数学（新高考Ⅱ卷02）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“函数在区间内存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 5．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 6．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 10．已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点P，使得 D．的周长最大值是 11．如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（   ） A．动点轨迹的长度为 B．平面截正方体所得的截面图形的面积为 C．存在点，使得 D．若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是虚数单位，复数满足，则 ． 13．设抛物线的焦点为为坐标原点，准线与轴交于点，若上一点满足，且点到准线的距离为，则 ． 14．已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：． (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，说明理由． 16．（15分） 已知函数. (1)若曲线在点处的切线为，求实数的值； (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 17．（15分） 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 18．（17分） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B； 步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合； 步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕. 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T. (1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程； (2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列. (1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由； (2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列； (3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得，故， 得，故， 故. 故选：B 2．“”是“函数在区间内存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由函数在区间内存在零点得，解得或 所以“”是“函数在区间内存在零点”的充分不必要条件， 故选：A 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则 ，化简得，所以 ，由. 故选：B 4．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】C 【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种. 故选：C. 5．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 【答案】B 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 6．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为    因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以 易知 所以 因为 所以 因为 所以 故选：B 7．已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，圆的半径为，圆上存在点， 过点作圆的两条切线，切点为，使得， 则，在中，， 又圆的半径等于，圆心坐标， ，， ， 由， 解得：，则的取值范围为. 故选：D. 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 时，，所以是增函数， 不妨设，则，又， 所以由，得，即， 设，则， 当时，，是增函数，不存在，，使得， 当时，要满足题意，则在上有解，使得在上不单调． ，， 设，，， 所以， 由在上单调递减，得，， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 【答案】ABC 【详解】，可得二项式的系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； 由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：. 10．已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点P，使得 D．的周长最大值是 【答案】ABD 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：ABD 11．如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（   ）    A．动点轨迹的长度为 B．平面截正方体所得的截面图形的面积为 C．存在点，使得 D．若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为 【答案】ACD 【详解】对于A：如图，分别取，的中点，，连接，，，，    则，，可得， 且平面，平面，所以平面， 又因为，，则四边形是平行四边形， 可得，且平面，平面，所以平面， 又，，平面， 所以平面平面， 当时，则平面，所以平面， 即线段为点的轨迹，可知，故A选项正确； 对于B：如图，取中点，连接，，，    则由，可得平面截正方体所得的截面为梯形， 又，，， 则等腰梯形的高为 所以等腰梯形的面积为，故B选项错误； 对于C：连接，，    因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，，平面，所以平面， 设平面（即与的交点为），此时平面， 所以，故C选项正确； 对于D：如图，设，取中点，连接，则，    因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可知点到平面的距离为， 又因为球的半径为， 可得以点为球心，为半径的球面被平面截得的小圆的半径为， 又矩形中，，， 所求交线长为：矩形中，以为圆心，2为半径的圆弧，如图所示，    可知该圆弧对应的圆心角为， 所以该圆弧长为，故D选项正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是虚数单位，复数满足，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：. 13．设抛物线的焦点为为坐标原点，准线与轴交于点，若上一点满足，且点到准线的距离为，则 ． 【答案】2 【详解】如图： 设点，由题知，，， 则，，． 因为，即， 化简得，所以点在圆上， 联立，得，解得（负值舍去）， 所以点到准线的距离为，解得． 故答案为： 14．已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由函数的解析式可知： 时，，所以的图象与在上的图象关于直线对称； 时，，所以只需把在上的图象向右平移6个单位即可得在上的图象. 由得，函数与的图象如图所示：    由，即有，由图可知，， 故，即，则，； 由的图象性质，有，， ，， 则，， 所以， 因为，，所以，而对勾函数在上单调递减， 所以，，，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）．    (1)求证：． (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）依题意可知点为的中点，，所以， 又，，平面，所以平面.（2分） 又平面，所以. 依题意可知，，，平面， 所以平面，又平面，所以.（4分） 因为，平面，所以平面.（5分） 又平面，所以.（6分） （2）由题意，得，，由（1）， 所以.（7分） 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，， ，，. 所以，， . 设，即， 则，， 若存在点，使得，则， 解得，则，（8分） 设平面的法向量为， 则，，令，得， 所以，（9分） 设平面的法向量为， 则，，令，得， 所以，（11分） 所以，（12分） 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的正弦值为.（13分） 16．（15分） 已知函数. (1)若曲线在点处的切线为，求实数的值； (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，，（1分） 又曲线在点处的切线为，所以， 解得，所以，所以，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得；（4分） （2），由对于任意，，所以， 令，则， 求导可得，（6分） 当时，，显然不满足题意，（8分） 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得，（11分） 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得，（14分） 综上所述：实数的取值范围为.（15分） 17．（15分） 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【详解】（1）假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：.（3分） 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.（4分） （2）设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得，（7分） 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： ；（10分） （3）依题意，喜欢网上买菜的概率为：. 从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，.（13分） 又，所以，.（15分） 18．（17分） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B； 步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合； 步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕. 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T. (1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程； (2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）以所在直线为x轴，以为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，则，， 由折纸方法知，，则， 根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，（2分） 设其方程为，则，， 所以，.故曲线T的方程为.（3分） （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，且，， 联立方程组，整理得，（4分） 由，可得，可得，（5分） 联立方程组，整理得， ， 则，，（7分） 因为，，所以， 又因为， 代入可得，由于，则， 由于点M在点N的左侧，故， 所以， 代入可得， 又因为，则， 所以为定值，定值为3.（10分） （3）假设存在点，使恒成立， 由已知得， 当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为，，， 联立，得， ，且， 则，，（12分） ，， 则 ，（14分） 若恒成立，则恒成立， 即，解得，（15分） 当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为， 此时，解得，（16分） 不妨取，， 则，， 又，解得或， 综上所述，，（16分） 所以存在点，使恒成立.（17分） 19．（17分） 定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列. (1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由； (2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列； (3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列 【详解】（1）解：是和谐数列， 理由如下：， 上式， 所以，数列是和谐数列.（5分） （2）证明：因为是和谐数列，所以存在常数，对任意的， 有， 即.（7分） 则 . 所以数列是和谐数列.（9分） （3）解：若数列、是和谐数列，则存在常数、， 对任意的，有， ， ， 即，同理：.（10分） 因为，所以， 所以. 记，， 则有 ，（13分） 所以 ， 所以，数列也是和谐数列.（17分） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B C B B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）依题意可知点为的中点，，所以， 又，，平面，所以平面.（2分） 又平面，所以. 依题意可知，，，平面， 所以平面，又平面，所以.（4分） 因为，平面，所以平面.（5分） 又平面，所以.（6分） （2）由题意，得，，由（1）， 所以.（7分） 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，， ，，. 所以，， . 设，即， 则，， 若存在点，使得，则， 解得，则，（8分） 设平面的法向量为， 则，，令，得， 所以，（9分） 设平面的法向量为， 则，，令，得， 所以，（11分） 所以，（12分） 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的正弦值为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由，可得，，（1分） 又曲线在点处的切线为，所以， 解得，所以，所以，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得；（4分） （2），由对于任意，，所以， 令，则， 求导可得，（6分） 当时，，显然不满足题意，（8分） 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得，（11分） 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得，（14分） 综上所述：实数的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：.（3分） 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.（4分） （2）设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得，（7分） 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： ；（10分） （3）依题意，喜欢网上买菜的概率为：. 从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，.（13分） 又，所以，.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）以所在直线为x轴，以为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，则，， 由折纸方法知，，则， 根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，（2分） 设其方程为，则，， 所以，.故曲线T的方程为.（3分） （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，且，， 联立方程组，整理得，（4分） 由，可得，可得，（5分） 联立方程组，整理得， ， 则，，（7分） 因为，，所以， 又因为， 代入可得，由于，则， 由于点M在点N的左侧，故， 所以， 代入可得， 又因为，则， 所以为定值，定值为3.（10分） （3）假设存在点，使恒成立， 由已知得， 当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为，，， 联立，得， ，且， 则，，（12分） ，， 则 ，（14分） 若恒成立，则恒成立， 即，解得，（15分） 当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为， 此时，解得，（16分） 不妨取，， 则，， 又，解得或， 综上所述，，（16分） 所以存在点，使恒成立.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）解：是和谐数列， 理由如下：， 上式， 所以，数列是和谐数列.（5分） （2）证明：因为是和谐数列，所以存在常数，对任意的， 有， 即.（7分） 则 . 所以数列是和谐数列.（9分） （3）解：若数列、是和谐数列，则存在常数、， 对任意的，有， ， ， 即，同理：.（10分） 因为，所以， 所以. 记，， 则有 ，（13分） 所以 ， 所以，数列也是和谐数列.（17分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“函数在区间内存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 5．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 6．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 10．已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点P，使得 D．的周长最大值是 11．如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（   ） A．动点轨迹的长度为 B．平面截正方体所得的截面图形的面积为 C．存在点，使得 D．若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是虚数单位，复数满足，则 ． 13．设抛物线的焦点为为坐标原点，准线与轴交于点，若上一点满足，且点到准线的距离为，则 ． 14．已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：． (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，说明理由． 16．（15分） 已知函数. (1)若曲线在点处的切线为，求实数的值； (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 17．（15分） 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 18．（17分） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B； 步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合； 步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕. 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T. (1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程； (2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列. (1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由； (2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列； (3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$