精品解析：上海民办华曜宝山实验学校2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

上海民办华㬬宝山实验学校2024学年第一学期 初三 数学学科 第二次当堂练习 一、选择题： 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在中， 、 都是锐角，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质可得∴，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴是等腰三角形， 故选：C． 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 如果 或，那么 B. 如果、都是单位向量，那么 C. 如果，那么 D. 如果m、n为实数，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量，注意向量是既有大小又有方向的量，根据平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A．如果 或，那么，故不正确； B．如果、都是单位向量，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确； C．如果，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确； D．如果m、n为实数，那么，正确； 故选D． 3. 如图，是一个正方形网格，在下面所列出的各三角形中，不与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：， ，， A．，， ， ∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B．，，， ∵，，， ∴， ∴，故B不符合题意； C．，，， ∵，，， ∴， ∴与不相似，故C符合题意； D．，， ， ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意． 故选：C． 4. 已知 的半径 长为4，点B在线段 上，且 ，如果 与 有公共点，那么 的半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合思想的应用． 求得 内切于 时 的半径和 内切于 时 的半径，根据图形即可求得． 【详解】解：如图，当 内切于 时， 的半径为 ， 当 内切于 时， 的半径为， ∴如果 与 有公共点，那么 的半径的取值范围是， 故选：D． 5. 如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：① ；②；③ ；④ ．其中正确的结论序号为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线图象可知， ．再根据对称轴公式可得出，从而得出 ，可判断①；根据时，由对称性知时，，得，可判断②；根据对称轴为直线，得 ， ，可判断③；根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得 ，可判断④． 【详解】解：∵图象可知该抛物线开口向上，与y轴的交点位于x轴下方， ∴， ． 又∵对称轴为直线， ∴ ， ∴， ∴ ， 故①正确； ∵与关于对称，时， ∴时，， ∴， 故②错误； ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故③正确； 由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴ ， 故④正确． ∴有①③④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数（）的图象与系数的关系．熟练掌握抛物线开口方向与a的关系；抛物线的对称轴直线的位置特点；抛物线与y轴的交点坐标为特点，抛物线的对称性，和x轴交点个数与判别式的关系，x为某一特定值时的函数值，是解题的关键． 6. 下面有四个命题： 【命题1】任意一张直角三角形纸片，都能剪成三个两两相似的小三角形纸片； 【命题2】任意一张钝角三角形纸片，都能剪成三个小三角形纸片，其中两个三角形与原三角形相似，第三个是等腰三角形； 【命题3】若一张三角形纸片，剪成的两个小三角形纸片，与第二张三角形纸片剪成的两个小三角形纸片，分别全等，则两个原三角形纸片全等； 【命题4】若一张三角形纸片，剪成的两个小三角形纸片，与第二张三角形纸片剪成的两个小三角形纸片，分别相似，则两个原三角形纸片相似． 其中正确的命题个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，命题真假的判断．根据相似三角形的判定和性质定理解答，即可求解． 【详解】解：命题1：任意一张直角三角形纸片，都能剪成三个两两相似的小三角形纸片，是真命题； 如图，在中，，，垂足分别为D，E， 此时， ∴， ∴ ， ∴ ， 同理，故原命题是真命题； 命题2：任意一张钝角三角形纸片，都能剪成三个小三角形纸片，其中两个三角形与原三角形相似，第三个是等腰三角形，是真命题； 如图，在钝角中，在边上取点D，E，使， 此时，， ∴， ∴，即是等腰三角形，故原命题是真命题； 命题3：如图，两个小三角形纸片全等，但两个原三角形纸片不全等，故原命题是假命题； 命题4：若一张三角形纸片，剪成的两个小三角形纸片，与第二张三角形纸片剪成的两个小三角形纸片，分别相似，则两个原三角形纸片不一定相似，原命题是假命题． 综上所述，正确的命题的数量为2个， 故选：B． 二、填空题：【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例性质，熟练掌握比例性质并灵活运用是解答的关键． 根据比例性质设，则，进而代值求解即可． 【详解】解：设，则， ， 故答案为：． 8. 计算：=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的计算，熟练掌握向量的相关知识点是解题的关键． 根据向量的计算法则计算即可． 【详解】解：原式， ， 故答案为： ． 9. 在比例尺为的地图上，北京至上海相距 厘米，若此段路程高铁列车所用时间为6小时30分，则列车的平均速度为______千米/时． 【答案】200 【解析】 【分析】本题主要查了比例尺的应用．求出北京至上海的实际距离，即可求解． 【详解】解：北京至上海的实际距离为厘米千米， 因为此段路程高铁列车所用时间为6小时30分， 所以列车的平均速度为千米/时． 故答案为：200 10. 一个正多边形的内角等于中心角的2倍，那么这个正多边形的边心距与半径之比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 正多边形的内角等于中心角的2倍，算出此多边形是正六边形，根据题意画出图形，由此可判断出的形状，设正多边形的边长为，则其边心距为，故可得出结论． 【详解】解：设这个正多边形是n边形， ∵一个正多边形的内角等于中心角的2倍， ∴， 解得：， 即这个正多边形是正六边形， 如图所示： ∵正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴设正多边形的边长为 ，则，其边心距为， ∴正多边形的边心距与边长之比为． 故答案为：． 11. 如果两个相似等腰三角形底边上的中线之比为 ，且大三角形的面积为．则小三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可． 【详解】解：两个相似等腰三角形底边上的中线之比为 ， 两个相似三角形的相似比是 ， ∴两个相似三角形的面积比是，又大三角形的面积为， 那么较小三角形的面积为， 故答案为：． 12. 某同学沿着坡度为的山坡向上走了39米，那么他的高度上升了______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键．结合图形可得：，，设，则，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图， ∵某同学沿着坡度为的山坡向上走了39米，结合图形可得： ，， 设，则， 由勾股定理得： ， 解得 ． ∴， 故答案为：． 13. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿 方向走到主持人的位置至少需走______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意主持人至少走的距离为（米） 故答案为： ． 14. 已知点、在二次函数 的图像上，如果 ，那么a______0（用“>”或“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，先求解抛物线的对称轴为：直线，再结合点、在二次函数 的图像上， ，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为：直线， ∵点、在二次函数 的图像上， ， ∴在对称轴的左侧随 增大而增大， ∴ ． 故答案为： 15. 矩形 ， ，分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题综合考查了点和圆的位置关系以及两圆的位置关系与数量关系之间的等价关系．同时注意勾股定理的运用．特别注意两圆相切，可能内切或外切． 首先根据点 在内，点 在外，求得的半径是大于3而小于4；再根据勾股定理求得 ，最后根据两圆的位置关系得到其数量关系． 【详解】解：∵在矩形 中， ， ， ∵点 在内，点 在外， 设的半径是， ∴的半径的取值范围为：， 当 和外切时，圆心距等于两圆半径之和是5，即， 又， 则的取值范围是． 当 和内切时，圆心距等于两圆半径之差是5， 即， 又， 则的取值范围是． 所以半径的取值范围是或． 故答案为：或． 16. 如图，中，点 、分别在边 、 上，且， 与相交于点，如果是的重心，那么=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线，相似三角形的判定与性质是解题的关键．由F是的重心，，可得 分别为 的中点，则 ，，即；如图，连接并延长，交于 ，则，可求，然后求解作答即可． 【详解】解：如图所示，延长 至，使得，连接交于点， ∵点是三角形的重心，则 是的中点，则是 的中点， ∴ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴，即， ∵F是的重心， ∴ 分别为 的中点， ∵， ∴ ， ∴，即； ∵ ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 17. 如图，直线 交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线 上，若点N在第二象限内，则的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过 作于 ，过作于 ，设的坐标是，利用已知条件和勾股定理以及三角形的面积公式、角的锐角三角函数值求出的坐标即可得到的值． 【详解】解：过 作于 ，过作于 ， ∵在直线 上， ∴设的坐标是， 则， ， ∴当时， ，当时， ， ， 即， 在 中，由勾股定理得：， ∵在 中，由三角形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，二次根式，解一元二次方程，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强． 18. 定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知，与之间的距离为2.“等高底”的“等底”BC在直线上，点A在直线上，有一边的长是BC的倍．将绕点C按顺时针方向旋转得到， 所在直线交于点D，则 ______． 【答案】或2 【解析】 【分析】分别过点A作于点E，点D作于点F，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点A作于点E，点D作于点F，如图所示： 由题意可得：， ∴ 是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵ 是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴点B、E重合，即是等腰直角三角形， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ； 综上所述：或2； 故答案为或2； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键。 三、解答题： 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可； 【详解】解： ． 20. 如图，在梯形 中，是 的中点，且与交于点． （1）若，请用来表示； （2）在原图中直接在图中作出在方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量）． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型． （1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （2）利用平行四边形法则画出图形即可． 【小问1详解】 解：，， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点 作交于点 ，，即为所求． 21. 如图，在中， 是上（异于点， ）的一点， 恰好经过点， ， 于点 ，且平分 ． （1）判断与 的位置关系，并说明理由； （2）若 ， ，求 的半径长． 【答案】（1） 证明：连接 ，如下图所示， ∵是 的平分线， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即， 又∵过半径 的外端点B， ∴与 相切； （2） 的半径长为． 