . 14．已知复数对应的点到原点的距离是，则实数 ． 15．为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为 .    三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知复数为虚数单位． (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值． (3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围． 17．（14分）设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18．（13分）已知二次函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若对一切实数都成立，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 19．（15分）一公司垄断了S市某商品的生产与销售市场.已经调研发现，在一个销售周期内该商品的销量由定价x（单位：百元）决定（正常定价范围为300至700元），函数关系近似为（单位：万件）.公司根据调研结果先决定售价再进行等同于预期销量的生产.将销量×售价称为“销售额”（记作B）；已知每件商品的生产成本为200元，每个生产周期需要投入的固定成本约为1200万元，以上两项构成总成本（记作C）.定义“净收益”（记作）为：净收益=销售额-总成本. (1)请用函数表示净收益是如何决定的 (2)在正常定价范围内，公司如何制定销售策略能使净收益最大？并求出最大净收益 (3)公司现有机会额外投入420万元租用高科技生产设备，使本销售周期内的商品生产成本减半.公司是否应选择租用高科技设备？为什么？ 20．（15分）已知集合. (1)若，证明； (2)当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； (3)若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 21．（15分）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$