专题18 一次函数压轴题动点问题（精选30道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题18 一次函数压轴题动点问题（精选30道） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据，求出，设点D的坐标为，得出，，根据，得出，求出结果即可； （3）先求出，；再分两种情况进行讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令中得， ∴， 设直线的解析式为 ， 得 直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴，即； 当在下方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当在上方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作，交延长线于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 (3)所有符合条件的点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）根据直角顶点不同分情况讨论，画出图形构造一线三垂直全等模型求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； （3）解：∵、， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴当，时，如图中点，过作轴于， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 同理当，时，如图中点，此时； 当，时，如图中点，此时为中点，则, 综上所述，当为等腰直角三角形时，所有符合条件的点的坐标为，，． 3．小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式． (3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由得到，根据，并结合勾股定理可求得，由翻折可得是等边三角形，过点C作于点D，根据“三线合一”与勾股定理即可求得点C的坐标； （2）由，，，得到，，，，根据长方形的性质与勾股定理求得，， ，设点D的坐标为，则，，根据勾股定理有，代入即可求出点D的坐标，进而根据待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （3）过点B作，交的延长线于点E，可得四边形是长方形，从而，，，根据勾股定理求得，进而得到，从而证得，得到，又证，得到，因此，根据面积公式求得，．连接，得到，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 过点C作于点D， ∴， ， ∴点C的坐标为． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ，， ∴在中，， 设点D的坐标为，则，， 由翻折可得，，， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴点， ∵四边形是长方形，，， ∴点， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴所在直线的函数表达式为． （3）解：过点B作，交的延长线于点E， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，且与的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称图形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质，待定系数法求解析式，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5，，垂直 (2) (3)点的坐标为或 (4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 由折叠的性质得到， ，， ， ； 故直线与直线的位置关系是垂直， （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为； （3）解：，， ，， 则， 则， 点是轴上一动点， 设点的坐标为， ， 则， 或－4， 点的坐标为或； （4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图1，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， ， 点的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图2，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图3，过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，t的值为8或或或12． 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 6．如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)直接写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）； (2)点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 【答案】(1)，； (2)点P的坐标为或； (3)存在，或4或3 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， （1）把代入求得点A的坐标，把代入求得点的坐标即可； （2）过点作轴，垂足为，由的面积为6，求的长度，从而得到点的坐标； （3）由条件分，，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：把代入，解得， 点的坐标为， 把代入，解得， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴，垂足为E， 的面积为6， ，即， 解得， 点，, 点的坐标为或； （3）解：存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下， ①当时，如图，过点C作轴，垂足为M，交直线l于点N， 轴，直线轴， 直线， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ②当时，如图，过点C作轴，垂足为M，过点Q作轴，垂足为N， 同理可证， ，， ， ， 当时，如图，过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为， 同理可证， ，， 设， ，， ， ， ，解得， ， 综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，或4或3． 7．如图，直线分别与x、y轴交于、B两点，过点的直线交轴负半轴于，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为点右侧轴上的一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由； (3)如图1，直线交直线AB于，交直线于点，交轴于点，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)存在， 【分析】（1）将代入得，可求，则直线，当时，，即，由，可得，待定系数法求直线的解析式即可； （2）如图1，作轴于，证明，则，设，则，，可知 ，则是等腰直角三角形，，进而可得当点运动时，点的位置不变； （3）由，可知，即为的中点，如图2，联立，可求，则，同理，，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴直线， 当时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：如图1，作轴于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴直线与轴的交点，当点运动时，点的位置不变，； （3）解：∵， ∴，即为的中点，如图2， 联立， 解得，， ∴， 同理，， ∴， 解得，， ∴存在，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，两直线交点等知识．熟练掌握一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，两直线交点是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点G是直线上一动点，过点G作x轴的垂线交x轴于点M ，与直线交于点H，且满足，求点G的横坐标； (3)若点G 是线段BC上一动点，点N在x轴上，且满足，直接写出点G 和点N的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点G的横坐标为或 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定和性质等知识． （1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式解析式即可； （2）分四种情况分别进行解答即可； （3）过点G作轴于点P，由得到，由得到，，求出，证明是等腰直角三角形，得到，，，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为； 点 ， 解得：， 直线的解析式为； （2）设，则， ①点G在第一象限时，， ， ， 解得； ②点G在第二象限时，， ， ， 解得， ③点G在第四象限时，，不合题意，舍去， ④点G不可能在第三象限， 综上，点G的横坐标为或． （3）如图，过点G作轴于点P， ， ， ， ， ， ， ， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 9．如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． (1)直线的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果） (2)点为线段（含、两点）上的一个动点，连接．若直线将的面积分为两部分．试求点的坐标； (3)在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点和点的坐标，根据题意，得出点和点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式可求出点的坐标； （2）①过点向轴作轴于点，先求出的面积，直线将的面积分为两部分，需要分两种情况：当点在线段上时，则有，建立方程求解即可；当点在线段上时，设直线与轴交于点，则，建立方程求解即可； （3）分当在点的左侧时，当在点左侧时，构造等腰直角三角形，进而求得的坐标，得出直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、， 令,则，解得：， 令，则， ，， ， ∵， ∴， ， 与关于轴对称， ， 把点和点的坐标代入一次函数， ，解得， 直线的解析式为：； 联立，解得：， 点的坐标为． 故答案为：；. （2）解：如图1，过点作轴于点，连接， ∵点的坐标为， ， ，， ， ． ，，， ∴，， ∴， 点是线段的中点， ． 当点在线段上时，则有， ， ，解得， 把代入，得 ． 当点在线段上时，设直线与轴交于点，如图2，此时有， ， ，解得， ∵ ∴点与点重合，， ， 直线与轴重合， ∴点与点重合， ． 综上所述，若直线将的面积分为两部分，点的坐标为或． （3）解：当在点的左侧时，如图所示，以为腰，为顶点，作等腰，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，则     ∴ 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴ 当时，，即； 当在点左侧时，如图所示，以为腰，为顶点，作等腰，过点作轴于点， 同理可得 ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴ 当时，，即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．    (1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式； (2)如图2，点是直线上的一动点（与，点不重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为，用含的式子表示的长，并求出当时，的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若是线段上一动点（与，点不重合），连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2)，； (3)点坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得到，，分当或时，两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）根据（2）的结果求得，再分当或时，两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点是直线上的一动点，点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 当时，； 当时，； ∵， ∴， 当时， ∴或， 解得（舍去），或， 综上，，； （3）解：∵是线段上一动点， ∴，由（2）知，，， 作于点，    ∴，，， 当时，， 解得，此时， ∴； 当时，，解得， 此时， ∴； 综上，点坐标为或． 11．如图，直线的函数表达式为与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与直线交于点． (1)求点C坐标和直线l2的函数表达式； (2)求的面积； (3)为直线上一动点，且，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． （1）先求出C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出点A，点D的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）先求出M的纵坐标为，再代入的解析式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴ 设直线的函数表达式为， 把，代入，得： ，解得 ∴的函数表达式为． （2）解：令，代入，得：， 解得： ∴， 令，代入，得：， 解得：， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴M的纵坐标为， ∵为直线上一动点， ∴， 解得：或6， ∴或． 12．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． (1)求点A、点的坐标； (2)当时，求的值； (3)连接，在点运动的过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可； （2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （3）过作于，然后结合图形表示出 ，得出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：． ， 当时，， ； （2）的横坐标为， ， 当时，， ． ， ， ， 由得：， 解得：； （3）过作于， ， ， ， ， 解得：． 13．如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据，结合点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据的面积，列出函数解析式，再求出时，的值，进而求出点P的坐标即可； （4）先求出点坐标，进而求出的长，设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于A、B两点，， ∴； （2）把代入，得： ，解的：， ∴； （3）由题意，得：， 当时，点在线段上， ∴， ∴的面积为， 当时，，解得：， ∴， ∴． （4）∵，把，代入，得：， ∴， ∴， 设， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①，则：； ②当时，则：，解得：， ∴， ∴； ③当时，过点作轴，则：， ∴； 综上：，，． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交与点，与轴交与点． (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题属于一次函数的综合题，主要考查了求函数解析式、等腰三角形的判定等知识点，正确运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据在图象上，求出点A的坐标，根据待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）先求得点C的坐标，①如图1，当点P在下方时，过点C作，，当点P在直线上时，，设直线的解析式为，进而求得函数解析式为，再把代入求解即可；同理求出当点P在下方时点P的坐标； （3）设，则，可得，然后分、或三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解：∵在图象上， ∴， ∴， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：， ∴当时，，解得：， ∴， 如图1，当点P在下方时，过点C作， 当点P在直线上时，， 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴； 如图2，当点P在上方时，同理可得点P所在的直线为， 当时，， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． （3）解：设，则， ∴， 如图3，当时，过点Q作于D， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，解得：或， ∴或； 如图4，当或时， ∵或， ∴，解得或， ∴或． 综上所述,点的坐标为或或或． 15．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B． (1)求直线的解析式； (2)点D是在直线上的动点，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点K的位置不发生变化，其坐标为 【分析】（1）根据坐标轴上点坐标特征求出B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形面积求出，据此求解即可； （3）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到，，进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形即可求出结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：当时，则，解得， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴当时，， 解得，即点D的坐标为； 当时，， 解得，即点D的坐标为； 综上所述，存在点D的坐标为或使得． （3）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为： (2)存在，或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，涉及到三角形的全等，点的对称，面积的确定，解题的关键一次函数的综合运用，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）当点P在线段上时，当和的面积比为，则即可求解；当点P在点C的上方时，则点C是的中点，即可求解； （3）设点，求出点N的坐标为，进而求解； 【详解】（1）解：将点B的坐标代入直线的表达式为：， 即直线的表达式为：， 当时，，即点， 将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故直线的表达式为：； （2）存在，理由： 当点线段在上时， 当和的面积比为，则， 则， 当， 解得：， 则点的坐标为：； 当点在点的上方时， 则点是的中点， 由中点坐标公式得：点； 综上，点的坐标为：或； （3）设点， 过点作轴于点，过点作轴于点， ，则， ， ， ，， ， 则，， 则点的坐标为：， 则点在直线①上，设该直线分别交轴于点，以为边向右作正方形，由直线的表达式轴， 其和轴负半轴的夹角为，则点落在直线上，点关于直线的对称点为点， 由直线知，点，则，则点， 连接交直线于点，则此时，周长最小， 理由：周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：． 17．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)6 (3)的值为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）分别求出和的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算，即可作答． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：直线经过定点， ， ， 直线， 直线经过点， ， ， 把代入，得：， 解得：， 故答案为：；4；2； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴的面积为； （3）解：存在， 动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ， ， ， 点的运动时间为秒， ， 分两种情况：点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； 点在线段的延长线上， 和的面积比为， ， ， ， ， 综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或． 18．如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以为腰的是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或 (3)m的值为4或6 【分析】（1）将点C的坐标代入直线可得出a的值，即得点C坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）设点P的坐标为，先求出点B的坐标，然后根据的面积为6求解即可； （3）分两种情况：当时，过点C作轴于M，过点Q作轴于N，证明，根据，，得到，得；当时，过点C作轴于M，延长交直线l于N，同理得，得，得． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， 将代入直线， 得， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）设点P的坐标为， ∵直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵的面积为6，， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； （3）以为腰的三角形是等腰直角三角形，分以下两种情况： ①当时， 过点C作轴于M，过点Q作轴于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当时， 过点C作轴于M，延长交直线l于N， 同理：， ∴，， ∴， ∴； 综上，m的值为4或6． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，方程的思想方法，分类讨论，是解本题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出点和，设，然后分为在射线上和第三象限，利用铅锤法求面积，列式进行计算即可求解； （3）证明，求出点M、H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解; ∵， ∴点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）解：∵直线的表达式为， ∴令，则， ∴ ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴， 设， 当点P在射线上时，设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴， 令，则， 设直线与y轴交点D， 则D坐标为， ， 解得或5， ∵， ∴， ∴； 当点P在第三象限时，如图， 设直线解析式为：， 将，代入，得， 解得， ∴直线解析式， 令，则， 设直线与y轴交点E， 则E坐标为， ， 解得， ∴； 综上所述，点或． （3）解：存在，理由如下： 将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了2个单位， 则，设该直线交y轴于点， 设符合条件的点为点M、， 过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M与y轴的平行线于点N， 则为等腰直角三角形，则，， 设点，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则，且， 解得且， 则点，， 由题意得，点M和点关于点H对称， ∴由中点坐标公式，得； 综上所述，点或． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何综合运用，涉及到全等三角形的性质与判定、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、等腰三角形的性质与判定、中点坐标公式、铅锤法求三角形面积等，熟练掌握一次函数图象与性质以及铅锤法求面积是解题的关键． 20．综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求，两点的坐标； (2)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (3)试探究直线上是否存在点，使以，，为顶点的三角形的面积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点．试探究直线上是否存在点，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为 (2)，点 (3)存在，点P坐标为或 (4)存在，点P的坐标为或． 【分析】（1）当时，求出y的值，当时，求出x的值，即可确定点B和点A坐标； （2）将点B坐标代入，可得b的值，即可确定直线的解析式，令，解方程，即可求出点C坐标； （3）根据三角形的面积公式可得，求出，分别代入直线的解析式即可求出点P坐标； （4）过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，垂足为点H．设点，则，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B坐标为， 当时，，解得：， ∴点A坐标为； （2）解：将点B坐标代入， 解得：， ∴直线的表达式：， 当时，， ∴点； （3）解：存在以A，C，P为顶点的三角形的面积为18， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点P坐标为， 当时，， ∴点P坐标为， 综上，满足条件的点P坐标为或； （4）解：如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，垂足为点H． 设点，则， ∴， ∵B点坐标，C点坐标， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∴存在，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形、三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键． 21．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小为 (3) (4) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． （4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称 又， ∴当在点的右侧时， 综上所述， （4）解：如图所示， 作点关于的对称点，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，则 ∴是等腰直角三角形 ∵，，则， ∴， ∴， 依题意，， ∴ 当重合时，取得最小，即的长， 此时， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 22．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，根据即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式为；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得H的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 将代入得： ， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ， 解得：， ∵， ∴点的坐标为或； （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，   ， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ∵，， ，， 即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， ②当点在射线上时， 过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵，， ，， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ， 综上：直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴于，D两点，两直线相交于点E． (1)求k的值与线段的长； (2)求的面积： (3)若点P为直线上的一动点，连接，，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)的坐标为：或． 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程，一次函数的交点坐标，勾股定理的应用； （1）把代入可得的值，再求解，利用勾股定理可得的长； （2）先求解两直线的交点，，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先求解，如图，当在的上方时，过作轴交于，设，可得，利用面积建立方程求解即可；当在的下方时，如图，证明时，，，，设，而，，再利用中点坐标公式解题即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴、y轴于，D两点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 当，则， ∴， ∴； （2）解：联立， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴． （3）解：当时，， 解得：， ∴， 如图，当在的上方时，过作轴交于， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 当在的下方时，如图， 当时，，， ∴， 设，而，， ∴， ∴，， ∴， 综上：的坐标为：或． 24．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，点坐标 (2)存在， (3) (4)满足条件的点C的坐标为或 【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可； （3）利用三角形面积公式列式运算即可； （）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点坐标； （2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小， ∵，，， ∴的最小值； （3）如图2中， ∵点坐标为，， ∴， ． 故答案为18； （4）如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得等， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点与点关于轴对称，连接． (1)的坐标是_____； (2)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)直线交直线于点、交直线于点，点为轴上的一个动点，为等腰直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或或或 【分析】（1）根据直线求出点B的坐标，然后根据轴对称的性质求出点C的坐标即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分情况讨论：当，，时，当，，时，当，，时，当，，时，当，时，分别根据等腰直角的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴点C的坐标为； （2）解：把代入得：，解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 当时，如图所示： 此时或， ∴此时点D的坐标为或； 当时，如图所示： 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， 则， ∴此时点D的坐标为； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线交直线于点、交直线于点， ∴，， ∴， 当，，时，如图所示： ， 解得：； 当，，时，如图所示： 则， 解得：； 当，，时，如图所示： ∵点E与点F关于x轴对称， ∴x轴垂直平分， ∵， ∴点Q在的垂直平分线上， ∴点Q在x轴上， ∴此时点Q与原点O重合， ∵，，， ∴， ∴此时， 解得：； 当，，时，如图所示： 同理可得：此时点Q与原点O重合， ∵，，， ∴， ∴， 解得：； 当，时，， 则， 解得：不符合题意； 综上分析可知：a的值为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 26．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直线和直线的解析式； (2)为上一动点，连接，若恰好平分，求点的坐标； (3)为x轴上一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求的面积． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式； （2）根据平分，得出直线为一、三象限夹角的平分线，联立，求出，即可得出点M的坐标； （3）求出点C的坐标为，设点N的坐标为，根据是以为斜边的等腰直角三角形，得出，根据两点间距离公式可得，求出，得出． 【详解】（1）解：把分别代入直线和直线的解析式得： ，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为； （2）解：∵，平分， ∴直线为一、三象限夹角的平分线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点M的坐标为； （3）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， 设点N的坐标为， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求出一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 27．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为，直线与直线，相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交，于点M，N，当时，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点E，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点D的坐标为或 (3)存在，点E的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，，求出，根据，列出关于m的方程，然后求解即可； （3）过点作轴于点，则，利用勾股定理可得，设，则，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1， ∴， 设直线的解析式为，把、代入，得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为； （2）解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：存在．理由如下： 如图1，过点作轴于点，则， ，， 在中，， 设，则， 当时，， 解得：或， 或； 当时， 轴，即， ，即， ； 当时， 解得： ∴ 综上所述，点的坐标为或或或 28．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由，，得，又，可得，根据可证； （2）过点作交于点，过点作平行于轴的直线过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，由将直线绕点顺时针旋转至直线，可得，是等腰直角三角形，即可得，有，，求出，，可得点的坐标为，用待定系数法得直线的函数表达式为； （3）求出，设，又，分当、、为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 29．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点D，过点D作轴于点． (1)分别求出点A，D的坐标； (2)求出直线的函数表达式； (3)若点P是线段上一动点，点P从原点O开始，以每秒1个单位长度的速度向点A运动（点P与点O，A不重合），过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N．设的长为s，点P的运动时间为t，求出s与t之间的函数表达式（写出自变量的取值范围） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）分别把，代入即可求解； （2）利用待定系数法可求得直线的函数解析式； （3）用t可分别表示出M，N的坐标，则可表示出s与t之间的关系式． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点A的坐标为， ∵轴于点， ∴点D的横坐标为3， 当时，， ∴点D的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：根据题意得：， ∵过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N． ∴点， ∴， ∵点P是线段上一动点，且， ∴， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线：经过，两点，且a、b满足，过点B作轴，交直线：于点P，连接PA．    (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是x轴上的一个动点，点D是y轴上的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线、于点M、N，若是以为直角的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的n的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）根据非负性求出a、b的值，然后运用待定系数法解答即可； （2）根据平行和坐标以及确定Q坐标即可； （3）根据题意可得，再由是等腰直角三角形，可得点D在的垂直平分线上，，从而得到关于n的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点，， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：存在一点Q，使得， ∵轴，， ∴点， ∴， ∵， ∴点Q的纵坐标为0或4， ∴点Q的坐标为或； （3）解：如图，    ∵点， ∴点，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴点D在的垂直平分线上，， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，是以为直角的等腰直角三角形，n的值为或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 一次函数压轴题动点问题（精选30道） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式． (3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)直接写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）； (2)点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 7．如图，直线分别与x、y轴交于、B两点，过点的直线交轴负半轴于，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为点右侧轴上的一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由； (3)如图1，直线交直线AB于，交直线于点，交轴于点，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点G是直线上一动点，过点G作x轴的垂线交x轴于点M ，与直线交于点H，且满足，求点G的横坐标； (3)若点G 是线段BC上一动点，点N在x轴上，且满足，直接写出点G 和点N的坐标． 9．如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． (1)直线的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果） (2)点为线段（含、两点）上的一个动点，连接．若直线将的面积分为两部分．试求点的坐标； (3)在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标． 10．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．    (1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式； (2)如图2，点是直线上的一动点（与，点不重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为，用含的式子表示的长，并求出当时，的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若是线段上一动点（与，点不重合），连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 11．如图，直线的函数表达式为与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与直线交于点． (1)求点C坐标和直线l2的函数表达式； (2)求的面积； (3)为直线上一动点，且，请求出点的坐标． 12．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． (1)求点A、点的坐标； (2)当时，求的值； (3)连接，在点运动的过程中，当时，求的值． 13．如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，，点在直线上，动点P从O点出友，沿X轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)A点的坐标为_______；B点的坐标为________； (2)直线的函数解析式； (3)设点P的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当时点P的坐标． (4)x轴正半轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交与点，与轴交与点． (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B． (1)求直线的解析式； (2)点D是在直线上的动点，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由． 16．如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 17．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 18．如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以为腰的是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴负半轴交于点，，直线与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点，使得与新直线的夹角为，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 20．综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求，两点的坐标； (2)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (3)试探究直线上是否存在点，使以，，为顶点的三角形的面积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点．试探究直线上是否存在点，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 21．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 22．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 23．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴于，D两点，两直线相交于点E． (1)求k的值与线段的长； (2)求的面积： (3)若点P为直线上的一动点，连接，，当时，求点P的坐标． 24．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点与点关于轴对称，连接． (1)的坐标是_____； (2)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)直线交直线于点、交直线于点，点为轴上的一个动点，为等腰直角三角形，请直接写出的值． 26．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直线和直线的解析式； (2)为上一动点，连接，若恰好平分，求点的坐标； (3)为x轴上一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求的面积． 27．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为，直线与直线，相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交，于点M，N，当时，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点E，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 28．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 29．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点D，过点D作轴于点． (1)分别求出点A，D的坐标； (2)求出直线的函数表达式； (3)若点P是线段上一动点，点P从原点O开始，以每秒1个单位长度的速度向点A运动（点P与点O，A不重合），过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N．设的长为s，点P的运动时间为t，求出s与t之间的函数表达式（写出自变量的取值范围） 30．如图，在平面直角坐标系中，直线：经过，两点，且a、b满足，过点B作轴，交直线：于点P，连接PA．    (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是x轴上的一个动点，点D是y轴上的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线、于点M、N，若是以为直角的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的n的值． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$