【解析】 【分析】（1）连接 ，证明 ，即可证得，从而证得是圆的切线； （2）设 ，则 ，利用勾股定理求得 ，推出 ，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ，则 ， ∵在中，， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， 解得． 故 的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 22. 图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时 上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到 收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为 中点． （1）求A、B两点到的距离分别是多少； （2）若 的半径为 ，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到 上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 【答案】（1）点A到的距离是；点B到的距离为， （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于F，得到，根据勾股定理求出；过点B作交的延长线于H，判断出，进而得出，最后根据勾股定理即可求出答案； （2）首先得到，再判断出，进而求出，再求出，，最后判断出则点E到点B的距离最小，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点A作于F， 在 中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ∴点A到的距离是； 过点B作交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ∴点B到的距离为； 【小问2详解】 解：由题意得， 在中，，， ， ，，， ∴ ， ， ， ∵点P是 的中点， ， 由题意得，切 于N，连接， ， 在中，， 根据勾股定理得，，， ， 记线段与 的交点为E，则点E到点B的距离最小， ， ， ∴当点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，弧长公式，勾股定理，求出是解本题的关键． 23. 如图，在中，，，垂足为点D，，垂足为点，和相交于点．过点A作，交边延长线于点 ，点是边上一点， ． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出，再由对顶角相等及等量代换确定，利用等角对等边得出 ，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （2）过点M作于点H，根据平行线的性质及垂直的定义得出，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，利用等量代换确定，再由余弦函数的定义进行等量代换即可证明 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点M作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，余弦函数的定义等，理解题意，作出辅助线求解是解题关键． 24. 如图所示，直线 与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． （1）求抛物线的解析式： （2）点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线 于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若 与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把代入 求出一次函数解析式，则 的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出 ，根据，求出，，结合 轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可． ②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长 交x轴于N，证明，求出，从而求出直线 的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线 的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入 得：， 故， 则 的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． 【小问2详解】 解：①∵， 令，则 ，解得：或3， ∴ ， 又∵， ∴，，， 又 轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得： （舍去）或， 故； 当，即时，， 解得： （舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点 ，， 设直线的解析式为： ， 则，解得： ， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长 交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为： ，则，解得：， ∴直线 的解析式为：， ， 解得：（舍去）． ∴ 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为：，则，解得：， ∴直线 的解析式为： ， ， 解得：（舍去）， ∴ 综上所述：点的坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 25. 已知矩形 中， ，，是上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接 ，直线 与射线相交于点F． （1）如图1，当在边 上，若时，求的长； （2）若射线交 的延长线于，设 ，，求与 的函数解析式，并写出 的取值范围； （3）①如图2，直线 与边 交于点 ，若与 相似，求的正切值； ②如图3，当直线 与 的延长线相交于点时，若，求 的长． 