专题6.1 平行线重难点模型（四大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题6.1 平行线重难点模型（四大模型） 重难点题型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“抬头模型” 模型一：“铅笔模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 【典例1】如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【变式1-1】如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于． (1)如图1，若，求的度数； (2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值； (3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系； ②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系． 【变式1-2】已知直线，点A、B为分别在直线上，点C为平面内一点，连接、，且． (1)如图，求证：； (2)如图2，射线分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数． 【变式1-3】如图，AB∥CD，定点E、F分别在直线AB、CD上． （1）如图1，若∠PEB=70°，∠PFD=60°，则∠EPF=______． （2）如图2，若∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由． 模型二：“猪蹄模型” 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 【典例2】【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 【变式2-1】（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（①） （②） （③） （④） （⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 【变式2-2】如图1，已知，， (1)若，则________； (2)请判断与之间满足的数量关系？说明理由． (3)如图2，若平分，平分，反向延长交于P，求的度数； 【变式2-3】问题情境： (1)如图1，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答 (2)如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断之间有何数量关系？（提示：过点P作），请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想之间的数量关系． 【变式2-4】已知：AB∥CD． （1）探究∠B、∠BED、∠D之间的数量关系，并说明理由； （2）利用上述中的结论， ①如图2，已知AB∥CD，试探究∠E、∠G、∠B、∠F、∠D之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，已知AB∥CD，请直接写出∠B、∠D、∠E1、∠E2……∠En、∠F1、∠F2…∠Fn+1之间的数量关系． 【变式2-5】在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，且是的立方根；方程是关于，的二元一次方程；为不等式组的最大整数解． (1)求点，，的坐标． (2)如图1，点为轴正半轴上的一个动点，且． ①求证：； ②如图2，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点为轴正半轴上的一个动点，连接，，线段与轴交于点．若三角形的面积不大于三角形的面积，设动点的坐标为，直接写出的取值范围． 【变式2-6】（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 模型三：“臭脚模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 【典例3】如图，已知，，，则 ． 【变式3-1】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【变式3-2】如图，，点为上方一点，在直线上． (1)如图，求证：； (2)如图，点为直线上一点，、的角平分线所在直线交于点，求与的数量关系； (3)如图，为、之间一点，且在内部，、，当恒成立时，______． 【变式3-3】如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD干点H，满足点E在线段PH上，∠PGB＋∠P＝∠PHD． (1)求证：AB∥CD； (2)如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q＋∠P＝120°，求∠QHD的度数； (3)在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角） 【变式3-4】如图ABCD，点A，E，C不在同一条直线上． （1）如图1，求证：∠E＋∠C﹣∠A＝180°； （2）如图2，直线FA，CP交于点P，且∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCP． ①探究∠E与∠APC的数量关系； ②如图3，延长CE交直线PF于点Q，若AEPC，∠BAQ＝α（0°＜α＜45°），直接写出∠PQC的度数（用含α的式子表示）． 模型四：“抬头模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【典例4】已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【变式4-1】经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【变式4-2】已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【变式4-4】如图1，，直线外有一点，连接，． (1)证明：； (2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系； (3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数． 【变式4-5】已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 平行线重难点模型（四大模型） 重难点题型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“抬头模型” 模型一：“铅笔模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 【典例1】如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 【变式1-1】如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于． (1)如图1，若，求的度数； (2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值； (3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系； ②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）过点作，可以求出，结合，可以得到，即可求出的度数； （2）过点作，结合已知可以得出，进而得到，即可求出，的值； （3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系； ②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答． 【详解】（1）过点作 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）过点作 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）① ② 【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-2】已知直线，点A、B为分别在直线上，点C为平面内一点，连接、，且． (1)如图，求证：； (2)如图2，射线分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于点G，由三角形外角和得到，然后等量代换求得，进而运用平行线的判定证明即可； （2）延长交于点K，交于O，连接，先由三角形外角定理根据等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，，由根据平行线的性质及等量代换得到，由最后根据解答即可． 【详解】（1）证明：延长交于点G，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：延长交于点K，交于O，连接，如图， ∴（三角形外角定理）， （对顶角相等）， （三角形外角定理）， ∴（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵射线分别平分和， ∴（角平分线定义），（角平分线定义）， ∵，， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ， ， 即． 【点睛】本题考查了三角形外角和，平行线的判定和性质，三角形外角定理，角平分线的定义，正确做出辅助线是解题的关键． 【变式1-3】如图，AB∥CD，定点E、F分别在直线AB、CD上． （1）如图1，若∠PEB=70°，∠PFD=60°，则∠EPF=______． （2）如图2，若∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）130°；（2）∠EQF=∠EPF 【分析】（1）过P点作PH∥AB，进而利用平行线的性质解答即可； （2）过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，进而利用平行线的性质和解答即可． 【详解】解：（1）过P点作PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠PEB=∠EPH，∠PFD=∠FPH， ∴∠EPF=∠PEB+∠PFD， ∵∠PEB=70°，∠PFD=60°， ∴∠EPF=70°+60°=130°， 故答案为：130°； （2）∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EQF=∠EPF， 过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN， ∴∠BEP=∠MPE，∠DFP=∠MPF，∠BEQ=∠NQE，∠DFQ=∠FQN， ∴∠BEP+∠DFP=∠MPE+∠MPF=∠EPF，∠BEQ+∠DFQ=∠NQE+∠NQF=∠EQF， ∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP， ∴∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）， ∴∠EQF=∠EPF． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中． 模型二：“猪蹄模型” 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 【典例2】【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 【答案】（1）65（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点，构造平行线： （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； （3）过点作，过点作，则：，根据平行线的性质，角平分线的定义推出，再结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：65； （2），理由如下： 过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， ， 即． （3）过点作，过点作，则：， 同（2）可得：， ∵， ∴， ∵的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F， ∴，， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（①） （②） （③） （④） （⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 【答案】（1）已知；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）过点作，利用平行线的判定和性质推出，即可证明； （2）过点作，同（1）可证明； （3）过点作，由（1）的结论结合已知得到，根据平行线的性质求得，进一步计算即可得到． 【详解】（1）证明：如图，过点作（作图） （两直线平行，内错角相等） ，， （平行同一直线的两条直线平行） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 即：． 故答案为：作图；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； 解：（2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； 解：（3）． 如图，过点作， 由（1）知， ∵， ∴，即， ，， ， ∴， ∵， ∴， 将代入得， 整理得． 【变式2-2】如图1，已知，， (1)若，则________； (2)请判断与之间满足的数量关系？说明理由． (3)如图2，若平分，平分，反向延长交于P，求的度数； 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，证明，从而可得答案； （2）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （3）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）如图，分别过点E，F作，， ， ，， ∵， ∴， 又，， ， ， 又， ， ∴； （2）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （3）如图，过点F作， 由（2）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键. 【变式2-3】问题情境： (1)如图1，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答 (2)如图3，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，．试判断之间有何数量关系？（提示：过点P作），请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)当P在延长线时，；当P在之间时，．理由见解析 【分析】（1）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到同旁内角互补的关系，直接求解； （2）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到内错角相等的关系，直接求解； （3）分类讨论P点的位置，同（1）（2）可证角度的数量关系，直接求解． 【详解】（1）过P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图3，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当P在延长线时，； 如图4，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查平行线的性质和判定，解题关键是平行线的判定为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等． 【变式2-4】已知：AB∥CD． （1）探究∠B、∠BED、∠D之间的数量关系，并说明理由； （2）利用上述中的结论， ①如图2，已知AB∥CD，试探究∠E、∠G、∠B、∠F、∠D之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，已知AB∥CD，请直接写出∠B、∠D、∠E1、∠E2……∠En、∠F1、∠F2…∠Fn+1之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）过点E作EM∥AB，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）①过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，再利用等式的性质，即可得出角的关系； ②依据（1）及①的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）如图所示：过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD，EM∥AB， ∴AB∥CD∥EM， ∵AB∥EM， ∴， ∴CD∥EM， ∴， ∵， ∴； （2）①如图所示：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EM∥FN∥GH， ∵AB∥EM， ∴， ∵EM∥FN， ∴， ∵FN∥GH， ∴， ∵GH∥CD， ∴， ∴， 即：； ②如图：过点F1作过点 作同理可得： 由①得： 【点睛】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． 【变式2-5】在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，且是的立方根；方程是关于，的二元一次方程；为不等式组的最大整数解． (1)求点，，的坐标． (2)如图1，点为轴正半轴上的一个动点，且． ①求证：； ②如图2，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点为轴正半轴上的一个动点，连接，，线段与轴交于点．若三角形的面积不大于三角形的面积，设动点的坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标； （2）①根据平行线的性质得到，得到，②作，根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质计算即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，解不等式求解即可． 【详解】（1）解：的立方根是， ， 方程是关于x，y的二元一次方程， ， 解得，， 不等式组的最大整数解是5，则 则、、； （2）①， ， ， ， ， ②作，   ， ， ，， ； 与的平分线交于P点， ，， ， ； （3），，， ， ， ，即， 解得，， 在y轴正半轴上， ， 的纵坐标的取值范围是． 【变式2-6】（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解； （2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 模型三：“臭脚模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 【典例3】如图，已知，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-1】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键 【变式3-2】如图，，点为上方一点，在直线上． (1)如图，求证：； (2)如图，点为直线上一点，、的角平分线所在直线交于点，求与的数量关系； (3)如图，为、之间一点，且在内部，、，当恒成立时，______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点P作PQAB，得ABCDEF，得∠QPE=∠PEB，∠QPC=∠C，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠BEM=α，∠CFN=β，因为EM平分∠BEP，FN平分∠CFP，所以∠PEM=α，∠PFN=β，即得∠P=2α+2β-180°，∠Q=180°-∠CFN-∠BEM=180°-β-α，即可得解； （3）易得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠PCD=（n+1）∠PCN，再结合（1）结论，具体见解答过程． 【详解】（1）证明：过点P作PQAB，如图， ∵ABCD， ∴ABCDPQ， ∴∠QPE=∠PEB，∠QPC=∠C， ∴∠QPE-∠QPC=∠PEB-∠C， 即∠CPE=∠PEB-∠C； （2）解：如图： 设∠BEM=α，∠CFN=β， ∵EM平分∠BEP，FN平分∠CFP， ∴∠PEM=α，∠PFN=β， 由（1）中结论可得∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ， ∴∠P=∠PEM+∠BEM-（180°-∠CFN-∠PFN） =α+α-（180°-β-β）=2α+2β-180°， ∠Q=180°-∠CFN-∠BEM=180°-β-α， ∴2∠Q+∠P=360°-2β-2α+2α+2β-180°=180°， 即2∠Q+∠P=180°； （3）解：如图： 与（1）同理可得，∠CPE=∠PEB-∠PCD， ∵∠EPN=n∠CPN，∠EPN+∠CPN=∠CPE， ∴∠CPE=（n+1）∠CPN， ∵∠DCN=n∠PCN，∠DCN+∠PCN=∠PCD， ∴∠PCD=（n+1）∠PCN， ∴（n+1）∠CPN=∠PEB-（n+1）∠PCN， 又∵∠PEB=180°-∠PEA， ∴（n+1）（∠CPN+∠PCN）=180°-∠PEA， 又∵∠CPN+∠PNC=180°-∠PCN， ∴（n+l）（180°-∠CNP）=180°-∠PEA， 又∵2∠CNP-∠PEA=180°， ∴（n+1）（180°-∠CNP）+2∠CNP=360°， ∴（n+1）（180°-∠CNP）-2（180°-∠CNP）=0， ∴（n-1）（180°-∠CNP）=0， ∴n-1=0或180°-∠CNP=0（不符合题意，舍去） ∴n-1=0，解得n=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． 【变式3-3】如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD干点H，满足点E在线段PH上，∠PGB＋∠P＝∠PHD． (1)求证：AB∥CD； (2)如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q＋∠P＝120°，求∠QHD的度数； (3)在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）根据三角形外角性质得到，即可求证结论． （2）过点作，则，由角平分线的定义可知，，，，，，对两式进行整理可得结论． （3）根据点和点的位置不同，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）过点作，如图所示， 则， 由（1）知，， ， ，   ， 平分， ， 平分， ， ， ， ，   ， ， ， ， 解得， 即的度数为． （3）（2）的条件下，若点是直线上的一点，直线交直线于点，点在点左侧，和的数量关系是或或，理由如下： 在（2）的条件下，， 若点在的延长线上， ， ， ， ， 若点在上， ， ， ， ， 若点在的延长线上， 【变式3-4】如图ABCD，点A，E，C不在同一条直线上． （1）如图1，求证：∠E＋∠C﹣∠A＝180°； （2）如图2，直线FA，CP交于点P，且∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCP． ①探究∠E与∠APC的数量关系； ②如图3，延长CE交直线PF于点Q，若AEPC，∠BAQ＝α（0°＜α＜45°），直接写出∠PQC的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①∠E＝180°﹣2∠APC；②∠PQC＝180°﹣3α． 【分析】（1）如图1，过E作EFAB，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设∠BAF＝x，∠BAE＝2x，∠DCP＝y，∠DCE＝2y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠ECD＋∠BAE＝180°﹣2（y﹣x），如图2，过P作PGCD，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过P作PGCD，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠AEF＝∠A，∠C＋∠FEC＝180°， ∴∠AEC＝∠AEF＋∠FEC＝∠A＋180°﹣∠C， 即∠AEC＋∠C﹣∠A＝180°； （2）①∵∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCP， ∴设∠BAF＝x，∠BAE＝2x，∠DCP＝y，∠DCE＝2y， 由（1）知，∠E＝180°﹣∠ECD＋∠BAE＝180°﹣2（y﹣x）， 如图2，过P作PGCD， ∵ABCD， ∴ABPG， ∴∠GPA＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y， ∴∠APC＝y﹣x， 即∠E＝180°﹣2∠APC； ②如图3，过P作PGCD， ∵∠BAQ＝α， ∴∠QAE＝α， ∵AEPC， ∴∠QAE＝∠APC＝α， 由①知，∠AEC＝180°﹣2∠APC＝180°﹣2α， ∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α， ∴∠PQC＝180°﹣3α． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． ， ， ，， ， 综上所述，点在点左侧，和的数量关系是或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，解题过程中，注意数形结合、分类讨论数学思想的应用． 模型四：“抬头模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【典例4】已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． （1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解； （3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据 ，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ， ， ， 即； （2）解：如图： 设， ∵平分平分， ∴， 由（1）中结论可得， ． ， ， 即， ∴； （3）解：过H作， ， ， ， ， 分别平分， ， ， 过P作， ， ， ， ， ， ∴． 【变式4-1】经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理（1）可得，，则； ∴； （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； （4）由题意作图，如图4，由，设，，，，则，，，，则，即；，即；由（2）可知，，如图4，过作，过作，则，同理（1）可得，，，同理，，由，可得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：由题意作图，如图4， ∵， ∴设，，，，则，，，， ∴，即； ∴，即； 由（2）可知，， 如图4，过作，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴． 【变式4-2】已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)．见解析 【分析】（1）过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求得，再证明，利用两直线平行，内错相等求得，据此即可求解； （2）过点P作，过点N作，推出，由平分，平分，设，，求得，，据此即可证明结论； （2）过点H作，过点P作，过点G作，推出，由平分，设，同（2）用表示相关的角，计算角的和差即可求解． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作，过点N作， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴； （3）解：．理由如下， 过点H作，过点P作，过点G作， ∵， ∴， ∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，解题的关键是学会利用参数表示各个角之间的关系解决问题． 【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【变式4-4】如图1，，直线外有一点，连接，． (1)证明：； (2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系； (3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据平行线性质即可得到角度关系，即可求证； （2）过点作，过点作根据平行线性质得到角度关系即可得到答案； （3）过点做，过点作，根据平行线性质得到角度关系即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点作， ∵，， ∴ ∴，,， ∴， ∴； （2）解：∵平分，设， 又∵平分，设， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 过点作， ∴， ∴，， ∴ ∴； （3）设， 过点做， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 过点作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根据平行线的性质，解题的关键是作平行辅助线转换角度关系． 【变式4-5】已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图2，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$