精品解析：辽宁省大连市第十二中学2024-2025学年高一上学期12月学情反馈数学试卷

辽宁省大连市第十二中学2024-2025学年高一上学期12月学情反馈数学试卷 命题人：赵江萍 时间：90分钟 分值：100 一、单选题（共24分） 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 5. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（ ） A. 2025 B. 2022 C. 2020 D. 2019 二、多选题（共18分） 7. 已知函数的图象经过点则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 在内的值域为 8. 下列说法正确的有（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则 B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98 D. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 9. 已知函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共12分） 10. 已知是1，2，3，，5，6，7这7个数据的中位数，且1，2，，这四个数据的平均数为1，则的最小值为______. 11. 已知幂函数，且对于满足，则___________. 12. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（共46分） 13. 已知，全集，集合，函数的定义域为. （1）当时，求； （2）若是成立的必要条件，求的取值范围. 14. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）； （3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 15. 已知函数. （1）当时，判断的单调性，并用定义加以证明； （2）当是偶函数时，函数的图像在的函数图像下方，求b的取值范围. 16. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省大连市第十二中学2024-2025学年高一上学期12月学情反馈数学试卷 命题人：赵江萍 时间：90分钟 分值：100 一、单选题（共24分） 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出对数型函数的定义域作为集合，然后根据集合的补集和交集运算求解出的结果. 【详解】因为中，所以，所以， 所以，所以， 故选：C. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的定义域，研究其奇偶性及的符号即可判断. 【详解】由题意可得：的定义域为， 且， 所以函数在定义域上为奇函数，故排除选项B，D. 又因为，故排除选项C. 故选：A. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性，利用中间值法，可得答案. 【详解】由在上单调递减，则； 由在上单调递增，则； 由在上单调递增，则. 综上可得，，即. 故选：D. 4. 一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果. 【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药， 则，整理可得：， ， ，， ，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药. 故选：A. 5. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集. 【详解】， 由于，所以的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得，所以不等式的解集是. 故选：D 6. 已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（ ） A. 2025 B. 2022 C. 2020 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数与反比例函数的单调性，根据复合函数的单调性，求得最值，可得答案. 【详解】由，则在上单调递增， 所以，，. 故选：B. 二、多选题（共18分） 7. 已知函数的图象经过点则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 在内的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知求得函数解析式，再根据幂函数的性质判断． 【详解】由题意，则，∴， ∴是奇函数，图象关于原点对称，在上是减函数，值域为， ， 故选：CD 8. 下列说法正确的有（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则 B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98 D. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD作答. 【详解】对于A，依题意，事件=“出现3点”，而掷骰子一次有6个不同结果，所以，A正确； 对于B，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有： ，共10个， 其中两球同色的结果有：，共4个，所以“两球同色”的概率是，B错误； 对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为，C正确； 对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，第3个路口遇到红灯， 所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，D错误. 故选：AC 9. 已知函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用与互为反函数的性质即可求解；对于B：利用的单调性即可求解；对于CD：由题得，，则. 【详解】对于A：由， 得：，， 则和与都相交， 又与互为反函数，图象关于对称，直线也关于直线对称， 由，解得， 即和与的交点关于对称， 所以，即.故A正确； 对于B：函数都是增函数， 因为，， 所以在区间内存在零点，即； 因为，， 所以在区间内存在零点，即， 所以，所以，， 所以，故B正确； 对于CD：由A知，， 因为，， 所以，故CD错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：（1）两个函数互为反函数，则它们的图象关于对称，若两个函数与其他直线都相交，设为，则其他直线与的交点即为的中心对称点； （2）根据零点存在性定理可以确定零点所在的区间，根据区间的范围可以间接求出函数的范围. 三、填空题（共12分） 10. 已知是1，2，3，，5，6，7这7个数据的中位数，且1，2，，这四个数据的平均数为1，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，得到x的取值范围，根据1，2，x2，﹣y这四个数据的平均数为1，得到x，y之间的关系，把要求的代数式换元变化为一个自变量的形式，得到一个递增的代数式，把x的最小值代入得到结果． 【详解】∵x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，∴， ∵1，2，x2，﹣y这四个数据的平均数为1， ∴，∴ ∵中，在时，递增，也是一个递增函数， ∴函数是一个增函数， ∴的最小值为， 故答案为：. 11. 已知幂函数，且对于满足，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用幂函数可得，结合的图象在第一象限上凹函数，可求得的值. 【详解】由幂函数，得，解得或， 又对于满足， 所以的图象在第一象限上凹函数，所以或， 所以或. 故答案为：或. 12. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数型函数单调性及反比例型函数单调性可得在上单调递减，且在上恒成立，求解即可. 【详解】令，由函数在区间上单调递减， 可得在上单调递减，且在上恒成立， 又， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共46分） 13. 已知，全集，集合，函数的定义域为. （1）当时，求； （2）若是成立的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合；根据有意义得到，求解得出集合，再求出，进而可求出； （2）由题意得到，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由，得，则， 解得，即； 当时，则， 由得，解得，即； 所以，所以. 【小问2详解】 由是成立的必要条件，可知， 则由（1）得，解得， 所以的取值范围是. 14. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）； （3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】（1）， （2）估计众数为70，分位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为0.7，各组频率之和为，建立方程组求解； （2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定第分位数所在组，再由比例关系求解； （3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得，，再由古典概型概率公式可求. 【小问1详解】 由题意可知：，， 解得，； 【小问2详解】 由频率分布直方图估计众数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 则估计第分位数为； 【小问3详解】 根据分层抽样，和的频率比为 故在和中分别选取4人和1人，分别设为和 则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有 共10个， 即，记事件“两人来自不同组”， 则事件包含的样本点有 共4个，即， 所以. 15. 已知函数. （1）当时，判断的单调性，并用定义加以证明； （2）当是偶函数时，函数的图像在的函数图像下方，求b的取值范围. 【答案】（1）当时，在上是增函数. 证明：任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以，即 所以当时，在上是增函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）运用对数运算公式及函数单调性定义证明即可. （2）由偶函数性质可求得k的值，由恒成立可得，，由结合分离常数法、不等式性质及对数型函数单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是偶函数得：，即， 整理得， 则对任意恒成立，所以． 因为函数的图像在图像下方， 所以，即对于恒成立． 所以，， 由（1）可知，在上是增函数， 又， 由，则， 所以，即，则， 所以，即b的取值范围是． 16. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值，根据复合函数的单调性判断的单调性； （2）根据函数平移的性质求得参数的值，再求函数的值域； （3）根据函数单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用一元二次方程根的分布求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以，整理得，得， 所以， 所以在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 由（1）得， 令，则在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以，所以， 因为， 所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即t的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、函数图象平移的综合问题，第（3）问解题的关键就是利用转化的数学思想将问题转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $