精品解析：四川省眉山市东坡区东坡中学共同体练习2024-2025学年上学期11月期中九年级数学试题

共同体25届九年级上学期期中练习 数学试卷 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 3. 用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（ ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. -25 B. -24 C. 35 D. 36 12. 如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 14. 若是方程的根，则____________． 15. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________． 16. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 17. 如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则_______． 18. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣． 20. 已知，，求的值． 21. 如图，已知点D、F在边AB上，点在边AC上，且，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 24. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 25. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 26. 综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 共同体25届九年级上学期期中练习 数学试卷 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3. 用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4. 如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（ ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、相似三角形的性质，根据中点定义得到，进而证明与位似，，可判断①④正确；根据相似三角形的性质可判断②③，进而可得答案． 【详解】解：∵D，E，F是、、的中点， ∴，又、、相交于O， ∴与位似，故①正确； ∴，故④正确， ∴与的相似比为， ∴与周长比为，与面积比为， 故②正确，③错误； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 5. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由，得 ， 解得． 2xy=2×2.5×（-3）=-15， 故选：A． 8. 如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 9. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得， ， ， 故选：A． 11. 已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A. -25 B. -24 C. 35 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可． 【详解】解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3 ∴=0+5+30+1=36． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键． 12. 如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证明，得出，通过导角证明，可判断①；根据可判断②；证明，根据对应边成比例可判断③；过点M作于点N，证明，结合勾股定理可判断④． 【详解】解：在正方形中，，， E，F分别为边的中点， ． 在和中，， ， ． ， ， 故①正确； 是的中线， ， ， 故②错误； 设正方形的边长为，则， 在中，． ，， ， ，即， 解得，， ， ， 故③正确； 如图，过点M作于点N， ，， ， ，即， 解得，， ． 根据勾股定理，得， ，， ． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个， 故选B． 第II卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解： ， ， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 若是方程的根，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 15. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________． 【答案】96 【解析】 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 16. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 17. 如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点N，作于点M，得到，取的中点G，连接，结合是中线，得到，利用中位线定理，三角形相似的判定和性质，比例的性质解答即可． 本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，中位线定理及相似三角形的判定以及性质，根据三角形的相似比得出对应边的比值是解题关键． 【详解】解：过点E作于点N，作于点M， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 取的中点G， 连接， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣． 【答案】2- 【解析】 【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣ =1+-1+2-2 =2-． 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键． 20. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质等知识点，可设，可得，，，再根据可得关于k的方程，解方程求出k，进一步计算即可得解，熟练掌握设k法得到关于k的方程是解决此题的关键． 【详解】设，则，，， 依题意有， 解得， ∴，，， ∴． 21. 如图，已知点D、F在边AB上，点在边AC上，且，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴且, ∴, ∴, ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质： （1）利用平行线分线段成比例的定理以及相似三角形判定及性质即可得证； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 24. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：，， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据全等三角形的性质得到，根据性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，由（1）知，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本几何模型． 25. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 26. 综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】 （1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $