陕西省汉中市部分学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024—2025 学年度第一学期第一次月考试卷 高一数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．设集合，，若，则（    ） A．3 B．1 C．0 D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数则（    ） A．3 B．9 C．19 D．33 5．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 6．设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 7．从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 8．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是“"的充分不必要条件 C．若，则 D．函数（且 ）的图象恒过定点 11．下列命题正确的是（    ） A．的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过点 C．函数图象过点，若，则 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 三、填空题（每题5分，共15分） 12．学校从甲、乙两名射击运动员中推荐一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 经计算得：，，，. 根据上述信息，学校应推荐 参加市中学生运动会. 13．函数的零点为 . 14．若关于的不等式 的解集为空集，则实数的取值范围是 四、解答题 15．（13分）化简求值并解不等式： (1) (2) (3)已知，求的值; (4) 16．（15分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 17．（15分）已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)填空：； (3)时，函数的图象如图所示，补充完整函数的图象； (4)分别写出函数的单调增区间和单调减区间. 18．（15分）已知函数． （1）若有一个零点为，求a； （2）若当时，恒成立，求a的取值范围． 19．（17分）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间的函数关系式t=-3x+204. （1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式（每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差） （2）商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B D A D CD BD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或，解得或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足元素的互异性，故舍去； 当时，，，不满足，故舍去； 同理，则则或，即或或， 由以上分析可知符合题意，不符合题意， 时，，，不符合题意； 综上可得. 故选：C 2．A 【分析】由偶次根式和对数定义域的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】根据题意得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3．D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 4．B 【分析】直接代入求值即可. 【详解】由题中函数的解析式可得， 故选：B. 5．B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 6．D 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 7．A 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 8．D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即，解得. 故选：D. 9．CD 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 10．BD 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，，但 ，故C错误； 对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选:BD.` 11．BCD 【分析】利用幂函数的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，因为，所以点不在的图象上， 故的图象不是一条直线，故A错误； 对于B，幂函数的图象都经过点，故B正确； 对于C，因为函数图象过点，所以，解得， 所以，当，则，故C正确； 对于D，幂函数的图象不可能出现在第四象限，故D正确. 故选：BCD. 12．甲 【分析】根据甲、乙两人平均成绩和方差的大小以及方差的意义可得出结论. 【详解】因为，， 所以两人平均水平相当，但甲发挥较为稳定，故学校应推荐甲参加市中学生运动会. 故答案为：甲. 13．2 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 14． 【分析】先对进行分类讨论，当时，，符合题意；当时，若想不等式解集为空集，必有，解之可得的范围. 【详解】由题意得，关于的不等式 的解集为空集， 当时，，符合题意； 当时，则须满足，即，解得， 综上所述，的取值范围是， 故答案为： 15．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案； （2）根据幂的运算法则，即可得到答案； （3）由完全平方和公式，即可得到答案. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为，所以. 16．(1) (2) (3) 【分析】(1)解指数不等式，化简为同底指数，结合单调性比较大小即可. （2）对数不等式结合函数的定义域以及单调性求解即可. （3）判断底数跟1的大小关系，结合单调性求解即可. 【详解】（1）不等式可化为， 因为在上单调递增，所以，整理得， 解得，所以不等式的解集为. （2）因为函数是上的减函数，所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为：. （3）因为，所以， 解得：，所以原不等式的解集为. 17．(1) (2)平均数为，方差为. 【分析】（1）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （2）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【详解】（1）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组，设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. （2））的频率为，）的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 18．(1)偶函数，证明见解析； (2)； (3)图象见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）利用奇偶性定义即可证明函数奇偶性； （2）由偶函数的性质求解解析式； （3）根据二次函数的图象与性质可得解； （4）根据图象可确定增、减区间. 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称. 且，即， 函数为偶函数. （2）由（1），令，则，故， 所以. （3）由（2）所得解析式，可得函数图象如下图所示： （4）由（3）中函数图象知：增区间为，；减区间为，. 19．（1）；（2）． 【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值； （2）由于当时，恒成立，等价于当时，恒成立，所以只要，从而可求出a的取值范围 【详解】解：（1）因为有一零点， 所以， 所以． （2）因为当时，恒成立， 需，即， 解得， 所以的取值范围是． 20．（1）（2）定价为55元时，有最大利润，最大利润是507元 【详解】解:(1)根据题意可得 (2)根据(1)得 当x=55时，有最大利润，最大利润是507元. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$