精品解析：广西南宁市天桃实验学校2024—2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋季学期九年级12月月考数学学科试题 考试时间：120 分钟 试卷分值：120 分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A B. C. D. 4. 在最近几次选拔赛中，甲、乙、丙、丁4名跳高运动员的平均成绩都是190，方差分别是，如果要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，你认为最应该派去参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，点是上的三个点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一个含的直角三角尺绕点A顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，已知那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 8. 若为关于的反比例函数，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 9. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为25万元，8月份售价为15万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，是上的点，且连接并延长，交于点作分别交于点则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 14 因式分解：______． 15. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填、或）． 16. 在手工课上，小明用半径，圆心角的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽．不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为______． 17. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面放置平面镜，光线从A点射出经上E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），，垂足分别为C、D，且，，，则的值为_______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： ． 20. 解方程：． 21. 在平面直角坐标系中位置如图所示： （1）以点为位似中心，在y轴的左侧画出将放大2倍后的； 并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的． 22. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题： （1）班学生共有 人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为 ；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有 人； （2）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 23. 千年壮刀文化，绝唱古今中外．广西非遗传承人黄冬鹏用自己的双手和匠心将“壮文化”与手工锻刀技艺结合，将传统美学与现代审美相融合，历时13载潜心钻研工艺，捍卫了即将失传的壮刀文化，并发扬光大．在制作锻刀的过程中，要进行材料煅烧和锻造的两个工序，即需要将材煅烧到700℃，然后停止煅烧．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料煅烧时和停止煅烧后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度冷却低于时，可以进行锻造，那么材料需要冷却的时间有多长？ 24. 如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点 过点作直线交的延长线于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 25. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值． 26. 纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是），定义了 A、B、C三组纸张尺寸． （1）观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为 ； （2）探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点 E．求的值 ． （3）拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．（即） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期九年级12月月考数学学科试题 考试时间：120 分钟 试卷分值：120 分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕对称中心旋转180度后与自身重合．据此即可判断． 【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列方程中，是一元一次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，且两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义对各方程分别进行判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元一次方程； B、，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程； C、是代数式，不是一元一次方程； D、是一元一次方程； 故选：D． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标． 故选：D． 4. 在最近几次选拔赛中，甲、乙、丙、丁4名跳高运动员的平均成绩都是190，方差分别是，如果要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，你认为最应该派去参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，根据方差越小越稳定进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴乙的成绩更加稳定， 故选：B． 5. 如图，点是上的三个点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求解即可． 【详解】解：∵点，，是上的三个点，， ∴； 故选B． 6. 如图，将一个含的直角三角尺绕点A顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，已知那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解题的关键．先判断出旋转角是，再由旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：∵绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上， ∴旋转角是， ∵由旋转而成，， ∴， 则 故选：C． 7. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0 【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB28=7，且O为BD的中点． ∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OEAB=3.5． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE为△ABD的中位线是解题的关键． 8. 若为关于的反比例函数，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵为关于的反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 9. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的根为， 即方程的另一个根为：． 故选：A． 10. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为25万元，8月份售价为15万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款燃油汽车今年8月份的售价=该款燃油汽车今年6月份的售价×(1−该款汽车这两月售价的月平均降价率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与轴的交点与一次函数的常数项相关．根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】解：当时， 一次函数经过一、二、三象限， 反比例函数的的图象在一、三象限，故C选项的图象符合要求； 当时， 一次函数经过二、三、四象限， 反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：C． 12. 如图，在矩形中，是上的点，且连接并延长，交于点作分别交于点则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质．根据矩形的性质得到，证明，由求得，再证明，得，即，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 因式分解：______． 【答案】x(x-2) 【解析】 【分析】直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用提公因式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键． 15. 若点，都在反比例函数的图象上，则______（填、或）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的增减性．由反比例函数可得在同一象限内y随x的增大而减小，然后根据点，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∴点，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 16. 在手工课上，小明用半径，圆心角的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽．不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，同时考查了弧长公式和勾股定理．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用弧长求得弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 17. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面放置平面镜，光线从A点射出经上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），，垂足分别为C、D，且，，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质．先证明，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，入射角为α（入射角等于反射角）， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， 即 ∴， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，作轴，轴，垂足分别为，根据反比例函数值的几何意义，得，求出的值即可，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为， ∵边的中点横坐标为， ∴，则， 由， 根据反比例函数值的几何意义，得， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据零指数幂和二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要注意选择合适的解题方法． 解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为，，所以，这样即达到了降次的目的． 【详解】解： 或 ，． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）以点为位似中心，在y轴的左侧画出将放大2倍后的； 并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是画位似图形，画旋转图形； （1）分别确定关于原点位似的对应点，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标； （2）分别确定绕点顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ∴ 【小问2详解】 解：如图，即为所求 ； 22. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题： （1）班学生共有 人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为 ；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有 人； （2）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 【答案】（1）50；；150 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体： （1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得9.1班的学生人数；用乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数；求出9.1班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用1500乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解： 9.1班学生共有（人）． 扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为． 9.1班参与“做饭”的人数为（人）， ∴估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有（人）． 故答案为：50；；150． 【小问2详解】 解：列表如下： 男 女 女 女 男 （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有：（男，女），（男，女），（男，女），（女，男），（女，男），（女，男），共6种， ∴所选同学中有男生的概率为． 23. 千年壮刀文化，绝唱古今中外．广西非遗传承人黄冬鹏用自己的双手和匠心将“壮文化”与手工锻刀技艺结合，将传统美学与现代审美相融合，历时13载潜心钻研工艺，捍卫了即将失传的壮刀文化，并发扬光大．在制作锻刀的过程中，要进行材料煅烧和锻造的两个工序，即需要将材煅烧到700℃，然后停止煅烧．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料煅烧时和停止煅烧后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度冷却低于时，可以进行锻造，那么材料需要冷却的时间有多长？ 【答案】（1）， （2）6分钟 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式、以及一次函数与反比例函数的性质， （1）当时，设一次函数解析式为，利用待定系数法求得的值；当时，设反比例函数解析式为，利用待定系数法求得的值即可； （2）把代入得求得，即可求得冷却的时间． 【小问1详解】 解：当时，设一次函数解析式为， 把代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； 当时，设反比例函数解析式为， 把代入得， 所以反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得， 故冷却的时间为． 答：材料需要冷却到400℃的时间要6分钟． 24. 如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点 过点作直线交的延长线于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是圆与三角形的综合题目，考查切线的判定与性质、圆周角定理的推论、勾股定理应用，解题的关键是掌握相关的性质定理，进行证明． （1）先证明即可得出，从而证明结论； （2）先求出，再求出，利用勾股定理求出结论． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∵是⊙的直径 ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是⊙的半径 ∴直线与⊙相切； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，， ∴ 解得 ∴的长为． 25. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值． 【答案】（1） （2） （3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式． （1）根据题意建立直角坐标系，分别得到，，再根据待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）根据每棵苗木高，且苗木顶部不触碰大棚得到，即可求出种植点的横坐标的取值范围； （3）根据（2）的种植点的横坐标的取值范围即可求出数量和最左边一棵苗木种植点的横坐标． 小问1详解】 解：根据图中的坐标系以及题意可得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为点， ∴可设抛物线的解析式为：， 把点代入可得：， 解得：， ∴抛物线的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：∵种植苗木时，每棵苗木高， ∴当时， 解得：，， ∵苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布， ∴种植点的横坐标的取值范围为：； 【小问3详解】 解：根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔， ∴在距离y轴的两则开始种植，最前排可种植：（棵）， 则最左边一棵苗木种植点的横坐标． 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为． 26. 纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是），定义了 A、B、C三组纸张尺寸． （1）观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为 ； （2）探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点 E．求的值 ． （3）拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．（即） 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （2）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可； （3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论． 【小问1详解】 解：设纸较长边的长为a，较短边长为b， 由题意，第一次折痕长为， ∵第1次的折痕与纸较长的边重合， ∴， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得，设，， 由折叠得，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，延长、相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故G是黄金分割点． 【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$