【答案】（1） （2）， （3）①；②10 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和，推出四边形为平行四边形，得到，得到，，由翻折性质得到，，得到，得到； （2）根据， ，得到，得到 ，推出 ， x的取值范围是； （3）①连接，根据翻折性质得到， ，根据，，得到，推出，得到；②连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，得到，由折叠性质得到，，根据，得到，得到，得到 ，推出四边形为矩形，得到，得到，由折叠性质得到，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【小问1详解】 如图，∵在矩形 中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴, ∵ ， ∴； 【小问2详解】 ∵在矩形 中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴x的取值范围是； 【小问3详解】 ①如图，设交 于点M，连接，由折叠知，， ， ∵ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ②如图，连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，则， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由（2）知垂直平分， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠，矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海民办华㬬宝山实验学校2024学年第一学期 初三 数学学科 第二次当堂练习 一、选择题： 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 在中， 、 都是锐角，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 如果 或，那么 B. 如果、都是单位向量，那么 C. 如果，那么 D. 如果m、n为实数，那么 3. 如图，是一个正方形网格，在下面所列出的各三角形中，不与相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径长为4，点B在线段上，且 ，如果 与有公共点，那么 的半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：① ；②；③ ；④ ．其中正确的结论序号为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 6. 下面有四个命题： 【命题1】任意一张直角三角形纸片，都能剪成三个两两相似的小三角形纸片； 【命题2】任意一张钝角三角形纸片，都能剪成三个小三角形纸片，其中两个三角形与原三角形相似，第三个是等腰三角形； 【命题3】若一张三角形纸片，剪成的两个小三角形纸片，与第二张三角形纸片剪成的两个小三角形纸片，分别全等，则两个原三角形纸片全等； 【命题4】若一张三角形纸片，剪成的两个小三角形纸片，与第二张三角形纸片剪成的两个小三角形纸片，分别相似，则两个原三角形纸片相似． 其中正确的命题个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值是______． 8. 计算：=______． 9. 在比例尺为的地图上，北京至上海相距 厘米，若此段路程高铁列车所用时间为6小时30分，则列车的平均速度为______千米/时． 10. 一个正多边形的内角等于中心角的2倍，那么这个正多边形的边心距与半径之比为______． 11. 如果两个相似等腰三角形底边上的中线之比为 ，且大三角形的面积为．则小三角形的面积为______． 12. 某同学沿着坡度为的山坡向上走了39米，那么他的高度上升了______米． 13. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿方向走到主持人的位置至少需走______米． 14. 已知点、在二次函数 的图像上，如果 ，那么a______0（用“>”或“<”连接）． 15. 矩形， ，分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围是______． 16. 如图，中，点、分别在边、上，且，与相交于点，如果是的重心，那么=______． 17. 如图，直线 交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线 上，若点N在第二象限内，则的正切值为______． 18. 定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知，与之间的距离为2.“等高底”的“等底”BC在直线上，点A在直线上，有一边的长是BC的倍．将绕点C按顺时针方向旋转得到， 所在直线交于点D，则 ______． 三、解答题： 19. 计算：． 20. 如图，在梯形中，是的中点，且与交于点． （1）若，请用来表示； （2）在原图中直接在图中作出在方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量）． 21. 如图，在中， 是上（异于点，）的一点，恰好经过点，， 于点，且平分 ． （1）判断 与的位置关系，并说明理由； （2）若 ， ，求的半径长． 22. 图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时 上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到 收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为中点． （1）求A、B两点到的距离分别是多少； （2）若 的半径为 ，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到 上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 23. 如图，在中，，，垂足为点D，，垂足为点，和相交于点．过点A作，交边延长线于点，点是边上一点， ． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图所示，直线 与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． （1）求抛物线的解析式： （2）点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若 与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 25. 已知矩形中， ，，是上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接 ，直线 与射线 相交于点F． （1）如图1，当在边上，若时，求的长； （2）若射线 交的延长线于，设 ，，求与的函数解析式，并写出的取值范围； （3）①如图2，直线 与边交于点，若与 相似，求的正切值； ②如图3，当直线 与的延长线相交于点时，若，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $