精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

福州一中2024-2025学年12月适应性练习 初三数学 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 煮熟鸭子飞了 D. 买一张彩票，一定不会中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； C、煮熟的鸭子飞了是不可能事件，不符合题意； D、买一张彩票，中不中奖是随机事件，不符合题意； 故选：A． 3. 下列函数中，当时，值随值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的性质，根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐项分析即可. 【详解】A、正比例函数的图象在一、三象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意； B、反比例函数中的，所以随的增大而减小，故本选项符合题意； C、一次函数的图象，随的增大而增大，故本选项不符合题意； D、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在轴右侧（时），随的增大而增大，故本选项不符合题意； 故选B． 4. 如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，以及弧长公式，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．先求出，再证明是等边三角形，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】如图，连接、、 由题意得：， 正六边形是的内接正六边形， 中心角，则 又， 是等边三角形， ， 则的长为， 故选：C． 5. 在中，已知，，，那么边的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，先利用正弦的定义得到 ，可计算出，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：如图， 在中，，， ， ， ． 故选B． 6. 如图所示的抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质， 先根据抛物线开口向上可知，可排除C，D，再根据对称轴的位置可知a，b同号，即可得出答案． 【详解】∵抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∴A，B符合题意． ∵对称轴在y的左侧， ∴a，b同号， 即， 所以符合题意． 故选：A． 7. 在大小为的正方形网格中，下列四个选项中的三角形，与下图所示的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理算出已知三角形的边长，再将各选项三角形边长算出，判断与选项中三角形各边是否与已知三角形三边形成比例，得出答案． 【详解】解：根据勾股定理得，题目中三角形三边长分别为： ， ， ， 选项A中，三角形三边长分别2，，，与已知三角形三边不成比例，故A选项不正确． 选项B中，三角形三边长分别是2，4，，与已知三角形成比例，比例为，根据三边成比例的两个三角形相似，故B选项正确． 选项C中，三角形三边长分别是2，3，，与已知三角形三边不成比例，故C选项不正确． 选项D中，三角形三边长分别是，，4，与已知三角形三边不成比例，故D选项不正确． 故答案选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定等内容，其中三边成比例的两个三角形相似是解决问题的关键． 8. 中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 设一共有x名选手参加组内循环赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程：， 故选：D． 9. 如图，将⊙O沿弦AB折叠得到所在圆的切线交⊙O于点C，若⊙O的半径为1，当AC取最大值时，则弦AB的长是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设的圆心为O′，连接AO′，OO′交AB于F．只要证明△AOO′是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，设的圆心为O′，连接AO′，OO′交AB于F． ∵当AC取最大值时，AC是⊙O的直径， 又∵AC是切线， ∴∠CAO′＝90°， ∵OA＝AO′，OO′⊥AB， ∴∠OAF＝∠FAO′＝45°， ∵OA＝1， ∴AF＝OA•cos45°， ∴AB． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换、切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于，轴于，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有，再利用反比例函数的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；由，，得到；当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， 四边形是平行四边形， ， ∴ ， ∵轴，轴，，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ， ，， ，故①正确； ，， ， ∵由题意可得，， ，故②正确； 当， 四边形是矩形， 不能确定与相等， 而， 不能判断， 不能判断， 不能确定，故③错误； 若四边形是菱形，则， 而， ， ， ，， ， ， ，故④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、矩形的判定性质和菱形的性质． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于原点对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理．根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 13. 如图显示了计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率为______（精确到0.001）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率；观察图形即可求解． 【详解】解：由图知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在数字附近，所以估计“钉尖向上”的概率为． 故答案为：． 14. 若抛物线和轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，根据抛物线和轴有交点，则方程的列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线和轴有交点， ∴方程的，且， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 15. 如图，是的重心，、相交于点，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据重心，得到点为的中点，则，，则，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合共高三角形的面积比等于底之比求解． 【详解】解：是的重心， ∴点为的中点， ，， ， ，， 设，，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，∠ABD+∠ADB=∠ACB．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作DE∥AB交AC于E，证明△OAB≌△OED（AAS），可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，AD=m，BC=n，证明△EAD∽△ABC，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，作DE∥AB交AC于E， 在△ABD中， ∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°， ∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE， 在△AOB和△EOD中， ， ∴△OAB≌△OED（AAS）， ∴AB=DE，OA=OE， ∵OC=OA+AB=OE+CE， ∴AB=CE， 设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，AD=m，BC=n， ∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°， ∴∠EDA=∠ACB， ∵∠DEA=∠CAB， ∴△EAD∽△ABC， ∴， ∴， ∴4y2+2xy-x2=0， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 则的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△EAD∽△ABC． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）根据二次根式性质，特殊角的三角形函数值，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点逆时针旋转的，则点的坐标为______； （2）上述旋转过程中，求点运动的轨迹长． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出的对应点，然后顺次连接可得，再根据图形写出点的坐标即可； （2）根据旋转的轨迹是一段圆弧，计算弧长即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得，点运动轨迹是以为半径的圆弧， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图－旋转变换，弧长公式，勾股定理，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 19. 某体育馆有A，B，C三个入口，甲、乙两名观众分别从三个入口中随机选择一个入口进入． （1）求甲选择C入口的概率 （2）求甲选择A入口，同时乙选择B入口的概率（请用画树状图的方法解答）． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图求概率以及概率公式， （1）利用概率公式求解即可； （2）画树状图可得共有9中等可能的结果，其中甲选择A入口，同时乙选择B入口的结果有1种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，甲选择C入口的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9中等可能的结果，其中甲选择A入口，同时乙选择B入口的结果有1种， ∴甲选择A入口，同时乙选择B入口的概率为． 20. 酷爱写诗的陈老师，某日到南山采风，结束后步行下山回家，发现下山路为一条坡度为的斜坡，在斜坡下端处有一座塔，陈老师在处测得塔顶的俯角为，沿斜坡前行米到达处，请根据以上条件求塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】10米. 【解析】 【分析】如图，过点P作PE⊥AC于点E．通过坡度的定义求得AC：BC：AB=5：12：13，则易得AC=25米，BC=60米，所以利用矩形的性质和解直角△APE求得BP的长度即可. 【详解】解：如图，过点作于点． ∵米，， ∴， ∴米，米， ∴米， ∴（米）． ∴（米）． 答：塔的高度为10米. 故答案为10米. 【点睛】本题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键. 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求，的解析式． （2）观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，，再用待定系数法求出一次函数的系数即可； （2）根据图象直接写出时x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点，， ，则，， ， 一次函数的图象点，， ∴， 解得，； ∴，； 【小问2详解】 解：根据图象，当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， 当时，的取值范围为或． 22. 今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，六月份销售件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到件， （1）求七、八这两个月销售量的月平均增长百分率， （2）经市场预测，九月份的销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加件，当商品降价多少元时，商场九月份获利最大？ 【答案】（1） （2）3元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，和二次函数的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程和函数解析式． （1）设平均增长率为x，根据六月份、八月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，九月份利润为，用含y的代数式表示出九月份销量及单件利润，以及根据二次函数的顶点式求最值，即可求解． 【小问1详解】 设平均增长率为x， 由题意可得， 解得， 其中不合题意舍去， 平均增长率为． 【小问2详解】 设当商品降价y元，九月份利润为， 则售价为，每件的利润为， 销量为， ， 当时，最大， 当商品降价3元时，商场九月份获利最大． 23. 折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． （1）当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； 【小问2详解】 解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 24. 如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过、分别作垂线，垂足记作和，设． （1）若， ①当时，求的长； ②求证：； （2）若，试是否为定值，若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）①，②证明见解析； （2）为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）①如图：当时，再利用垂径定理与勾股定理计算即可；②如图：如图：过O作，连接，连接，，，根据圆周角定理、垂径定理可得，然后根据正弦的定义计算判断即可； （2）先求出，设，则，再通过证明相似三角形得到，，然后作差判断即可． 【小问1详解】 解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图：过O作，连接，连接，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 同理可得：， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、锐角三角函数的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． 25. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，为定值4． 【解析】 【分析】（1）把点，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出值及定值即可． 【小问1详解】 解： 抛物线与x轴交于点和点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解： 抛物线的函数表达式为， 当，， ， ，又， ， 轴， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线解析式为， 设，由于动点P在直线下方的抛物线上， ， 轴， ， 在直线上， ， ， 周长为 ， 当时，周长最大值为． 【小问3详解】 解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即， 设直线的解析式为，点，点，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ， ， ，， ， 同理可得，， ， 为定值， ， 解得， 当时，， 存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、二次函数图像的平移、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024-2025学年12月适应性练习 初三数学 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 煮熟鸭子飞了 D. 买一张彩票，一定不会中奖 3. 下列函数中，当时，值随值增大而减小是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，，那么边的长是（ ） A 6 B. C. D. 6. 如图所示的抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（ ） A. B. C. D. 7. 在大小为的正方形网格中，下列四个选项中的三角形，与下图所示的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将⊙O沿弦AB折叠得到所在圆的切线交⊙O于点C，若⊙O的半径为1，当AC取最大值时，则弦AB的长是（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为______． 13. 如图显示了计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率为______（精确到0.001）． 14. 若抛物线和轴有交点，则的取值范围是___________． 15. 如图，是的重心，、相交于点，那么______． 16. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，∠ABD+∠ADB=∠ACB．则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点逆时针旋转的，则点的坐标为______； （2）上述旋转过程中，求点运动的轨迹长． 19. 某体育馆有A，B，C三个入口，甲、乙两名观众分别从三个入口中随机选择一个入口进入． （1）求甲选择C入口的概率 （2）求甲选择A入口，同时乙选择B入口的概率（请用画树状图的方法解答）． 20. 酷爱写诗的陈老师，某日到南山采风，结束后步行下山回家，发现下山路为一条坡度为的斜坡，在斜坡下端处有一座塔，陈老师在处测得塔顶的俯角为，沿斜坡前行米到达处，请根据以上条件求塔的高度．（参考数据：，，） 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求，的解析式． （2）观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 22. 今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，六月份销售件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到件， （1）求七、八这两个月销售量的月平均增长百分率， （2）经市场预测，九月份销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加件，当商品降价多少元时，商场九月份获利最大？ 23. 折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． （1）当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 24. 如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过、分别作垂线，垂足记作和，设． （1）若， ①当时，求的长； ②求证：； （2）若，试是否为定值，若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 25. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $