专题16 图形与坐标动点问题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题16 图形与坐标动点问题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 探究数量关系线段相关】 1 【题型2 探究数量关系角度相关】 28 【题型3 动点最值问题】 51 【题型4 动点存在性问题】 72 【题型1 探究数量关系线段相关】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，． (1)如图1，当时，连接交轴于点，直接写出点的坐标； (2)如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； (3)如图3，在延长线上，过作轴于，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)在B点运动过程中，长保持不变，的长为4 (3) 【分析】（1）过点C作轴交y轴于H，证明得到，，，从而得到C点的坐标； （2）过点C作轴交y轴于M，证明，得到，则； （3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明 ，得到，，然后证明，得到，即可推出． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于H． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为4， 理由：如图2，过C作轴于H． 由（1）可知：， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 理由：如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K． 则， ∵，， ∴， ∴，， ∵，． ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． 2．平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 【答案】(1)点坐标，点坐标 (2) (3) 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值即可； （2）过点作轴，交延长线于，先证明，进而可得，，再证明即可得，即可得出结论； （3）作出如图所示的辅助线，证明为等腰直角三角形，利用证明， ，证明，得到，求出n的值，然后得出点G的坐标． 【详解】（1）【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，； 点坐标，点坐标 （2）结论： 理由如下： 过点作轴，交延长线于， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∵点的坐标，点的坐标 ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ （3）过点G作y轴的平行线，分别过H，B作于E，于F，交x轴于Q，交y轴于K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，即：， ∴ ∵， ∴轴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， 解得，即点G的坐标为， 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题． 3．（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）作轴于，证明，根据全等三角形的性质求出、，得到点的坐标； （2）作轴于，轴于，证明，根据全等三角形的性质得到； （3）作轴于，轴于，仿照（2）的证明过程解答． 本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：（1）如图，作轴于， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）， 理由如下：如图（2）作轴于，轴于， ∵是第一象限角的平分线，且轴于，轴于， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）， 理由如下：如图，作轴于，轴于， 由（2）可得，， ， ， ． 4．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）由点，得出，结合轴，即可得出答案； （2）①由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，由等边三角形的性质可得，，从而得出，，最后由等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；②延长至，使，连接、，证明即可得出答案． 【详解】（1）证明：点，， ， 轴， 轴是线段的垂直平分线； （2）解：①如图，      由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； ②， 证明：如图，延长至，使，连接、，      则垂直平分， ， 由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ， 由①可得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 轴是线段的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． （3）解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 7．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，． (1)求证：； (2)在（1）中点的坐标为，点为上一点，且，如图2，求的长； (3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图3），当点在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义得出，证明，再利用证明即可得证； （2）由（1）知，则，过作于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出．证明，得出，从而得到，求出的长即可得解； （3）由（2）知：，在轴的负半轴上取，连接，证明得出，，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分与轴交于点， ∴， ，，， ∴，． 在和中， ， ． ． （2）解：由（1）知， ， 过作于点，如图所示： ∵平分与轴交于点，，， ， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ， ∴， ∴， 点的坐标为， ． ； （3）解：． 证明：由（2）知：，在轴的负半轴上取，连接，如图所示： 在和中， ， ． ，． ． 在和中， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．等腰中，，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图（1），若，，求C点的坐标； (2)如图（2），当点D恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试猜想：线段、、三者之间是否存在确定的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点F通过证得，，求得的值，就可以求出C的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，先证明就可以得出，，再证明就可以得出结论； （3）在上截取，连接，由对称性得，，可证，再证明就可以得出结论． 【详解】（1）解：过点C作轴于点F， ， ． 是等腰直角三角形，， ，，， ． 在和中， ， ， ； （2）解：证明：过点C作交y轴于点G， ， ． ， ． ，， ， ． 在和中 ， ， ， ， 在和中， ， ， 即； （3）解：结论： 理由：在上截取，连接 由对称性得，． ． ． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ． 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 9．如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)2 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果； （2）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到； （3）作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，得到．即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ，即，，共线， ，， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ， ； （3）解：作于，在上截取，如图 且， ， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ，即， ， ， ， ． 线段为定值2． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴上，平分与轴交于点． (1)如图a，点在轴负半轴上，． ①求证∶． ②若点的坐标为，求的长． (2)如图b，过点作于点，点为线段FC上一动点，点为线段上一动点，始终满足，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】（1）①根据，可得，从而得到，可证明，即可求证；②过点作于点．证明．可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）根据角平分线的性质定理可得，在轴的负半轴上截取，连接．可证明，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）①证明∶， ． 平分， ．   在和中， ， ；   ②解∶如图①，过点作于点．   ． 在和中， ． ．   在和中， ．   ． ， ， ． （2）解∶．   理由∶平分． ， 如图②，在轴的负半轴上截取，连接．   在和中， ． ．   ， ． 在和中， ， ． ．   ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，构造出全等三角形是解本题的关键． 【题型2 探究数量关系角度相关】 11．如图（1），已知在平面直角坐标系中，点满足，轴于点B． (1)分别求点A，B的坐标； (2)如图（2），P是线段所在直线上一动点，连接，平分，交直线于点，作，请探究点在直线上运动时，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）由非负性可求，的值，即可求点坐标和点坐标； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得，，由余角的性质可求解． 【详解】（1）解： ， ，， 点， 轴， ， ； （2）解：， 证明：平分， ， ， ， 故， ， ， ， 即． 【点睛】本题三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点的对应点为，点的对应点为． (1)求两点的坐标． (2)连接，求平行四边形的面积． (3)设为轴负半轴上一动点（异于点），连接，的平分线与的平分线交于点，请你探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)15 (3)当点在线段上时，，当点在延长线上时， 【分析】（1）根据非负数的性质得出，，求出的值，即可得出答案； （2）作轴，交的延长线于，设交轴于，则四边形的面积四边形的面积，由平移过程知，求出四边形的面积即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在延长线上时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，作轴，交的延长线于，设交轴于， ， 则四边形的面积四边形的面积， 由平移过程知， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积为； （3）解：如图，当点在线段上时，延长交于，令交轴于， ， 由平移的性质可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； 如图，当点在延长线上时，延长交于，令交轴于， ， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴； 综上所述：当点在线段上时，，当点在延长线上时，． 【点睛】本题考查了非负数的性质、平移的性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 13．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a、b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（运动到点C停止）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动3秒时，连接，求出点P的坐标，并直接写出之间满足的数量关系； (3)当点P运动t秒时，是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标是； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得； （2）当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可；作．利用平行线的性质证明即可； （3）根据点P到x轴的距离为t个单位长度，而点P纵坐标大于0且小于等于4，所以，得到点可能运动到或上．分类讨论列出一元一次方程解得即可求解． 【详解】（1）解： ，，， ，， ，， ∴，，； （2）解：如图①， 当运动3秒时，点运动了6个单位长度， ， 点运动3秒时，点在线段上，且， 点的坐标是； ，，之间满足的数量关系：． 理由如下：如图，过点作． ，， ， ，， ； （3）解：存在， 当点P在上时，如图， 由题意，得 解得： ∴ ∴ 当点P在上时，如图， 由题意，得 ∴ ∴ 综上所述，存在，点P的坐标为或． 【点睛】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和二次根式的非负性、平行线的性质、点的坐标，动点路程问题，解决此题的关键是作以及分类讨论点可能运动到或上． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)，，， (2) (3)或． 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标； （3）分点在点与中间、点在点的上方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ， （2）过点作于，      设时间经过秒，， 则，，，， ，， ∵， ， 解得，， ， ， 点在上， 点的坐标为； （3）解：或， 理由如下： 当点在点与中间，过点作，   ，， ， ， ， ， ， 即； ②当点在点的上方时，过点作，   ， ， ， ， ∵， ， 即， 综上所述，或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 15．如图1，平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，，，连接，． (1)则点的坐标________________； (2)若点在轴正半轴上，且三角形的面积是三角形面积的倍，求点的坐标； (3)如图，是延长线上一点，连接，，写出，，的数量关系（直接写出关系式即可，无需证明） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）求出，由且，得出点点向右平移个单位到点，即可得出结果； （）由已知坐标得出，，则得出， ，设，由，得求出的值，即可得出答案； （）过点作，易证，得出，，由，即可得出； 本题考查了坐标与图形，平移，平行线的判定与性质，熟练掌握平移和平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵且， ∴点向右平移个单位到点， ∴点的坐标为； （2）∵点的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设点， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵ ∴点的坐标为：； （3），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 16．如图1，平面直角坐标系中，为坐标原点，，，为轴正半轴上一点，的面积为36． (1)求点的坐标： (2)如图2，为线段上一点，不与、重合，过点作轴交于点，设，请用含的式子表示的面积；（不要求写出m的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，当面积为18时，过点作并延长交轴于点，连接，请判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3) 【分析】（1）设点C的坐标为，得出，根据的面积为36，得出，求出，即可得出答案； （2）证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）连接，先求出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出，证明，得出，根据，，即可证明结论． 【详解】（1）解：设点C的坐标为， ∵，， ∴， ∵的面积为36， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ． （3）解：；理由如下： 连接，如图所示： ∵面积为18， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 17．如图1，点，，且满足 ． (1)直接写出点M、点N的坐标：M ，N ； (2)点P以每秒2个单位长度的速度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图1，当时，直线，交于第四象限的点D，已知点D的横坐标是3，求点 D的纵坐标； ②如图 2，当时，在线段 上任取一点E，连接，点 G 为的角平分线上一点，且满足 ．请将图补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】（1）由非负数的性质可得，解方程组即得答案； （2）①证明即可得到点D的纵坐标； ②分点G在上方和下方两种情况补全图形，过点G作，过点O作，设，，根据平行线的性质分别求出，，的度数，即可求得答案． 【详解】（1）， ， 解得， 所以点M、点N的坐标：，； 故答案为：；； （2）① 过点D作轴于点H， 则， ， ， ， ， ， 点 D的纵坐标为； ②补全图形有两种可能，具体如下（图a和图b）   或． 理由如下： 如图a，当点G在上方时， 点 G 为的角平分线上一点， 设， ， 设，则， ， ， 过点G作， ， ，， 过点O作， ， ， ，， ， 而， ， ； 如图b，当点G在下方时， 点 G 为的角平分线上一点， 设， ， 设，则， ， ， 过点G作， ， ，， ， 过点O作， ， ， ，， ， ， ． 综上说述，、、之间的数量关系是或． 【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，坐标与图形，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组,作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分 ，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2) ； (3)理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用非负数的性质解得a，b的值，即可获得答案； （2）分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点H， 过点C作于G，易得 利用面积法解得n的值，即可确定 进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点然后确定m，t的值即可； （3）过点O作交于点N，过点P作交y轴于点M，证明 即可获得答案． 【详解】（1）解： 又 解得： ∴； （2）解：如图1， 分别过点B， A作x轴， y轴的垂线交于点H，过点C作于G， ， ， ， 即， 解得： ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点 ∵点在线段上，其对应点为， ； （3）解：理由如下： 如图2，过点O作交于点N， 过点P作交y轴于点M， 设， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ． 19．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或或 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的性质，平移规律，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的性质，平移规律是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）过点P作，利用平行线的性质即可得三角的关系； （3）分点M在x轴上与M在y轴上两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由于，且， 所以， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ； 点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ； 而， ； （3）解：存在； ①当点M在x轴上时， 由平移知，，， ； 设点M坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点M在y轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点M的坐标为或或或． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，且，现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段，连接．    (1)点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，四边形的面积为 ． (2)在y轴上是否存在一点Q，连接，使的，若存在这样的点Q，求出点Q的坐标；若不存在，试说明理由； (3)点P是射线上一动点（D，B两点除外），连接，请直接写出之间的数量关系．（不需要证明） 【答案】(1)，，12 (2)存在，点Q的坐标为或 (3)或． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，可得点A，B的坐标，再根据平移的性质得出点C，D的坐标，证明四边形是平行四边形，从而可求得面积； （2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式求出的长即可得到答案； （3）分两种情况：当点P在线段上时；当点P在线段的延长线上；分别利用平行线的性质得出相等的角，再根据角的和差关系等量代换得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段， ∴，， 由平移的性质可得，即轴， ∴四边形的面积； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在y轴上， ∴点Q的坐标为或；    （3）解：当点P在线段上时，过点P作作，如图3，    ∵， ∴， ∴，， ∴； 当点P在线段的延长线上时，过点P作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上，若点P是射线上一个动点，则或． 【题型3 动点最值问题】 21．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)和关于轴对称，请在坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为2； (3) 【分析】此题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、求三角形面积以及最短路径问题． （1）首先确定三点关于轴对称的对称点位置，再顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，交轴于点，然后利用勾股定理计算可获得答案． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：的面积为：； （3）解：作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点， 此时长度最小， 最小值为． 故答案为：． 22．操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点． (1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ； (2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了作图−轴对称变换， （1）根据轴对称变换的性质作出图形即可，再写出点的坐标； （2）过点作的垂线交y轴于点E，交于点F，则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值，再在中根据面积法得出等式求出的长即可； 正确得出当时的值最小是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，即为所求， ∵点与点关于y轴对称， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作的垂线交y轴于点E，交于点F， 则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值， 设与y轴交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵的面积，， ∴， ∴最小值是， 故答案为：． 23．勾股定理是一个基本的而且特别重要的几何定理，有着非常广泛的应用．聪明的一修利用勾股定理得出了平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式．即如图1，若平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，则． （1）在平面直角坐标系中，点和点，则线段的长是 ． 方法迁移： （2）如图2，在平面直角坐标系中，点和点，是轴正半轴上的一个动点，连，设，则 ①用含的代数式表示的长是 ； ②的长的最小值是 ． 拓展应用： （3）若，则的最小值是 ． 若，则的最小值是 ． 【答案】（1）5；（2）①；② 10；（3）13；5 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、两点之间线段最短，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． （1）直接利用两点之间的距离公式求解即可得； （2）①利用两点之间的距离公式求解可得的长，②根据两点之间线段最短可得的长的最小值； （3）参考（2），将和利用完全平方公式进行配方，利用两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：（1）， 故答案为：5． （2）①∵是轴正半轴上的一个动点，， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：； ②由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，最小值为， 故答案为：10． （3）解： ， 则可以看作是点和点之间的距离与点和点之间的距离之和， 由两点之间线段最短可知，的最小值是， ， 则可以看作是点和点之间的距离与点和点之间的距离之和， 由两点之间线段最短可知，的最小值是， 故答案为：13；5． 24．如图，已知网格上每个小的正方形的边长为1（单位长度），请按照题目中的要求画图并回答问题． (1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点：，，，，，，，得到图案一． (2)将图案一的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，依次连接这些点，得到图案二． (3)点是轴上一动点，分别连接，当周长最小时，画出，并直接写出周长最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，周长最小为 【分析】本题主要考查坐标与图形，勾股定理以及最短线段问题，熟练掌握对称性质是解答本题的关键． （1）根据题意在平面直角坐标系中描出各点再连线即可； （2）得出各点新的横坐标，再描出各点再连线即可； （3）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长最小为． 【详解】（1）解：如图一，即为所作， （2）解：如下图，即为所作， （3）解：如图，作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长最小为 又，， ∴ 即周长最小为 25．在平面直角坐标系中，O为原点，点，并且a，b满足满足关于x，y的二元一次方程．    (1)如图①，过点A作轴，垂足为B，求三角形的面积； (2)如图②，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段，写出D、C的坐标，并求四边形的面积； (3)如图③，点E为对角线上一动点，轴于点F，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)10 (2)，， (3)5 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解二元一次方程组，坐标与图形变化—平移，二元一次方程的定义： （1）根据二元一次方程的定义得到，解方程组得到，进而得到，，则； （2）先根据平移方式得到，，过点C作的垂线交的延长线于点M，过点D作轴于点E，且交的延长线于点N，如图，再利用割补法求解即可； （3）由题意可得可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】（1）∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得， 又∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴； （2）∵， 且线段向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段， ∴，， 过点C作的垂线交的延长线于点M，过点D作轴于点E，且交的延长线于点N，如图，   ； （3）解：由题意可得可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴此时轴， ∵， ∴， ∴的最小值为5． 26．【探索发现】：在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离可以记作：，轴上两点，的距离可以记作：． 【迁移应用】：如图1，在平面直角坐标系中． （1）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______； （2）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______． 【拓展应用】：在平面直角坐标系中． （1）已知，两点，请直接写出A，B两点的距离； （2）如图2，已知，两点，请求出C，D两点的距离；（用，，，表达） （3）如图3，直线与轴，轴分别交于点，，是射线上一动点，是轴上点右边的一动点，在第一象限取点，连接，，．问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】迁移应用：（1）； （2）． 拓展应用：（1）A，B两点的距离为； （2）C，D两点的距离为； （3）周长的最小值为10． 【分析】本题考查两点间的距离，勾股定理，轴对称的性质，三角形全等的判定及性质． 迁移应用：（1）直接根据探索发现中的两点之间的距离即可解答； （2）直接根据探索发现中的两点之间的距离即可解答； 拓展应用：（1）连接，过点作轴，过点作轴，与相交于点Q，得，且是直角三角形．由点A，B，Q的坐标得到，，根据勾股定理即可求解； （2）同（1）的思路与方法即可求解； （3）作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，过点A作轴，过点作轴，与相交于点，根据轴对称的性质可证，得到，，由，得到，，从而， 根据（2）中的结论可求得，即为周长的最小值为10． 【详解】迁移应用： （1）由“迁移应用”可得：； 故答案为：； （2）由“迁移应用”可得：． 故答案为：； 拓展应用： （1）连接，过点作轴，过点作轴，与相交于点Q，得，且是直角三角形．    ∵，，， ∴，， ∴在中， ∴A，B两点的距离为； （2）连接，过点作轴，过点作轴，与相交于点，得，是直角三角形，    ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴C，D两点的距离为． （3）的周长存在最小值，理由如下： 作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，    ∵点与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， 连接，交轴于点，过点A作轴，过点作轴，与相交于点， 根据轴对称的性质，可得，， 由直线得，点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴周长的最小值为10． 27．对于平面直角坐标系中，已知是边长为6的等边三角形．      (1)如图Ⅰ，点Q在第一象限，点Q坐标是________； (2)如图Ⅱ，在y轴正半轴有一点，连接线段，以为底在线段上方作等边，此时P、Q，C三点共线，求出的值； (3)如图Ⅲ，在y轴正半轴有一动点，连接线段，以为底在线段下方作等边，连接，请问线段是否存在最小值，若存在，请直接写出点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点Q作轴于点E，利用等边三角形的性质以及勾股定理求得，，即可求得点Q坐标； （2）利用勾股定理求得的长，即等边的边长，利用两点之间的距离公式求得的长，即可求得的值； （3）连接，利用证明，推出，当轴时，有最小值，即有最小值，据此即可求解． 【详解】（1）过点Q作轴于点E，    ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∴， ∵点Q在第一象限， ∴点Q的坐标是； 故答案为：； （2）∵是边长为6的等边三角形， ∴点A坐标是（6，0）， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 、、三点共线， ； （3）连接，    ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在y轴的正半轴上， ∴当轴时，有最小值，即有最小值， 此时点P点的坐标是． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 28．在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是3． (1)已知点，，． ①若点，，的“近距”是4，则的值为 ； ②点，，的“近距”的最大值为 ； (2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 【答案】(1)①或6；②8 (2) 【分析】（1）①根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，列出等式计算即可．②根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，再讨论即可得解． （2）法一：过点作交于于，根据，求出 ，当时，，重合，则近距为0；当时，则，．得出此时近距为．当点与点重合时，即时，近距最大值为2； 当时，则，即，推出此时近距的最大值小于2．即可得出． 法二：连接，根据得出 ，根据题意得出，则，，然后进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴轴，轴，，， ∵斜边大于直角边， ∴， ∵点，，的“近距”是4， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或6． ②∵，，，， ∴轴，轴，，， ∵斜边大于直角边， ∴， 当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为8，且 当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为，且， 综上：点A，B，C的“近距”的最大值为8． 故答案为：8． （2）解：法一：过点作交于于 ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，，重合，则近距为0； 当时，则，． ∴，此时近距为． 当点与点重合时，即时，近距最大值为2； 当时，则，即 ①若，则近距为； ②若，则近距为； ③若，则近距为； ∴此时近距的最大值小于2． 综上：近距最大值为2，此时． 法二：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点为线段上一动点， ∴ ∵， ∴①当时， 若时，近距为 则，得 ∵ ∴此时不合题意舍去； 若时，近距为， 则，得 又∵ ∴ 此时近距的最大值为2     ②当时， 若时，近距为 则，得 又∵ ∴ 则近距的最大值为 若时，近距为 ，得 又∵ ∴ 则近距小于 ∴当时，近距的最大值为 综上：近距的最大值为2，此时，，即． 【点睛】本题考查了新定义，直角三角形的性质，平面直角坐标系，熟练掌握题目所给新定义是解题的关键． 29．（1）探索 1：如图 1，点 A 是线段 BC 外一动点，若 AB＝2，BC＝4，填空：当点 A 位于 线段 AC 长取得最大值，且最大值为 ；    （2）探索 2：如图 2，点 A 是线段 BC 外一动点，且 AB＝1，BC＝3，分别以 AB、BC 为直角边作等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 CBE，连接 AC、DE． ①请找出图中与 AC 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 DE 长的最大值； 类比应用： （3）如图 3，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0）、B（5，0），点 P、M 是线段 AB 外的两个动点，且 PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM 长的最大值及此时点 P 的坐标． （提示：在图 4 中作 PN⊥PA，PN=PA，连接 BN 后，利用探索 1 和探索 2中的结论，可以解决这个问题） 【答案】（1）CB的延长线上，6；（2）①DE=AC，理由见解析；②4；（3），或 【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取最大值得出结论； （2）①根据和是等腰直角三角形，证明，得到； ②根据（1）和①中的结论，DE长的最大值就是AB+BC的长； （3）过点P作 PN⊥PA，PN=PA，连接BN，同（2）证明，得到AM=BN，而AM长的最大值就是，根据点坐标求出最大值；再过点P作轴于点E画出新图形，利用等腰直角三角形的性质求出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且AB=2，BC=4， ∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取最大值，最大值为， 故答案是：CB的延长线上，6； （2）①∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②由（1）知AC的最大值是AB+BC=4， ∵， ∴DE长的最大值是4； （3）如图，过点P作 PN⊥PA，PN=PA，连接BN， 根据（2）中的方法，同理可以证明， ∴AM=BN， 当点N在线段BA的延长线上时，线段BN取最大值，也就是线段AM取最大值，最大值是， ∵，， ∴AB=3， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴最大值是，        如图，过点P作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，        如图，点P也有可能在x轴下方，与刚刚的点P关于x轴对称， ，      综上：点P的坐标是或． 【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中图形问题，以及能够根据题目给出的方法进行举一反三，解决问题． 30．如图，平面直角坐标系中每个小网格是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)作出关于y轴对称的图形，则点的坐标为______； (2)的面积是______； (3)在y轴上存在点D使取得最大值，则点D的坐标______． 【答案】(1)图见解析， (2)5.5 (3) 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）所求如图所示，点的坐标为； （2）， 故的面积为：5.5． （3）连接交轴于，取得最大值，则点即为所求，则点D的坐标为． 【题型4 动点存在性问题】 31．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)存在，见解析 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解： ， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）解：分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 32．已知在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，． (1)如图1，过点作轴 ，交轴于点， 交的延长线于点交轴于点， 若， 求的长； (2)如图2，当点运动到原点O时，的平分线交轴 于点， 点为线段上一点将沿翻折，的对应边的延长线交于点为线段上一点，且， 试判断线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若， 在坐标平面内是否存在一点（不与点重 合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可得证． （3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵轴， ∴ ∴ ∴， 在中 ∴ ∴； （2） 证明：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等 ∴是等腰直角三角形， 如图所示， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如图所示， ∴， ∴， ∴平分， ∴且平分， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 如图所示，过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ 如图所示，， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ，， ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 33．综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)4 (4)存在，或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）判断出，即可得出结论； （3）列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵点在线段上， ， ； 故答案为：4； （4）存在 理由如下： ，，点， ，； 当Q在正半轴时， ∴ ∴ 当Q在负半轴时， ∴ ∴ 综上所述：或． 34．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的面积等于24． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，运动时间为t秒，过作轴垂线交直线于点，连接．若的面积为，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据三角形的面积得到，即可得到，根据点A位于x轴负半轴写出坐标即可； （2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可； （3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 35．如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，则______，______； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，6 (2)动点在运动的过程中，的值不变， (3)符合条件的的坐标是或或 【分析】（1）先过点C作轴于E，证，推出，，即可得出点C的坐标； （2）先过点C作轴于E，证，推出，，可得，即可得出点C的坐标为，据此可得的值不变； （3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案． 【详解】（1）解: 如图1，过点C作轴于E， 则． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，6； （2）解: 动点A在运动的过程中，的值不变，值为2． 证明如下： 如图1，过点C作轴于E， 则． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 又∵点C的坐标为， ∴， 即，值不变； （3）解: 存在一点P，使与全等，分为三种情况： ①如图2，过P作轴于E， 则， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即P的坐标是； ②如图3，过C作轴于M，过P作轴于E， 则． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． 由（1）知，且， ∴,， ∴， 即P的坐标是； ③如图4，过P作轴于E， 则． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标是． 综合上述：符合条件的P的坐标是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，考查学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用分类讨论的思想． 36．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查非负数的性质、都不行内角和定理，平行线的性质，坐标与图形， （1）根据绝对值以及偶次幂的非负性求得的值，进而求得的坐标； （2）根据平移可得，过点作,根据，得出，进而即可求解； （3）根据题意求出的面积，分点在轴上、点在轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 解得，，， 则点，的坐标分别为，； （2）， 理由如下： 如图所示，过点作, 根据平移可知， ∴ ； （3）由题意得，点的坐标为，点的坐标为， 则的面积 ， 当点在轴上时，设点的坐标为， 则， 由题意得， ， 解得，或， 综上所述，三角形的面积与三角形的面积相等时，点的坐标为或 37．如图，平面直角坐标系中O为原点，的直角顶点在轴正半轴上，斜边在轴上，已知两点关于轴对称，且． (1)请直接写出两点坐标； (2)动点在线段上，横坐标为，连接，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当的面积为24时，延长到，使得，在第一象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点坐标为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由轴对称的性质可求点坐标，由等腰直角三角形的性质可求点坐标； （2）先求出的长，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：、两点关于轴对称，且， 点，， 又， ， ，，， ， 点； （2）解：如图1，过点作于， 点的横坐标为， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：的面积为24， ， ， 点， 如图2，当点为直角顶点时，过点作轴，过点作于点， ，点， 点， ， ， ， 又， ， ，， ， 点； 当点为直角顶点时，过点作轴，过点作于点，过点作轴于， 同理可求， ，， ，， ，， 点， 综上所述：点或． 38．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点、且a、b满足，点C在第二象限，轴于点A，且，点D为线段上的一个动点（点D不与点O、A重合）． (1)直接写出点A、B的坐标； (2)如图①，连接，过点D作交直线于点E． ①当时，求的度数； ②若、的平分线的交点为点P，求的度数； (3)如图②，当点D刚好运动到线段的中点时，连接，此时在y轴的正半轴上是否存在点M，使三角形与三角形的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)存在； 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得出点A、B的坐标； （2）①根据垂线定义得出，根据，，得出，求出，根据，求出结果即可； ②过点P作，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据平行线的性质得出，，根据求出结果即可； （3）设点，根据点D刚好运动到线段的中点，得出，根据，得出，求出m的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴A点的坐标为，B点坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； ②过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴ ； （3）解：存在；点M的坐标为； 设点， ∵点D刚好运动到线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得：， 即当点M的坐标为时，三角形与三角形的面积相等． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，角平分线的定义，三角形内角和定理应用，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且．现同时将点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点，连接． (1)直接写出两点的坐标为：______，______； (2)若点是线段上的一个动点，是线段上的一点（不与点重合），连接、，当点在线段上移动时（不与点重合），请找出的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据平移规律即可得到C，D两点的坐标； （2）过P作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴， 将点分别向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点， ； （2）结论：； 证明如下：过作，如图： 点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点 ， ， ， ； （3）在坐标轴上存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍，理由如下： ， ， ①当在轴上时，如图： ， ， 或； ②当在轴上时，如图： ， 或； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查算术平方根的非负性、坐标与图形、平移变换、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 40．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案； （3）设点的坐标为，再分点E在x轴上方和下方两种情况，用含的代数式表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ； （3）解：设 如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H， ∵， ∴，，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H， 同理可得， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 图形与坐标动点问题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 探究数量关系线段相关】 1 【题型2 探究数量关系角度相关】 5 【题型3 动点最值问题】 9 【题型4 动点存在性问题】 14 【题型1 探究数量关系线段相关】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，． (1)如图1，当时，连接交轴于点，直接写出点的坐标； (2)如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； (3)如图3，在延长线上，过作轴于，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 2．平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 3．（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 4．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 6．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 7．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，． (1)求证：； (2)在（1）中点的坐标为，点为上一点，且，如图2，求的长； (3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图3），当点在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 8．等腰中，，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． (1)如图（1），若，，求C点的坐标； (2)如图（2），当点D恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试猜想：线段、、三者之间是否存在确定的数量关系？并证明你的结论． 9．如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 10．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴上，平分与轴交于点． (1)如图a，点在轴负半轴上，． ①求证∶． ②若点的坐标为，求的长． (2)如图b，过点作于点，点为线段FC上一动点，点为线段上一动点，始终满足，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【题型2 探究数量关系角度相关】 11．如图（1），已知在平面直角坐标系中，点满足，轴于点B． (1)分别求点A，B的坐标； (2)如图（2），P是线段所在直线上一动点，连接，平分，交直线于点，作，请探究点在直线上运动时，与的数量关系，并证明． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点的对应点为，点的对应点为． (1)求两点的坐标． (2)连接，求平行四边形的面积． (3)设为轴负半轴上一动点（异于点），连接，的平分线与的平分线交于点，请你探究与的数量关系，并证明你的结论． 13．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a、b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（运动到点C停止）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动3秒时，连接，求出点P的坐标，并直接写出之间满足的数量关系； (3)当点P运动t秒时，是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　 备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 15．如图1，平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，，，连接，． (1)则点的坐标________________； (2)若点在轴正半轴上，且三角形的面积是三角形面积的倍，求点的坐标； (3)如图，是延长线上一点，连接，，写出，，的数量关系（直接写出关系式即可，无需证明） 16．如图1，平面直角坐标系中，为坐标原点，，，为轴正半轴上一点，的面积为36． (1)求点的坐标： (2)如图2，为线段上一点，不与、重合，过点作轴交于点，设，请用含的式子表示的面积；（不要求写出m的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，当面积为18时，过点作并延长交轴于点，连接，请判断与的数量关系并说明理由． 17．如图1，点，，且满足 ． (1)直接写出点M、点N的坐标：M ，N ； (2)点P以每秒2个单位长度的速度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图1，当时，直线，交于第四象限的点D，已知点D的横坐标是3，求点 D的纵坐标； ②如图 2，当时，在线段 上任取一点E，连接，点 G 为的角平分线上一点，且满足 ．请将图补全，直接写出、、之间的数量关系． 18．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分 ，试探究与的数量关系． 19．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，且，现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段，连接．    (1)点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，四边形的面积为 ． (2)在y轴上是否存在一点Q，连接，使的，若存在这样的点Q，求出点Q的坐标；若不存在，试说明理由； (3)点P是射线上一动点（D，B两点除外），连接，请直接写出之间的数量关系．（不需要证明） 【题型3 动点最值问题】 21．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)和关于轴对称，请在坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若点是轴上一动点，直接写出长度的最小值为________． 22．操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点． (1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ； (2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度． 23．勾股定理是一个基本的而且特别重要的几何定理，有着非常广泛的应用．聪明的一修利用勾股定理得出了平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式．即如图1，若平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，则． （1）在平面直角坐标系中，点和点，则线段的长是 ． 方法迁移： （2）如图2，在平面直角坐标系中，点和点，是轴正半轴上的一个动点，连，设，则 ①用含的代数式表示的长是 ； ②的长的最小值是 ． 拓展应用： （3）若，则的最小值是 ． 若，则的最小值是 ． 24．如图，已知网格上每个小的正方形的边长为1（单位长度），请按照题目中的要求画图并回答问题． (1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点：，，，，，，，得到图案一． (2)将图案一的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，依次连接这些点，得到图案二． (3)点是轴上一动点，分别连接，当周长最小时，画出，并直接写出周长最小值． 25．在平面直角坐标系中，O为原点，点，并且a，b满足满足关于x，y的二元一次方程．    (1)如图①，过点A作轴，垂足为B，求三角形的面积； (2)如图②，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段，写出D、C的坐标，并求四边形的面积； (3)如图③，点E为对角线上一动点，轴于点F，连接，直接写出的最小值． 26．【探索发现】：在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离可以记作：，轴上两点，的距离可以记作：． 【迁移应用】：如图1，在平面直角坐标系中． （1）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______； （2）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______． 【拓展应用】：在平面直角坐标系中． （1）已知，两点，请直接写出A，B两点的距离； （2）如图2，已知，两点，请求出C，D两点的距离；（用，，，表达） （3）如图3，直线与轴，轴分别交于点，，是射线上一动点，是轴上点右边的一动点，在第一象限取点，连接，，．问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．    27．对于平面直角坐标系中，已知是边长为6的等边三角形．      (1)如图Ⅰ，点Q在第一象限，点Q坐标是________； (2)如图Ⅱ，在y轴正半轴有一点，连接线段，以为底在线段上方作等边，此时P、Q，C三点共线，求出的值； (3)如图Ⅲ，在y轴正半轴有一动点，连接线段，以为底在线段下方作等边，连接，请问线段是否存在最小值，若存在，请直接写出点P坐标． 28．在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是3． (1)已知点，，． ①若点，，的“近距”是4，则的值为 ； ②点，，的“近距”的最大值为 ； (2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 29．（1）探索 1：如图 1，点 A 是线段 BC 外一动点，若 AB＝2，BC＝4，填空：当点 A 位于 线段 AC 长取得最大值，且最大值为 ；    （2）探索 2：如图 2，点 A 是线段 BC 外一动点，且 AB＝1，BC＝3，分别以 AB、BC 为直角边作等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 CBE，连接 AC、DE． ①请找出图中与 AC 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 DE 长的最大值； 类比应用： （3）如图 3，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0）、B（5，0），点 P、M 是线段 AB 外的两个动点，且 PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM 长的最大值及此时点 P 的坐标． （提示：在图 4 中作 PN⊥PA，PN=PA，连接 BN 后，利用探索 1 和探索 2中的结论，可以解决这个问题） 30．如图，平面直角坐标系中每个小网格是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)作出关于y轴对称的图形，则点的坐标为______； (2)的面积是______； (3)在y轴上存在点D使取得最大值，则点D的坐标______． 【题型4 动点存在性问题】 31．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 32．已知在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，． (1)如图1，过点作轴 ，交轴于点， 交的延长线于点交轴于点， 若， 求的长； (2)如图2，当点运动到原点O时，的平分线交轴 于点， 点为线段上一点将沿翻折，的对应边的延长线交于点为线段上一点，且， 试判断线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若， 在坐标平面内是否存在一点（不与点重 合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的面积等于24． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，运动时间为t秒，过作轴垂线交直线于点，连接．若的面积为，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 35．如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，则______，______； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 37．如图，平面直角坐标系中O为原点，的直角顶点在轴正半轴上，斜边在轴上，已知两点关于轴对称，且． (1)请直接写出两点坐标； (2)动点在线段上，横坐标为，连接，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当的面积为24时，延长到，使得，在第一象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 38．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点、且a、b满足，点C在第二象限，轴于点A，且，点D为线段上的一个动点（点D不与点O、A重合）． (1)直接写出点A、B的坐标； (2)如图①，连接，过点D作交直线于点E． ①当时，求的度数； ②若、的平分线的交点为点P，求的度数； (3)如图②，当点D刚好运动到线段的中点时，连接，此时在y轴的正半轴上是否存在点M，使三角形与三角形的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且．现同时将点分别向右移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的对应点，连接． (1)直接写出两点的坐标为：______，______； (2)若点是线段上的一个动点，是线段上的一点（不与点重合），连接、，当点在线段上移动时（不与点重合），请找出的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的三倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 40．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$