专题6.2 与三角形有关的角度提升训练-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题6.2 与三角形有关的角度提升训练 一、单选题 1．如图，点是的内心，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则（） A． B． C． D． 3．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 4．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去．若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，点B、C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，则的大小（　　） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 9．如图，在五边形中，，，在边，上分别找一点M，N，连接，，，则当的周长最小时，求的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 12．如图，请直接写出． ． 13．如图①，②，，，，则的度数为 ． 14．如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 15．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ． 16．如图，中，点E在上，先将沿着翻折，使，交于点D，又将沿着翻折，此时C点恰好落在上，则原三角形中 ． 三、解答题 17．如图，在中，分别是的平分线，分别是的外角平分线． (1)当时，的度数为___________，的度数为___________； (2)当的大小变化时，试探究的度数是否变化？如果不变化，求的度数；如果变化，请说明理由． 18．新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 19．如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 20．图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 21．如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 22．把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 23．在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 24．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 25．【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 26．【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 27．【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 28．我们称如图①所示的图形为“8字形” (1)如图①，求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，作，的平分线，，且它们的交点设为． ①______．（选填：“”“”或“”） ②当，时，直接写出的度数． 29．如图，分别是的外角平分线． (1)若，则______． (2)若，则______． (3)试探索与之间的数量关系． 30．发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 与三角形有关的角度提升训练 一、单选题 1．如图，点是的内心，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由题意易得分别是的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，在中，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及邻补角的性质，牢记定理是关键．首先求得，然后利用邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ． 故选：C． 3．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键； 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④； 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， 故①正确，符合题意； 平分， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④； 故选：C 4．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等，找出其中规律是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，得：，则，由和得：，则，化简可得，进一步找出其中规律，即可求出的度数． 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，， ，， ， ，， 得：， ， 由和得：， ， ， 同理， ， … ， 故选：B． 5．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质；连接，并延长至点；由三角形内角和定理求得，由三角形外角的性质有，，再由即可求得的度数． 【详解】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 故选：C． 6．如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义连接，根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：A． 7．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、对顶角相等等知识点．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图所示，由三角形外角的性质可得、，再根据三角形内角和定理可得 ，最后计算即可． 【详解】解：如图: ∵，， ∴, , ∴的度数为． 故选A． 8．如图，，点B、C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，则的大小（　　） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线定义等知识点，灵活运用相关性质得到是解题的关键． 根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，求出，最后代入数据计算即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9．如图，在五边形中，，，在边，上分别找一点M，N，连接，，，则当的周长最小时，求的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，连接，，由轴对称的性质可得，，，，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小，为，求出，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，连接，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴的周长，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小，为， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴由得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可解答． 【详解】解：如图： ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵， ∴，即，整理得:． 故选：A． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形的外角的性质和“两直线平行内错角相等”，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键． 本题先根据三角形外角性质可得，可求出的度数，接下来根据角平分线的定义，在中利用三角形内角和定理可以求得的度数．然后根据角平分线性质和平行线性质可得，即得到，再根据三角形内角和得到，两个式子联立即可求出的度数． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵三角形的外角和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴化简求得． 故答案为：，． 12．如图，请直接写出． ． 【答案】/180度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 连接，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 13．如图①，②，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，平角的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和．在图①中，用含有的式子表示出，进而求出，在图②中，先用含有的式子表示出，进而表示出，再表示出，然后表示出，即可求解． 【详解】解： ，，， 图①中，， ， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 14．如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数；当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数，根据与的结论可得出猜想． 【详解】解：∵当时，， ∴； ∵当时，， ∴． 由可知，． 故答案为：． 15．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出、的度数． 【详解】解：∵是的平分线， ， ∴， ∵是的外角的平分线，， ∴， ∴ ∵ ∴, ∴ 故答案为：. 16．如图，中，点E在上，先将沿着翻折，使，交于点D，又将沿着翻折，此时C点恰好落在上，则原三角形中 ． 【答案】80 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，再根据，即可得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴原三角形的， 故答案为：80． 三、解答题 17．如图，在中，分别是的平分线，分别是的外角平分线． (1)当时，的度数为___________，的度数为___________； (2)当的大小变化时，试探究的度数是否变化？如果不变化，求的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不变， 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质． （1）根据三角形的内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理可得出的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义即可得出的度数； （2）根据（1）中与的式子即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 在中， ； 、分别是与的外角平分线， ，， ， ； 故答案为：，； （2）解：的值不变． 由（1）知，， ． 18．新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】（1）80，110，；（2），见解析；（3）117 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，同理求解即可； （2）由三角形外角的定义及性质得出，，整理即可得解； （3）由（2）可得，再由角平分线的定义并结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ∴，， ∴，． 在中，， ， 整理，得． 同理可得：若，则． 若，则． （2）．理由： ∵，是的两个外角， ∴，， ， ，即． （3）， 由（2），得， ． 平分，平分， ， ． 19．如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①3，4，② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据三角形内角和定理证明即可； （2）根据三角形内角和定理进行解答即可； （3）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可； ②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，，且， ． （2）解：，， ． （3）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． 故答案为：3；4； ②解：以点为交点的“8字型”中， 有， 以点为交点的“8字型”中， 有， ． 分别平分和， ， ． ， ． 20．图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)，见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力，利用数形结合的思想是解题关键 ． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； （4）解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． 21．如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，然后利用等量代换可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 22．把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 23．在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 【答案】（1）①；②猜想，证明见解析；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义； （1）①根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；②根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （2）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （3）根据已知条件求出的度数，然后由（2）求出的，利用三角形内角和求出，再分2种情况讨论，求出的度数． 【详解】解：（1）①解：分别是和的角平分线，，， ， ， ， 故答案为：； ②猜想，证明如下： ∵， ∴ 分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（1）得， ∴， ； （3）是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， 当， ， ， ； 当， ， 解得：， 综上可知：的度数为或． 24．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 25．【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了角平分线的定义． （1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）利用（1）中模型可得，再根据角平分线得到，，解答即可． 【详解】证明：（1）在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）同（1）中模型可得，在相交线中，有， 在相交线中，有， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． 26．【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）；证明见解析；（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理求解； （3）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （4）结合（3）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵、分别是和的平分线，， ， ． （2）∵分别是和的平分线， ， ， ， ； （3）；理由如下： ∵分别是和的平分线， ， ； （4）． 如图，延长，交于点， 由（3）知，， ， ， ， ， 即． 27．【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 28．我们称如图①所示的图形为“8字形” (1)如图①，求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，作，的平分线，，且它们的交点设为． ①______．（选填：“”“”或“”） ②当，时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等： （1）由三角形内角和定理及对顶角相等即可证明； （2）①同（1）可证；②结合①中结论可得，，两式左右分别相加，再结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）解：①如图，与交于点M， ∵，， ∴． 故答案为：； ②由①知， 同理可得， 两式左右分别相加，得：， 又∵，的平分线，相交于点P， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 29．如图，分别是的外角平分线． (1)若，则______． (2)若，则______． (3)试探索与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）先由三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，，则由角平分线的定义可得，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，据此可推出，再代值计算即可； （3）根据（2）所求可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，分别是的外角平分线， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：由（2）可知． 30．发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】（1），见解析 （2） （3），见解析 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：．理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． ． 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$