精品解析：上海市金山区2024-2025学年高三上学期质量监控数学试卷

2024学年第一学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】列举法改写集合A，再应用补运算求集合. 【详解】由题设，又，故. 故答案为： 2. 已知向量，若，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题意，则. 故答案为： 3. 已知函数的表达式为则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定分段函数解析式，求函数值即可. 【详解】由题设. 故答案为：2 4. 已知复数，其中为虚数单位，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由，利用复数乘法求出，再用模长公式求其模长即得. 【详解】由，可得， 故. 故答案为：. 5. 的二项展开式中，项的系数为________． 【答案】135 【解析】 【分析】写出二项式的通项，取，即得项的系数. 【详解】的通项为 使，解得，即得项的系数为. 故答案为：135. 6. 以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 7. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 8. 已知是等差数列的前项和，若，则的值为__________. 【答案】52 【解析】 【分析】由可得，后由等差数列性质结合前n项和公式可得答案. 【详解】设公差为d ，由， 则. 则. 故答案为：52 9. 在内，使成立的x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意在同一个坐标系中画出在内的函数图像，由图求出不等式的解集 【详解】解：在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示， 则使成立的x的取值范围是， 故答案为： 10. 某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【解析】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 11. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过古典概率的计算公式计算，，由独立得，解方程即可. 【详解】由题意可知：，，， 因为独立，所以， 即，结合均随n的增大而增大， 故. 故答案为： 12. 已知O为坐标原点，向量满足，将绕点O按逆时针方向旋转，得到向量．若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，进而得，结合分析得到的轨迹为一个椭圆，并确定椭圆的右顶点坐标，再利用向量数量积的坐标表示，将问题化为求的截距最大，即最大且该直线过点，即可求最值. 【详解】设，则，故， 所以，则，故， 由， 即到原点距离与到的距离之和为8， 易知的轨迹为一个椭圆，且，，如下图， 若为椭圆的右顶点，则，且直线， 易知，即， 由，令①， 所以，要使最大，只需的截距最大，即最大， 结合图知，该直线过点即可，将代入①，有. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先得到的轨迹为一个椭圆及其右顶点坐标，再应用向量数量积的坐标表示化为求最大为关键. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式化简即可求解. 【详解】 所以最小正周期为，且为偶函数. 故选：B 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可． 【详解】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 15. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值. 【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，， 如图，，，则，故， 将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故. 故选：D 16. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有（ ）个． A. 3 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设，分到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且，两种情况，结合对称性，列举出满足题设的所有点，即可得答案. 【详解】设，情况如下： ①到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且， 由具有对称性，不妨讨论，， 满足题意的应同时在线段的中垂线面和三棱锥表面上， 即为其中垂面交线与三棱锥表面的交点，如图两点， 同理，，和，也各有2个满足题意的点，故共6个； ②到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且， 若到的距离一样，即，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图和（舍）； 若到和中的两个距离一样，由具有对称性， 不妨讨论，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图， 同理，和也各有1个满足题意的点，共4个； 综上，共有10个满足题意的点. 故选：D 【点睛】关键点点睛：依据题意将问题分成到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且两类为关键. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】（1）证明：由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2） 【解析】 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． （1）证明：平面； （2）求点D到平面PAC的距离． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明是平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）应用等体积法计算得出点到平面距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 平面，平面，则，， ，， 设点D到平面PAC的距离为，由，得， 即，得. 所以点D到平面PAC的距离为. 19. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a、b的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1），； （2）； （3）平均数为88，方差为19. 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图，应用频率和为1及等比中项性质列方程求参数； （2）根据分层抽样的等比例性质有来自的分别为2人、5人，结合组合数及古典概型的概率求法求概率； （3）由平均数、方差公式求剔除数据后的平均数和方差. 【小问1详解】 由题设，且， 所以且，故， 所以，. 【小问2详解】 由题图知：在两个小组内的学生人数比为， 所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人， 随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率. 【小问3详解】 由题设得，， 假设剔除的两个为，则平均值为， 此时方差为. 20. 已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． （1）求椭圆的离心率及抛物线的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； （3）四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）椭圆的离心率，抛物线； （2）； （3）存在，最小面积为8. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； （3）讨论直线的斜率，斜率存在时，设直线为，则直线为，分别联立椭圆、抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积公式得到关于的表达式，即可得结论. 【小问1详解】 由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； 【小问2详解】 由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. 【小问3详解】 依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 21. 对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． （1）设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； （2）设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； （3）设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【解析】 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【小问1详解】 ，由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. 【小问2详解】 ， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集，集合，则________． 2. 已知向量，若，则实数________． 3. 已知函数的表达式为则的值为________． 4. 已知复数，其中为虚数单位，则的值为________． 5. 的二项展开式中，项的系数为________． 6. 以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 7. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 8. 已知是等差数列的前项和，若，则的值为__________. 9. 在内，使成立的x的取值范围是____________． 10. 某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．（结果精确到1米） 11. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为________． 12. 已知O为坐标原点，向量满足，将绕点O按逆时针方向旋转，得到向量．若，则的最大值为________． 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 16. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有（ ）个． A. 3 B. 6 C. 7 D. 10 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． （1）证明：平面； （2）求点D到平面PAC的距离． 19. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a、b的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 20. 已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． （1）求椭圆的离心率及抛物线的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； （3）四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 21. 对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． （1）设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； （2）设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； （3）设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $