精品解析：上海市青浦区2024-2025学年高三上学期期终学业质量调研（一模）数学试卷

2024 学年第一学期高三年级期终学业质量调研 数学试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2024.12 学生注意: 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2. 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题. 一. 填空题 （本大题共有12 题，满分 54 分，第 1-6 每题 4 分，第 7-12 每题 5 分） 考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果. 1. 在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第_____象限. 2. 已知集合 ，则 _____. 3. 不等式的解集为_______． 4. 已知直线与直线平行，则__________. 5. 两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为_____. 6. 已知数列满足，则__________. 7. 在中，已知，若，则的面积为______. 8. 已知圆柱的底面半径为3，高为，圆锥的底面直径和母线长相等. 若圆柱 和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为_____. 9. 的展开式中，项的系数为_____. 10. 已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有_____个. 11. 若函数 在区间上严格递增，则实数 取值范围是______ 12. 已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____. 二、选择题 （本大题共有4 题，满分 18 分，第 13-14 每题 4 分，第 15-16 每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 14. 若点关于平面的对称点为，关于 轴的对称点为 ，则两点（ ） A. 关于坐标原点 对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于平面 对称 15. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（ ）. A. 有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B. 有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C. 有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D. 有5 个零点，都不在上 16. 对于数列，设数列的前 项和为，给出下列两个命题:① 存在函数，使得 ; ② 存在函数，使得 . 则①是②的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、解答题 （本大题共有5 题，满分 78 分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的 17. 已知函数 （Ⅰ）求 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若，且，求的值. 18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面、 分别为线段 、 上的点，且. （1）求证：平面 ； （2）求证：平面； 19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中 款产品有30个. （1）求 的值； （2）用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差. 20. 已知椭圆，为椭圆 的右焦点，过点的直线交椭圆 于、 两点． （1）若直线垂直于轴，求椭圆 的弦 的长度； （2）设点，当时，求点A的坐标； （3）设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 21. 已知函数，其中 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数 ，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点 的坐标; 若不存在，说明理由; （3）证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 学年第一学期高三年级期终学业质量调研 数学试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2024.12 学生注意: 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2. 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题. 一. 填空题 （本大题共有12 题，满分 54 分，第 1-6 每题 4 分，第 7-12 每题 5 分） 考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果. 1. 在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第_____象限. 【答案】四 【解析】 【分析】求出复数的共轭复数即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以复数对应的点在第四象限. 故答案为：四 2. 已知集合 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的定义求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为: . 3. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】化不等式一边为0，再转化成一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4. 已知直线与直线平行，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系列出等式求解 的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得 或 . 当 时，直线，直线，两直线平行. 当 时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 5. 两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出两渐近线方程，得到，从而得到离心率. 【详解】两条渐近线互相垂直，由对称性可知，两渐近线的倾斜角分别为， 渐近线方程为，故， 所以渐近线的离心率为. 故答案为： 6. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由所给等式得，两式相减可求得的通项公式， 代入通项即可得解. 【详解】因为①， 当 时，②， ① ②得，所以， 所以. 故答案为： 7. 在中，已知，若，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出 ，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 解得， 所以的面积为. 故答案为： 8. 已知圆柱 的底面半径为3，高为，圆锥 的底面直径和母线长相等. 若圆柱 和圆锥 的体积相同，则圆锥 的底面半径为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】求出圆柱 的体积，设圆锥 的底面半径为，求出圆锥的高为，从而得到圆锥的体积，得到方程，求出答案. 【详解】圆柱 的体积为， 设圆锥 的底面半径为，则母线长为，故圆锥的高为， 则，故，解得 ， 故圆锥 的底面半径为3. 故答案为：3 9. 的展开式中，项的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 10. 已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有_____个. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算即可. 【详解】由函数定义，转化为给 ，安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数， 给 取 个自变量，则对应个自变量，有种， 给 取个自变量，则对应个自变量，有种， 给 取个自变量，则对应 个自变量，有种， 所以由分类加法计数原理知，共有 种不同的对应方式， 故答案为：. 11. 若函数 在区间上严格递增，则实数 取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性，函数在区间上严格递减，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在区间上的范围结合 可得答案. 【详解】令，则， 函数在区间上严格递增， 由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递减，且 ， 则由在区间上恒成立，得在区间上恒成立， 因为时，，所以. 且由，得， 则实数 取值范围是. 故答案为：. 12. 已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆 上任取两点、 ， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点 ，设，取中点，有， 则，，则， 由 ，故； 如图2，在单位圆圆 上任取两点、 ， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点 ，设，取中点，有， 则，，则， 由 ，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 二、选择题 （本大题共有4 题，满分 18 分，第 13-14 每题 4 分，第 15-16 每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解. 【详解】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D. 14. 若点关于平面的对称点为，关于 轴的对称点为 ，则两点（ ） A. 关于坐标原点 对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于平面 对称 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出点关于平面和 轴的对称点的坐标，再判断即得. 【详解】因点关于平面的对称点为， 关于 轴的对称点为，而点与点 显然关于坐标原点对称. 故选：A. 15. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（ ）. A. 有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B. 有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C. 有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D. 有5 个零点，都不在上 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数零点的定义可判断时，函数有两个零点，然后结合函数奇偶性的性质，即可得到时的零点，从而得到结果. 【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，故 ，即0是函数的一个零点； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，且， 即此时函数在和内各有一个零点，在上无零点， 又函数是定义在R上的奇函数， 故函数在和也内各有一个零点， 综合上述可知函数有5 个零点，都不在上 故选：D 16. 对于数列，设数列的前 项和为，给出下列两个命题:① 存在函数，使得 ; ② 存在函数，使得 . 则①是②的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特例可知①推不出②，根据反函数可知满足②能推出①，结合充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】取，存在，使得成立， 此时由函数定义知，不存在函数，使得， 当存在函数，使得 成立时， 由于 与为一一对应关系，所以就可以写成的反函数， 即可以用 表示，即存在函数， 所以存在， 综上可知，①是②的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对于新概念问题需要去理解，本题理解了之后，可以根据函数的概念去判断 ①②之间的推出关系得解. 二、解答题 （本大题共有5 题，满分 78 分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的 17. 已知函数 （Ⅰ）求 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若，且，求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【详解】第（Ⅰ）题，化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期和最值．第（Ⅱ）题，是给值求角问题，要先限定范围． （Ⅰ），因为 所以 的最小正周期为，最大值为. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以，故. 【考点定位】本题考查了二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的性质.考查了三角函数式的化简、求值，故考查了运算求解能力. 18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面、 分别为线段、上的点，且. （1）求证：平面 ； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明如下： 因为 、 分别为线段、上的点，且， 所以， 又平面 ， 平面 ， 所以平面 . （2）证明如下： 因为，所以， 所以，，连接 ，又， 所以，所以，又 ， 所以，所以， 因为平面 平面，交线为，平面， 所以 平面 ，平面 ，所以 ， 因为，，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用三角形等比例性质，根据线面平行的判定推理即得. （2）连接 ，根据给定条件，根据勾股定理及余弦定理求得，根据面面垂直性质定理 平面 ，从而利用线面垂直的性质定理得 ，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中 款产品有30个. （1）求 的值； （2）用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差. 【答案】（1）100 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由分层随机抽样的抽样比直接计算即可； （2）由古典概型结合组合数公式即可求解； （3）根据分层抽样总体的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，该公司一天所生产的产品数为 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则，解得. 【小问2详解】 设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得， 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为 【小问3详解】 由题意，某项指标总体的平均数为， 所以由分层抽样的总体方差公式可得 . 20. 已知椭圆，为椭圆 的右焦点，过点的直线交椭圆 于、 两点． （1）若直线垂直于轴，求椭圆 的弦的长度； （2）设点，当时，求点A的坐标； （3）设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 【答案】（1）3 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解； （2）利用点和点的中点可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求得点坐标； （3）第三问分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率存在时，设斜率为，设点、 坐标，写出直线方程，最终将转化为与斜率的关系，可通过直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题. 【小问1详解】 由题意可知，，所以， 又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为， 由得，， 所以弦的长为. 【小问2详解】 因为，且直线过点， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点, 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，不妨设， 所以， 故； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设， 由得，， 所以， 所以， 化简得， ①当时， ，当且仅当时等式成立； ②当 时，，当且仅当时等式成立； ③当时，； 综上所述可得，的取值范围为. 21. 已知函数，其中 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数 ，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点 的坐标; 若不存在，说明理由; （3）证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2） ，假设存在三点满足条件， 设三点的横坐标分别为 则， ， 即 ，即 ，令 ，则 ， 当且仅当时等号成立，所以严格增，只有一个零点，矛盾， 所以不存在满足条件的 三点. （3） 令，只需证明当时， 恒成立. 由 ， 当 时，显然 严格增， 当 是，分两段， ①当 时， ，所以 ； ②当 时，， 令，则，再令， 则 ，当 时， ，所以单调递增， 所以 ，即 ，所以单调递增， 所以 ，所以， ， 综上可知， ， 所以 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）利用反证法，先假设存在，化简后得出矛盾即可证明； （3）构造新函数，原题转化为求证新函数的最小值不小0即可. 【小问1详解】 定义域为， ， 显然 在 上严格增，且 . 所以当 时，；当 时，. 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问中，图象位置关系转化为函数之差的最小值不小于0即可，再构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $